自动控制原理复习资料——卢京潮版第二章

1、第二章：控制系统的数学模型§ 引言系统数学模型-描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。建模方法机理分析法实验法(辩识法)本章所讲的模型形式时域：微分方程复域：传递函数§控制系统时域数学模型1、线性元部件、系统微分方程的建立(1) L-R-C 网络R1Uc Uc 一UcLLC一UrLC(2)弹簧一阻尼器机械位移系统分析A B点受力情况由心区 Xa) kXA解出 Xa Xi-k2 Xoki代入 B 等式：f(Xi-k-XoXo)k?X0ki得：f k1k2 x0k1k2x0 fk 1xi(3)电枢控制式直流电动机电枢回路：Ua R i Eb一克希霍夫电枢及电势：

2、Eb Ce m楞次电磁力矩：Mm Cm i一安培匕 A / ra2z一阶线性定常微分方程I O-+ 1*EbC力矩方程：Jm m fm m Mm 牛顿变量关系：Ua*b Mm： m消去中间变量有:（4） X-Y记录仪（不加内电路）消去中间变量得：Tml l k1k2k3k4kmlk1k2k3kmua一二阶线性定常微分方程k1k2k3k4kk1k2k3kTmTm2、 线性系统特性一一满足齐次性、可加性线性系统便于分析研究。在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。非线性元部件微分方程的线性化。例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0处的线性化增量方程解：在0处线性化展开，只取线性项

3、：令 y y -y 0得 y Eosin o3、 用拉氏变换解微分方程l 2l 2l 2ua（初条件为0）复习拉普拉斯变换的有关内容1复数有关概念(1)复数、复函数复数复函数例：F sF sFxjFy(2)复数模、相角(3)复数的共钝iFy2(4)解析：若F(s)在s点的各阶导数拉氏变换定义几种常见函数的拉氏变换1.2.3.单位阶跃：1t 0 tt指数函数：f(t)0ate正弦函数：f*，拉氏变换的几个重要定理(1)线性性质:L af）bf2（t）aF"s）(2)微分定理:进一步:n-1s f 0零初始条件下有:解： cos t -L sin t都存在“l称 Fs)在s：点解析12Z

4、FbF2（s）n-2fs fn-2n 10 L sf 0 f 00(证略)(3)积分定理：L f t dt零初始条件下有：L ft dt1-1F s -fs1 F s s0解:解:进一步有:例 3:求 Lt=?1 tdtt2万tdt(4)位移定理实位移定理:L f t-0例 5: f t 10解：f(t)1(t) 1(t1)0虚位移定理:L eat ftF s-a(证略)352例6:求L eat例 7: L e-3t cos5t例 8: L e 2tcos(5te 2t cos 5(t 一)15(5)终值定理(极限确实存在时)证明：由微分定理 f testdt sFs f 00取极限：lim

5、f t e stdt lim sF s f 0s 0s 0证毕有：f limsFs s 01,、例9 ： F s 求fss as b例 10: f sin 11lim s0t s 0 s22拉氏变换附加作业一. 已知f(t),求F(s尸？二.已知F(s),求f(t尸？5.拉氏反变换(1)反变换公式：f(t)- ：F(s).estds(2)表法一一分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)微分方程一般形式：F(s)的一i般表达式为：来自:Ca£(n-1)aMCC b°r(m)b/m-1)bm/bj(I)其中分母多项式可以分解因式为：A(s) (s Pi)(s P2) (s P

6、n)(II)Pi为A(s)的根(特征根)，分两种情形讨论:I ： A(s) 0无重根时：(依代数定理可以把F(s)表示为：)即：若G可以定出来，则可得解：而G计算公式:ci lim (s pi ).F(s)( HI)s PiCiB(s)A (s)s Pi()(说明(田)的原理，推导()例 2： F(s) 2 s 2求f(t) ?s2 4s 3解：F(s)(六言例 3 ： F(s) .5s 5，求 f (t) ?s24s 3解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法) 例 4: Fs_J_s_J c1 c2s2 2s 2(s 1- j)(s1 j) s 1 - js 1j解法一：jt jtjt

7、jt1e t(2 j)ejt (2 j)e-jt( e sint, e cost)2j2j2j解法二：II : A(s) 0有重根时：设P1为m阶重根，sm 1, sn为单根.则F(s)可表不为：其中单根7 1, g的计算仍由(1)中公式(田)(田)来计算.重根项系数的计算公式：(说明原理)例5F(s)s 2s(s 1)2(s 3)求 f (t) ?解：F(s) c2 2 (s 1)Cic3s 1 sC4s 33.用拉氏变换方法解微分方程例：l 2l 2l 2ur解：L: s2 2sz L(s) - s举例说明拉氏变换的用途之一如右图RC电路：初条件：输入明依克西霍夫定律:L变换：依(*)式可

8、见，影响CR电路响应的因素有三个：1:输tui(t)分析系统时，为在统一条件下衡量其性能 2:初条件Ue。CJ输入都用阶跃，初条件影响不考虑3:系统的结构参数一一只有此项决定系统性能CRT7 Uf零初条件下输入/出拉氏变换之比(不随输入形式而变)§2-3线性定常系统的传递函数 一一上述CR电路的结论适用于一般情况般情况下：线性系统的微分方程:C(n)(t)a1C(n-1)(t)简单讲一下:传递函数的标准形式:an-1C(t)* - K :根轨迹增益I： D(s)为首1多项式型：g 工工 上Q 1 S S -TII： D(s)为尾1多项式型：G(s)TS 1K :开环增益开环增益的意义

9、:般情况下：首1型：G(s)K (s 乙)(s Zm)S(S Pi) (s Pn-1)尾1型：G(s)K( 1s 1) ( ms 1)slds 1) (Tn is 1)bm-1 r (t) bmr(t)* A *K* mm 1sb1sbml n l * n l 1*s s a1sa。imm 1b0sb1sl n ln l 1s a0sqsbm( Zi)由式：in-i*an-i ( Pi) i 1*比较(1)：Uk K an-i首1型多用于根轨迹法中.Zi为零点(3)pi为极点m.*( Zi)K K*4：r(4)an-1( Pi)i 1尾1型多用于时域法，频域法中.一.传递函数定义：条件：r(0

10、) r(0) 产1)0八.c(0) c(0)c(m1)(0) 0定义：有关概念：特征式，特征方程，特征根CS)零点乙使 G(s) 0的S值极点pj 使G(s)的S值系统本身的结构参数注(1)为何要规定零初始条件?分析系统性能时，需要在统一条件下考查系统:输入：都用阶跃输入.初条件：都规定为零为确定一个系统的起跑线而定 .则系统的性能只取决于系统本身的特性( 结构参数 )(2) 为何初条件可以为零？1) 我们研究系统的响应，都是从研究它的瞬时才把信号加上去的.2) 绝大多数系统，当输入为0 时，都处于相对静止状态.3) 零初始条件是相对的，常可以以平衡点为基点(如小扰动为线性化时)(3) 零初条

11、件的规定，并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解.可以由G(s)回到系统微分方程，加上初条件求解.二 . 传递函数的性质：1. G(s):复函数，是自变量为s的有理真分式(mw n)ai,bi均为实常数.m<n的解释：1) .实际系统都存在惯性，从微分方程上反映出来，即 C(s)的阶次比 R(s)阶次高.反映到G(s)上即有分母阶次nA分子阶次m.2) .反证法：设m>nM:说明：2. G(s): 只与系统本身的结构参数有关与输入的具体形式无关.输入变时，C(s)=G(s)R(s)变，但G(s)本身并不变化但G(s)与输入、输出信号的选择有关.r(t),c(t) 选择不同，G(s)不

12、同.(见前CR电路.)3. G(s)与系统的微分方程有直接联系r(t) (t)4. G(s) L k(t) - G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏变换5. G(s)与系统相应的零极点分布图对应G(s)的零极点均是复数，可在复平面上表示:若不计传递函数，G(s)与其零极点分布图等价*例：G(s)G(s)系统零极点分布图K(s 2)(s 3)(s2 2s 2)若当系统参数发生变化时，分析其特性:1)用解微分方程法十分繁琐一一一个元部件参数改变，影响a ,h ,得反复解2)若掌握了零极点分布与系统性能之间的规律性，则当某个元部 件的参数改变时，ai,bi变化，零极点位置变化，系统性能的变化规律就能掌握

13、了，这样，我们可以有目的地改变某些参数， 改善系统的性能，且免除了解微分方程的烦恼。一一这是为什 么采用G(s)这种数模的原因之一。三.采用传递函数的局限：1. G(s)原则上不反映C(0)于0时的系统的全部运动规律.(虽然由G(s)转到微分方程，可以考虑初条件的影响。)2. G(s)只适用于单输入，单输出系统。3. G(s)只适用于线性定常系统一一由于拉氏变换是一种线性变换.Ur(t)RCUc(t) a(t).Uc(t) BUc(t) u,，(s) RCUc(s)s La(t).u4t)BL u4t) u,(t)而 L a(t) uc(t)A(s) Uc(s)L uc(t) uc(t)sUc

14、2(s)使U c(s)/Ur(s)不能得出传递函数是古典控制理论中采用的数学模型形式，经常要用(典型元部件传递函数略讲，重点以伺服电机引出结构图的概念)例1已知某系统，当输入为r(t) 1(t)时，输出为C(t) 1 -et -e4t 3 e 3e求：1)系统传递函数G(s) ?2)系统增益？3)系统的特征根及相应的模态？4)画出系统对应的零极点图；5)系统的单位脉冲响应k(t) ?6)系统微分方程；7)当 c(0)1,c(0) 0,r(t)1时，系统响应 c(t) ?解1 )G(s)也 2(s 2)(2s 1)R(s) (s 1)(s 4) (s 1)&1)42)由式，增益K=13)

15、由式：特征根模态4t4)零极点图见右IS5) k(t) L 1 G(s)6) G(s)-隐含零初始条件C(s) 2(s 2) 2s 4 2R(s) (s 1)(s 4) s 5s 4L 1 : c(t) 5c(t) 4c(t) 2 r(t) 4r(t)-不受零初始条件限制7)对上式进行拉氏变换，注意代上初条件例2系统如右图所示已知G0(s)方框对应的微分方程为求系统的传递函数Uc(s)”,、Ur(s)解：对G0(s)相应的微分方程进行拉氏变换(Tos 1)Uc(s) KoUa(s)Go(s)Uc(s)Ua(s)KoT0s 12.3.电桥式误差角(位置)检测器又由运算放大器特性，有Uo 0 ,i

16、o0R Ua(s)R.sCR 1Ur(s) Uc(s) R(R。)R0 .RsC 1sCX有4.典型元部件的传递函数1 .电位器(无负载时)自整角机注自整角机与电桥式误差检测器功能相同,1)前者工作于交流状态，后者直流2)自整角机无摩擦，精度高3)自整角机1, 2可以大于3604.测速发电机1)直流测速发电机2)交流发电机Ukt楞次定律5.电枢控制式直流电动机(结构同发电机)楞次定律：氏 *克希霍夫：ua Ri Eb安培定律：Mm Cm.i牛顿定律:I d 3 i n £J m M m fm. 2 dt利用前四个方程中的三个消去中间变量Eb,i,Mm得出:Tmcm, Rfm时间常数K

17、mG1(s)G2(s)k传递系数Km _L JLkb.cmTmS+lD sKm Q(s)Tms 1 Ua(s)同一系统输入输出量选择不同有不同形式的Km©(s)s(Tms 1) Ua(s)传递函数若分别对每一个方程分别求传递函数，则可构成以下结构图:分析问题的角度不同，同一系统可以有不同形式的结构图，但彼此等价。此图清楚的表明了电动机内部各变量间的传递关系， 经简化后可得上面形式结构图6 .两相交流伺服电动机堵转力矩：Ms Cm.Ua机械特性：Mm Ms Cw .3牛顿定律：Mm Jm3 0.CO利用前两式消去Mm,Ms可得：分别各式进行拉氏变换得：方框图7 .齿轮系：传动比i至91

18、Zl g13负载轴上的粘滞阻尼，惯量向电机轴上的折算:一十商才* 对于电机轴：Jg Mm Mi片3Ml为负载轴转矩''什对于负载轴：12他M2fzg在啮合点：Fi F2又有：P r2亘i（4）cl）2 ri z1利用4式中的3个,消去中间变量Mi,M2, 2，得出Mm1之间关系：一般地，有多级齿轮转动时：可见：由于一般减速器总有二i 1Z 1越靠近电机轴的惯量、粘滞摩擦，对电机轴的影响越大，远离电机轴的负载影响则较小若一级减速比i1很大，则负载轴的影响可以忽略不计8.调制器，解调器用于1）交、直流元件协调工作时2）交流元件，但工作频率不同时交直流的元件各有其优点，都要用直流工作

19、时，工作点不易隔离，易漂移交流元件有时要屏蔽，否则干扰较大调制：把直流或低频信号驮在交流元件的工作频率上的过程解调：把驮在交流元件频率上的有用低频（或直流）信号取出来的过程一般不考虑调制、解调器的动态过程，认为其传函为 15.典型环节依上讨论可见：输入输出信号选择不同，同一元部件可以有不同的传递函数。不同的元部件可以有相同形式的传递函数1 .环节一一把传函形式相同的元部件归并在一起的分类一一具有抽象性，概括性。如，电位器，自整角机，测速发电机等等。同属比例环 节。2 .典型环节及其传递函数序号微分方程环节名称传递函数例1比例环节电位器，放大器，自整角机2惯性环节CR电路，交、直流电动机3振荡环

20、节R-L-C电路，弹簧质块阻尼系统4积分环节减速器（rc）5微分环节测速发电机(rUc)6一阶复合微分环节7二阶复合微分环节注:1)环节与部件并非对应，有时一个环节可代表几个部件，有时 一个部件可表成几个环节2)任一个系统的传递，可以视为典型环节的组合如：G(s) K(s 2 2)s(Ts 1)( Ws2 2 - 1)6.负载效应问题：传递函数要在系统正常工作，考虑负载影响条件下推导出 来例如右电网络，当两级相联时:用算子法:UcUcU1cc.UrU1UrUr)1 (R2C1C2：v J IUi2 八八 、sCsC2s)>C2R (R2c2s 1) (R2cle2s2 C1s C2s)1

21、R1R2cle2s2R1cls R1C2sR2c2s1当两级断开时:第一级：UUrsGRI1RsG 1第二级:UcU11心R22 sC2R2c2s 1而包匕Ur U1UiU?2(R1SC1 1)(R2c2s 1 ) RR2C1C2s(R1C1 R2c2)S 1比较(1)(2),可见两式不等。当两级相联时，后级有分流，对前级有负载影响2典型环节及其传递函数序号微分方程环节名称传递函数G例1比例环节电位器，放大器，自整角机2惯性环节CR电路，交、直流电动机3振荡环节R-L-C电路，弹簧质块阻尼系统4积分环节减速器（3rQ）5微分环节测速发电机6一阶复合微分环节7二阶复合微分环节五、求G(s)时须注

22、意的问题一一负载效应要在系统正常工作的条件下考虑其传递函数，把后一级对前一级的负载效应考虑进去。11例：如右电路，求G(s)Uc(s)Ur(s)1解1当成整体看:回路I ：i1R1i2R uUr回路II:U1i2& Uc节点A：i1i 2 i3电容G：i3C1du电容C2：i2C2也dt一:i3di2 C1 R2.dtUc一:i3C1R2C2UCCU一(3):i1 C2UcC1C2R2UCCiUc(8)(8) - ( 1):C1C2R2UC (Ci C2)UcRiC2UcR2Uc U1即：C1c2R2uc (C1R1C2R1C2R2UUcU1所以，G(s)L 变换：C1c2R2s2 (

23、C1R C2R, C2R2)s 1Uc(s) U1(s)C1c2R2s2 (C1R C2R C2R2)s 1解2:分解成两部分看:对后一*部分：u1i2R2uc变换：(C2R2s 1)Uc(s) Ui(s)所以Gi(s)Uc(s)1U2(s)C2R2s 1同理对前一部分：G2(s)需看g(s) U UU2Ur(S) Ui(S)Ur(S)Gi(S)G2(S)11C2R2s 1 C1R1s 1C1c2R1R2s2C2R2s C1Rs 1；比较点；引出点。比较：分母少一项CzRs-解2中未考虑前一级的负载效应(3)积分定理:MsCm 扇Mm Ms C m消去 Ms, MmTmm m 小扇Jm m f

24、 n M m§控制系统的结构图及其等效变换1 .结构图的组成及绘制(1)组成：信号线；方框(环节)(2)结构的绘制：从系统微分方程组：例：电枢控制式直流伺服电动机：电枢回路：Ua Ri Eb-反电势：Eb Ce?电磁力矩：Mm Cm?i-JmS +fui力矩平衡：Jm fm M m牛顿工作原理图一方框图一结构图 例：x-y记录仪:2 .结构图的等效变换和化简:1).环节串联:2).环节并联:3).反馈等效:4)Ua.比较点、一 年 一 城诘动厂比较点峰住:引出点换位:R(Jm$ I fm)HcZH比较点前将f)Rtm+Cml JU H,比较点后移KI m I ( tACe01/Gla

25、Km S(TmS+l)引出点前斡 引出点后移:比较点、引出点换位:例2: x-y记录仪结构图如下：求-L(s)-UJS)作业题(216)讲解：(以便解决作业问题)调速系统工作原理图见课本P67图2-57(1)依运算放大器原理速度调节器：G(s)Gs RGs 1RC1sR2电流调节器：G2(S)C2sR2c2s 1RRGs(2)依题画结(3)等效化简:*sn-构图:(略)例3.化简结构图：求包sR(s)R解(2):梅逊公式沫：系统有T 2息)Hgg.例5:条前噌a"5_>P7.1十保0也)无不相交回路C例8:化简结构图，求系统传递函数 CsR(s)信号流图(1) .信号流图的组成

26、(2) .信号流图与结构图的关系信号流图结构图前向通道数：1; 回路数：4(1、田不接触)源节点一一输入信号阱节点一一输出信号混合节点引出点，比较点支路环节支路增益一一环节传递函数前向通道（从源节点到阱节点）回路（信号流动形成的封闭回路）互不接触电路（无公共点或公共支路）信号流图一结构图结构图-信号流图前向通道路：1回路数：34.梅逊公式用梅逊公式，可不经过任何结构变换,顺着信号流动方向 不能走重复的路线步写出系统的传递函数nPi i公式：（s）口其中： 1 Li LiLj LiLjLk 称为特征式Pi：从输入端到输出端第k条前向通路的总传递函数i：在 中，将与第i条前向通路相接触的回路所在项

27、除去后所余下的部分，称为余子式L :所有单回路的“回路传递函数”之和LiLj ：两两不接触回路，其“回路传递函数”乘积之和LiLjLk :所有三个互不接触回路，其“回路传递函数”乘积之和回路传递函数”指反馈回路的前向通路和反馈通路的传递函数只积并且包含表示反馈极性的正负号。(2).举例：例1:共有4个单回路：只有II、III两个回路不接触:1- L一条前向通路LiLj 1GiG2G3G4G5G6也G2G3G4G5H2H3G2G3H2G4G5H3G3G4H4PiGiG2G3G4G5G6所有回路均与之接触例2：有五个回路：两条前向通路：1有五个单回路：并且Li5 CRs-CRs可找出六组两两互不接

28、触的回路：I - n ； 1 -m； i - v； n 田； 田-iv； iv有一组三个互不接触回路I - n-m前向通路一条：p11.一 33 3；C3R3S3例4:回路4个：LiG1H1G2H2G1G2H3G3H3两两不接触回路两个：I - n , n - iv前向通道两条:例5已知系统结构图，求出R（s）解:本结构图有2条前向通道，6个回路（其中I , V两回路不相交）G1PiP2G1G2G3(s)G2G1G2 ( G3) ( G3) ( G3).( H)G1G2G3H；21 HG1G2 G3 (1 H)1 H G2 G1 G1G2 G3H求需?解：共有3个单回路（全部有公共接触部分）前向通道共有6条: 由梅逊公式:例7已知系统结构图1）.画出系统信号流图2).求处L 2R(s) 'Rz(s)解:1).2).解:CCH4R(sN(Ra 1C(s)1 G1G2H1G2H2H3H3H4(=1G1G2HlG2H2H3 H3H4G1G2H1H3解： 1 G1 G2例8求C2 ?R(s)1 G1 G2 G1G2解：作业2 7 (c)解一：化简法：(如右)解二：梅森公式法：2-9 (b)