5.3中心极限定理

1、 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象量随机现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究此导致对极限定理进行研究. . 极限定理的内容很广极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种泛，其中最重要的有两种: :与与大数定律大数定律

2、中心极限定理中心极限定理 设设m是是n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数，发生的次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任给的发生的概率，则对任给的 0，定理定理1（贝努利大数定律）（贝努利大数定律）或或1)|(|lim pnmPn0)|(|lim pnmPn 贝努利大数定律表明，当重复试验次数贝努利大数定律表明，当重复试验次数n充分充分大时，事件大时，事件A发生的频率发生的频率m/n会靠近事件会靠近事件A的概率的概率p5.2 大数定律大数定律 设设 X1,X2, 是独立同分布的随机变量序列，是独立同分布的随机变量序列，EXi =, DXi=2 ，i=1,2, ，定理定理2 （切比

3、雪夫大数定律）（切比雪夫大数定律） niinXnP11)|1(|lim 则对任意的则对任意的0， 定理定理2表明，独立随机变量序列表明，独立随机变量序列Xn, 如果方差如果方差存在，则存在，则与其数学期望与其数学期望 偏差很小的概率偏差很小的概率接近于接近于1. 取值非常接近于其数学期望取值非常接近于其数学期望.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是随机的了差不多不再是随机的了, niiXn11 niiXn11 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏

4、差，就受例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响着许多随机因素的影响.5.3 中心极限定理空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误差等等.，设炮弹落点的偏差为设炮弹落点的偏差为 X总和，总和，它是许多随机小误差的它是许多随机小误差的 niiXX1即即.,相互独立相互独立而且而且iX随机变量和的分布随机变量和的分布的分布就是要讨论独立的分布就是要讨论独立因此要讨论因此要讨论X 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无

5、穷个随机变量之和可能趋于，故我们，故我们不研究不研究n个随机变量之和本身而考虑它的个随机变量之和本身而考虑它的标准化标准化的随的随机变量机变量的分布函数的极限的分布函数的极限. niininiiinXDXEXY111)()( 可以证明，满足一定的条件，上述极限分布可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布是标准正态分布. 定理定理1（独立同分布下的中心极限定理）（独立同分布下的中心极限定理） 设设X1,X2, 是是独立同分布独立同分布的随机变量序列，且的随机变量序列，且EXi = ，DXi =2 ，i=1,2,，则，则)(lim)(lim1xnnXPxFniinnn )(x 满足满足

6、对对的分布函数的分布函数xxFnnXXDXEXYnniiniininiiin )()()(1111 虽然在一般情况下，我们很难求出虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+ +Xn 的分布的确切形式，但当的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分很大时，可以求出近似分布布.即当即当n充分大时，充分大时，n个个独立同分布独立同分布的的r.v之和近似服从标之和近似服从标准正态分布准正态分布.)(x )(1xnnXPnnii 很大时，很大时，它表明，当它表明，当)(x )(1xXPnii 则则)(nnx )(lim)(lim1xnnXPxFniinnn 例例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服

7、从均值为根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布小时的指数分布. 现随机地取现随机地取16只，设它们的寿命只，设它们的寿命是相互独立的是相互独立的. 求这求这16只元件的寿命的总和大于只元件的寿命的总和大于1920小小时的概率时的概率.由题给条件知，由题给条件知，Xi独立同分布，独立同分布，解解: 设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16EXi=100, DXi=10000)(1xXPnii )(nnx =1- - (0.8)=1- -0.7881=0.2119)40016001920(1 )1920(1)1920(161161 iiiiXPX

8、P则则定理定理2( (棣莫弗拉普拉斯定理）棣莫弗拉普拉斯定理） 定理表明，当定理表明，当n很大，很大，0p1是一个定值时，是一个定值时，有有则对则对，设设xppnBZn , 10),()1(limxpnpnpZPnn )(x 下面介绍的下面介绍的棣莫弗拉普拉斯定理棣莫弗拉普拉斯定理（二项分布收（二项分布收敛于正态分布）是上述定理的特殊情况敛于正态分布）是上述定理的特殊情况.即二项分布近似于正态分布即二项分布近似于正态分布)(xZPn 则则)1(pnpnpx knkbkaknnppCbZaP )1()()(xZPn )1(pnpnpx )1()1(pnpnpapnpnpb )(计算繁琐！计算繁琐

9、！)(查表即可！查表即可！)()(aZPbZPnn 例例2 某车间有某车间有100台车床台车床, 设开工率为设开工率为0.8, 并设每台并设每台车床的工作是独立的，求在某时刻同时开工的台数车床的工作是独立的，求在某时刻同时开工的台数在在70到到86之间的概率之间的概率.解解：用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数， 则则 XB(100,0.8)由棣莫弗由棣莫弗- -拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理P(70X86)48070()48086( 这里这里 np=80, np(1- -p)=16)(bZaPn )1()1(pnpnpapnpnpb )5 . 2()5 . 1( 9

10、27. 0)5 . 2(1)5 . 1( 例例2 某车间有某车间有200台车床台车床, 设开工率为设开工率为0.6, 并设每台并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦千瓦.问应供应多少千瓦电力就能以问应供应多少千瓦电力就能以99.9%的概率保证该的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产车间不会因供电不足而影响生产?用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数，P(XN)0.999的最小的的最小的N.要求满足要求满足解解：设需：设需N千瓦电力，千瓦电力， 对每台车床的观察作为一次试验，对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观每次试验观察该台车床是否工作，察该台车床是否工作， 工作的概率为工作的概率为0.6，共进行，共进行200次试验次试验. 则则 XB(200,0.6)由棣莫弗由棣莫弗- -拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理P(XN)48120( N这里这里 np=120, np(1- -p)=48查正态分布