练习12平面向量的数量积

1、知识梳理知识梳理cosa b a b 02aa ba b 知识梳理知识梳理x1x2y1y2x1x2y1y20自主演练自主演练题型一题型一 数量积的概念数量积的概念设设a、b、c是任意的非零平面向量，且是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题相互不共线，则下列命题 (ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b不与不与c垂直；垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中是真命题的有其中是真命题的有_ 自主演练自主演练【解析【解析】对于对于，b与与c是不共线的两个非零向量，是不共线的两个非零向量，且且ab与与ca不能都为零，故不能都为零，故错误错误对于对于，由三角

2、形的两边之差小于第三边知，由三角形的两边之差小于第三边知正正确确对于对于，由向量的数量积的运算法则，得，由向量的数量积的运算法则，得(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，所以所以(bc)a(ca)bc，故，故错误错误对于对于，由于，由于(3a2b)(3a2b)9a24b29|a|24|b|2，故，故正确正确 答案：答案： 回顾反思回顾反思 判断上述问题的关键是掌握向量的数判断上述问题的关键是掌握向量的数量积的含义向量的数量积的运算律不同量积的含义向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律例如，由于实数乘法的运算律例如，由ab0并并不能得出不能得出a0或或b0.特别是向量的数

3、量积特别是向量的数量积不满足结合律，即不满足结合律，即(ab)ca(bc) 变式训练变式训练【变式练习】下列命题中正确的个数是下列命题中正确的个数是_.若若ab0，则，则a0或或b0；若若abbc(b0)，则，则ac； abba；若若a与与b不共线，则不共线，则a与与b的夹角为锐角的夹角为锐角 变式训练变式训练【解析【解析】对任意与对任意与a垂直的非零向量垂直的非零向量b，都有，都有ab0，故故错错设设a与与b的夹角为的夹角为，b与与c的夹角为的夹角为，则，则由由abbc，得，得|a|cos|c|cos不能得不能得 ac，故，故错错由于向量数量积满足交换律，故由于向量数量积满足交换律，故正确正

4、确向向量的夹角是指两向量起点相同时两个方向所成的量的夹角是指两向量起点相同时两个方向所成的角 ， 可 为角 ， 可 为 0 ， 1 8 0 范 围 内 的 角 ， 故范 围 内 的 角 ， 故 错错 答案：答案：1自主演练自主演练题型二题型二 数量积的坐标运算数量积的坐标运算【思路点拨【思路点拨】(1)根据向量加、减法的几何意义求解；根据向量加、减法的几何意义求解；(2)根据向量数量积的坐标运算，列方程求解根据向量数量积的坐标运算，列方程求解自主演练自主演练 平面向量的数量积的运算法则把平面向量与平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起，使它们之间的相互转化实数紧密地联系在一

5、起，使它们之间的相互转化得以实施因此，一方面我们要善于把向量的有得以实施因此，一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题，利用实数的关问题通过数量积转化为实数问题，利用实数的有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实数问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决数问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决相关问题相关问题回顾反思回顾反思 设向量设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若若a与与b2c垂直，求垂直，求tan()的值；的值；(2)求求|bc|的最大值；的最大值；(3)若若tantan16，求

6、证：，求证：ab.变式训练变式训练变式练习变式练习【思路点拨【思路点拨】利用两向量垂直时数量积为利用两向量垂直时数量积为0的的坐标运算公式可以解第一问，第二问中模的最值坐标运算公式可以解第一问，第二问中模的最值可以转化为三角函数的有界性求解，第三问中利可以转化为三角函数的有界性求解，第三问中利用两向量平行的充要条件进行转化即可得证用两向量平行的充要条件进行转化即可得证变式训练变式训练变式训练变式训练 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公题，除了

7、要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识握三角恒等变换的相关知识 回顾反思回顾反思自主演练自主演练题型三题型三 数量积的基本运算数量积的基本运算自主演练自主演练ABDC自主演练自主演练ABDC自主演练自主演练ADCB思路点拨思路点拨 将将 AC 往与往与AD垂直的垂直的AB、已知长度、已知长度的的AD转化转化 自主演练自主演练ADCB变式训练变式训练变式练习变式练习AFECB思路点拨思路点拨 将将 , 往已知长度的往已知长度的 , 进行转化进行转化.AEAF ABAC变式训练变式训练回顾反思回顾反思

8、 平面向量经常与平面图形的几平面向量经常与平面图形的几何性质相联系，将向量进行转化，何性质相联系，将向量进行转化，化为共线或垂直向量的数量积是常化为共线或垂直向量的数量积是常用手段用手段 自主演练自主演练题型四题型四 数量积的综合运用数量积的综合运用思路点拨思路点拨 思路思路1 将将 展开，将展开，将 用某个变量来表示，再求最值；用某个变量来表示，再求最值；思路思路2 利用数形结合利用数形结合,考虑向量运算的几何意义考虑向量运算的几何意义 () ()0acbc|c自主演练自主演练自主演练自主演练OBAabcC法二法二 作图作图所以所以 的最大值为此圆的最大值为此圆的直径的直径 2|c自主演练自主演练AOCB.思路点拨思路点拨 将将 进行转化，作进行转化，作BC的中垂线，以体现的中垂线，以体现O是的三边是的三边中垂线的交点中垂线的交点. AO自主演练自主演练AOCB.D.自主演练自主演练ACBFE建立坐标系，立即得目标函数建立坐标系，立即得目标函数 自主演练自主演练ACBFEP.xy自主演练自主演练ACBFEP.xy回顾反思回顾反思 建系，将向量的数量积