从现代数学的观点来看中学数学中的立体几何及其教学

1、从现代数学的观点来看中学数学中的立体几何及其教学 数学教育研究 年第 期从现代数学的观点来看中学数学中的立体几何及其教学王连国山东师范大学数学科学学院 丛 艳山东省枣庄市山亭区西爰镇建新小学 现代数学研究的内容及其特征思想方法,向量的引入把几何问题代数化,使得空间,一般来说,现代数学是指世纪 年代以后诞 何结构数量化,可以说把几何学从定性研究阶段推至生的数学,它是研究各种变化的量的相互关系和联系 定量分析阶段.的学科.它产生的主要标志是:罗巴切夫斯基?现代数学的基本观点在立体几何中的体现, ? 、高斯, ? 和. 立体几何中蕴含着丰富的集合论符号语言、向?波约 . ,创立非欧几何,伽罗瓦语言.

2、, ? 创立群论,哈密顿 , ? 创立四元数,以及康托, ? 数学语言可以分为抽象性数学语言和直观性数等刨立集合论.从那以后发展起来的非欧几何、抽 语言,包括数学概念、术语、符号、式子、图形等 .自象代数、集合论、拓扑学、泛函分析、数理逻辑、数学基 康托创立集合论以后,集合语言与符号成为现代数等的基础.立体几何中包含文字语言、符号语言、图形程础等,都是现代数学的内容.¨】在几何基础方面,希尔伯特 , ? 言等.因此,我们可以借助集合语言来表达立体几何畔对欧几里得公理体系进行现代改造,建立了希尔 点、线、面的位置关系,在这里我们把线和面理解为的集合,点和线分别用大写和小写英文字母表示,

3、平面用 ,卢, 表示 , ? 引入 维空问概念,把三维几何发展为多维几何. 世纪以后, ? 文字语言 集合或符号语言等人又以集合论为基础,建立了 维欧氏空间的结构理论.两直线相交于点 口 一 现代数学与初等数学在研究对象、方法和思想上直线和平面相交口一 有着显著的不同.第一,在研究对象上,初等数学以数两直线平行 一 或 /和三维空间的图像为主要研究对象,而现代数学则以直线和平面平行一 或/任意集合及其之间的各种关系为主要研究对象.第二,在思想和方法上,现代数学以集合论为基础,普遍采用如果一条直线上的两 ,点在 ; ,一公理化方法和数学结构观点进行统一处理.如:集合论个平面内,那么 这条直线在此

4、平面内观点、公理化观点、结构观点和同构观点,是现代数学的基本观点.第三,在数学语言上,现代数学全面使用集合论符号、数理逻辑符号,使其语言更加统一和形式 平面外一条直线与此平:口,一 口 面内的一条直线平行, :因此,现代数学和初等数学相比有以下特征:则该直线与此平面平行 亘 口 , 口/口扩充了研究对象,现代数学研究集合以及集合与集合如果一个平面内有两之问的关系,研究结构.数学语言更加形式化、严格条相交直线都平行与:口,: ,且化和规范化;数学思维进一步加强,抽象程度越来越另一个平面,那么这两 / , / 争 /高.数学思想和方法发生根本变化,形成统一的公个平面平行理化和结构化思想.应用上越来

5、越广泛,越来越显著;同时与现代技术结合越来越密切.一条直线与一个平面内的两条相交直线都 ,口 ,中学数学中的立体几何垂直,则这条直线与此 ,上 上口中学数学是指在中学数学教材和课外活动 包括平面垂直数学竞赛 中的数学 .立体几何是初等数学的一个分一支,采用公理化的方法研究空间的点、线、面的各种位个平面过另一个平置关系、性质以及应用,用来培养学生的空间想象能面的垂线,则这两个平, 乍面垂直施高中数学课程标准后,对中学几何的内容进行了一垂直与同一个平面的些删减和调整,将高中数学课程分为必修课程和选两条直线平行 口上口, 上口 口/ 修课程,新增了简单几何体的认识、三视图、平行投影和中心投影等,并且

6、渗透了许多现代数学知识,如空间 年第 期 数学教育研究?下面我们利用集合思想来解决立体几何中的例子.因此,从现代数学的观点来看高中立体 何知识,例 :三个平面两两柏交,有三条交线,求证:这 不仅能够加深我们对现代数学知识的理解,而且能够条交线互相平行或交于一点.。帮助我们更好的把握立体几何的概念、定理和公 的分析:我们把文字语言转化为集合语言,利用集合本质属性及其来龙去脉.思想解决问题. 极限和微积分思想进入立体几何用集合语言表述为:已知, 卢?。,卢 ,: , ,极限和微积分的内容是高等数学 数学分析的主一 .求“/ / 或口 ? 要内容,高中数学新教材在必修课中用微积分的思想证明:若“垂即

7、“/ ,则有? 口 ,一“推导 球的表面积,并且在推导球的体积时,运用了一 ,又。, 二 ,. /?,从而“/ / . “分割球、取近似值、求和、然后转化为准确值”的方法,若“ ? ,则 ?体现了极限思想全面渗透到高中儿何中. . ;同样, 一口从高观点下来看中学立体几何的教学. . .所以, ?. . ,即三条直线交于一点. 要将现代数学思想渗透到中学数学中,使现代数. 向量空间和内积空间与立体几何的融合.学和高中数学联系更加密切,这就要求高中教师不仅 中学数学几何中引入二维和三维空间向量,可具有渊深的现代数学知识作为基础,而且要有相应的以看作是多维空间的基础或原型.如,两点问的距离, 教学

8、策略来运用现代数学的思想和方法来指导中学数过来,这些特例都可以推, 到 维向量空间.识时给出以下几点建议:例如,在平面中, , :, , 掌握高等数学的基础知识.一 方面,通过高等一、二 , 数学的学习过程,可以使教师受到高层次的严格的思维训练,更加深入地掌握数学的思想方法,提高数学素在 。空间中,贝 有, , , ,养;另一一方面,可以利用所掌握的高等数学知识居高临 、二了 ;下的去研究初等数学中的问题,从而深刻地理解和吃对于中任意两点, ,透教材,深化对数学本质的认识,发挥高等数学对初等,则有,数学的指导作用,在教学中做到深入浅出. 如领悟微百 一一一。 一 积分思想处理球的体积,利用等价

9、关系理解向量的定利用空间向量和内积空间有利于学生把握线、义,利用拓扑变换证明多面体的欧拉公式等.面平行、垂直的本质.向量的运用降低了立体几何中的熟练掌握初等数学知识外,还要掌握与教材有思维程度,使抽象的问题定量化,增加了问题的可操作关的数学史、数学文化、数学哲学等与现代数学有关的性,让学生处理起来得心应手,易激发学生对立体几何知识.例如,在求柱体、棱台、球体的体积时可以向学生的兴趣.介绍中国的“牟合方盖”原理和祖抒亘提出的“幂势既同,用向量形式表示立体几何中线、面的位置关系: 则积不容异”一 , 一 ,”表示法向量.还可以让学生比较下这些原理和微积分思想的异同.。:两直线平行 三 一 日 一

10、在教学方法上,利用计算机和多媒体技术制作三维课件,来处理几何体的展开图和二视图,让学生从”:两直线垂直三一 三 一多角度的感受几何体模型,提高学生的窄间想象能力.。:平面“与平面 平行或垂直三两平面的法向 注重文字语言、符 语言、图形语占之间的相量 :与” 平行或垂直。:直线 与平面 的平行或垂直直线 与平面培养学生的空间能力,而且还能够丰富学生的数学语卢的法向量”垂直或平行言.文字语言虽然通俗易懂,但不易表露知识的内部结十勾;图像语言直观、生动,易生成表象, 不够精确;符。:异面直线所成角的公式. 一 青针号语言虽然抽象,但是非常简洁、准确.虽然文字语言、。:两乎面 , 所成的二面角日,/ , 为两平面的符号语言、图想语言各有优缺,但是它们对表达的某一法向量,则 臼一 订 ,或 口一 一 , 一内容具有等效性.因此,对抽象的立体几何概念、定理:翌来说要求学生用不同的语青来表述,有利于学生对概/ 念、定理的理解和把握,有助于分析问题、解决问题.此外,直线的平行和相等向量都可以从等价类的 在处理点、线、面位置关系的证月时,提倡学生角度来理解,所有互相平行的直线都可以看作同一个采用不同的方法 向量法、综合法即传统方法 去证明,等价类 这里把直线的重合看成特殊的平行 ,这样更有利于学生把握空间异面直线所成的角;相等向量都理,当讲完向量知识后,教师要求学生用向量的知识去可以简化为从