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1、试卷纸第 1 页台州学院 2 0 1 5 学年第2 学期2015 级 数学与应用数学专业高等代数 II试卷(A 卷)题号分值一二三四五六总分103015151020100一一. 叙述题叙述题(每小题每小题 5 分，共分，共 10 分分)1. 请叙述代数基本定理。2. 请叙述线性空间基的扩充定理。二二. 填空题（每空填空题（每空 2 分，共分，共 30 分）分）1. 最小的数域是。2. 设 g(x) | f (x)，则 f (x), g(x) 的最大公因式是 ，最小公倍式是3. 任一个 n 维欧氏空间都与 同构。 |A Pn n A A， dimV 。4. 设 P 是数域，V k 2k W k

2、R5.作为实数域上的线性空间的维数是，一组基是。3k 4k 3 1 16. 已知 A L(V )在V 的一组基下的矩阵为，A 的特征值为 , , ，则 1 3 11 1 31 2 3 + + = ， =。1231 2 37. 数域 P 上的 n 阶矩阵 A 可以对角化的充要条件是a b 。8. 线性变换 A 在基 , 下的矩阵为，则 A 在基 2 ,3 下的矩阵。1 212 c d 9. 矩阵 A 的不变因子为 1,1,1, ,是 。2( 1)2，则 A 的 Jordan 标准形是 ，最小多项式1020110. 三维欧氏空间的一组基 , , 的度量矩阵 ， ， 1 31230013 ，那么内积

3、 ( , ) 。13试卷纸第 2 页11. 设 A 是欧氏空间V 上的线性变换，则 A 为对称变换当且仅当。f (x) x5 4x4+x310 x2 4x 8， g(x) x x 2，2三三. (15 分分)设(1) 求 f (x) 的全部有理根；(2) 求 f (x)） g(x)的最大公因式 ( f (x)） g(x)；(3) 求 f (x)） g(x)的最小公倍式 f (x)） g(x)。四四. (15 分分)设 A 是三维线性空间 上的线性变换， =(1,0,0)） (0,1, 0)）R31 2 (0, 0,1) ， A =(1,2,3)） A (0, 2, 3)） A (0, 2, 3

4、) ， (x , x , x ) ，3123123(1) 求 A ）(2) 求 A 在 , , 下的矩阵；123(3)求值域 AR3的维数和一组基；(4)求 A1(0)的维数。f (X ) 2x12 2x22+2x32 2x x 2x x 2x x2 3，五五(10 分分)设实二次型1213(1)求正交变换 X TY ，使得 f (X ) f (TY) 为标准形；(2) 判断该二次型的正定性并说明为什么。六六 证明题证明题(每小题每小题 5 分，共分，共 20 分分)1. 如果 ( f (x), g(x) 1， ( f (x),h(x) 1，证明 ( f (x), g(x)h(x) 1。2.

5、证明实对称矩阵的属于不同的特征值的特征向量正交。3. 证明每一个 n 维线性空间都可以表示成 n 个 1 维子空间的直和。4.设 A 是线性空间V 上的线性变换，证明 A 的核 A1(0)是A的不变子空间。数学与应用数学专业 2016高等代数 II试卷 A参考答案一叙述题一叙述题(每小题每小题 5 分，共分，共 10 分分)1. 代数基本定理：复数域上任一个次数大于零的一元多项式在复数域中至少有一个根。2. 基的扩充定理：线性空间 V 的任一个线性无关的向量组都可以扩充成 V 的一组基。(线性空间 V 的任一个子空间 W 的一组基都可以扩充成线性空间 V 的一组基)二填空题填空题(每小题每小题

6、 2 分，共分，共 30 分分)n(n 1)1 21. 有理数域 2. g(x) ， f (x)3. Rn4.5. 1，23 4 a32b6. 9, 20 7. A 有 n 个线性无关的特征向量 8. 23cd002( +1)29.1 0，10.，211111.对任意的, V ，( A , )=( , A )。f (x) x5 4x4+x310 x2 4x 8，全部可能的有理根为1,2,4,8(1 分)三. 解：解：(1)首先有 f (1) 0 ，(2 分), 利用综合除法：11-4-1-5-1-6-1-71510-6-4-4-88-88-1-1-1(3 分)6406-1212 -807-19

7、-27119(8 分)得1 是 f (x) 的 2 重根且f (x) (x 1)2(x3 6x 12x 8)。2x3 6x212x 8 (x 2)3，所以f (x) (x 1)2(x 2) f (x)，得3全部的有理根为(10 分)又1,1. , 2, 2,2。(2) 由于 g(x)|f (x) ，所以( f (x), g(x) g(x) x2 x 2。(13 分)(3) 由于 g(x)|f (x) ，所以 f (x), g(x) f (x) 。(15 分)1 0 01 0 0四四解：首先由条件得 (A , A ,A ) ( , , ) 2 2 2 ，记 A 2 2 2 。1231223 3

8、33 3 3(1)因为 (x , x , x )=x x x ,所以1231 1223 3 x x 11A =x A x A x A (A , A ,A ) x ( , , )A x11223312321232x3x3x1 ( , , ) 2(x x x )1231233(x x x )123A (x ,2x 2x 2x ,3x 3x 3x ) 。(4 分)(8 分)11231231 0 0(2) A 在 , , 下的矩阵为 A 2 2 2 。1233 3 3(3)值域 A R3的维数是 2，一组基为(1,2,3), (0,2,3)；(12 分)(15 分)(4) A1(0)的维数是 1。2

9、1 1f (X ) 2x12 2x22+2x32 2x x 2x x 2x x2 3的矩阵为A 1 2 1，五解：五解：二次型12131 1 2| E - A| f ( ) ( 4)( 1)2, 特征值为 4,1, 1。(3 分)当 =4，解齐次线性方程组 (4E A)X 0，得基础解系(1,1,1).(4 分)当 =1，解齐次线性方程组 (E A)X 0，得基础解系(1,1，0)， (1,0,1)。(5 分)11111把 它 们 正 交 化 为 (1,1， 0)， (1,1,2)。 标 准 化 为 (）,) ， (）,0) ，33322112(）,)。666 111 6321 11 令T (

10、6 分)， 由于 T 的列向量组是一个标准正交的向量组，所326 12 0 36 以 T 是正交矩阵，且4T1ATTTAT 1.作正交线性替换为标准形。X TY，则1f (X ) f (TY) 4y12 y22 y33(8 分)(10 分)(2)这是一个正定的二次型，因为其特征值全部都大于零。六六. 证明题证明题 (每小题 5 分，共 20 分)1. 证证 明明 ： 由 于 ( f (x), g(x) 1， ( f (x),h(x) 1， 所 以 存 在 多 项 式u(x),v(x),k(x),l(x) 使得 u(x) f (x) v(x)g(x) 1） k(x) f (x) l(x)h(x)

11、 1，(1 分)两式相乘得：(u(x)k(x) f (x) u(x)l(x)h(x) v(x)k(x)g(x) f (x) v(x)l(x)g(x)h(x) 1，所以( f (x), g(x)h(x) 1。(5 分)2. 证明：证明：设 A 是实对称矩阵， A , A , ， 0, 0，再设 , ,., 是 n 维欧氏空间 V 的一组标准正交基，A 是 V 上的对称变换，A 在 V 的标12n准 正 交 基 , ,., 下 的 矩 阵 为 A ， (2 分 )则 ( A , ) ( , ) ( ,， A12n) ( , ) 得( )( , ) 0 . 由于 得( , ) 0 ，即命题成立。(5

12、 分)3.证明：证明：设 , ,., 是 n 维线性空间 V 的一组基，则V L( , ,., )，令12n12nV L( ),i 1, 2,.,n ，(2 分)则由生成子空间和的性质，iiV L( , ,., )=L ( ) L ( ) L ( ) V V V 。12n12n12n设 + + =0， V ,i 1, 2,.,n, k P 使得 k ,i 1, 2,.,n.得12niiiiiik +k +k =0，由于 , ,., 是 n 维线性空间 V 的一组基，所以1122nn12nk =k =k =0，即 0,i 1, 2,.,n. 所以V V V V 是直和，而且每一个子12ni12n空间都是 1 维的。 (5 分)4. 证证 明：明：设 A