基于多种数值分析方法的电压暂降凹陷域快速算法

1、基于多种数值分析方法的电压暂降凹陷域快速算法*王晞1，唐权1，陈礼频1，张玉鸿1，阚力丰2，李华强2（1.国网四川省电力公司经济技术研究院， 成都 610041；2.四川大学 电气信息学院， 成都 610065）摘要：提出一种基于数值分析理论的电压暂降凹陷域计算方法，该方法在暂降幅值解析计算式的基础上引入多种数值分析方法求解临界故障点。将临界故障点的确定简化为二次函数根的求解问题，并在满足计算准确性的前提下灵活采用不同的数值分析方法以达到更快收敛速度。该方法对于给定网络参数的系统广泛适用，与故障点法和单一数值解法的计算结果和算法性能的对比验证了所提方法对于求解暂降凹陷域的准确性和有效性。关键词

2、：电压暂降；凹陷域；临界故障点；数值分析中图分类号：TM71 文献标识码：A 文章编号：1001-1390（2018）08-0000-00Fast algorithm for vulnerable area of voltage sag based on mutiple numerical analysis methodsWang Xi1, Tang Quan1, Chen Lipin1, Zhang Yuhong1，, Kan Lifeng2，, Li Huaqiang2(1. Sichuan Electric Power Company Economic and Technological

3、 Research Institute, Chengdu 610041, China. 2.College2. College of Electrical Engineering and Information Technology, Sichuan University, Chengdu 610065, China)Abstract：A methodology for vulnerable area of voltage sag based on numerical analysis theory is proposed in this paper. This method introduc

4、es a variety of numerical analysis methods to solve the critical fault points on the basis of the analysis of the sag amplitude. The problem of critical fault point is reduced to the problem of solving the root of the quadratic function, and different numerical analysis methods are used to achieve f

5、aster convergence speed under the premise of satisfying the computational accuracy. The method has a wide adaptability to a power system with a given network parameter. The comparison between the results of the fault point method and the single numerical solution and the performance of the algorithm

6、 verifies the accuracy and effectiveness of the proposed method for solving the sagging area.Keywords：voltage sag , vulnerable area, critical fault point , numerical analysis 0引 言*基金项目：国网四川省公司科技项目（）随着工业过程中大量敏感设备投入使用，电压暂降和短时中断对工业敏感用户造成的经济损失日趋严重Error! Reference source not found.-Error! Reference sourc

7、e not found.。国际电气和电子工程师协会(IEEE)定义电压暂降为电压有效值快速下降到额定值的90%-10%,持续时间为0.5周波至1minError! Reference source not found.的电能质量现象。电网故障是电压暂降的主要成因Error! Reference source not found.，工业敏感用户是否受电压暂降的影响与自身敏感度、所处位置和电网故障点位置等因素有关Error! Reference source not found.。电压暂降凹陷域是指系统故障引起电压暂降使系统中所关注的公共连接点(point of common coupling，P

8、CC)电压降至最低耐受电压幅值以下的故障点所在的区域Error! Reference source not found.。电压暂降凹陷域识别的意义在于其对电网规划、改造以及工业敏感用户选址提供的理论依据和数据支撑。现有的电压暂降凹陷域识别方法主要包括实测法和预估法Error! Reference source not found.-Error! Reference source not found.。实测法需要对电力系统和电力用户进行长期观测，其时间成本和经济成本都很高，可行性不强。文献Error! Reference source not found.和文献8-Error! Referenc

9、e source not found.分别介绍了临界距离法和故障点法，但临界距离法适用于辐射型网络的计算，而不适用于环网计算；故障点法若要达到1%的精度则需在每条线路均匀设置100个故障点，且对于故障点的设置国内外尚无统一认识Error! Reference source not found.。文献Error! Reference source not found.提出一种利用暂降幅值解析计算式计算凹陷域的方法，遗憾的是其求解使用的数值处理方法单一，算法性能有待提高。针对上述问题，本文提出一种基于多种数值分析方法的电压暂降凹陷域解法，详细阐述了凹陷域解析计算所涉及的数值分析方法。在保证计算准确

10、度的前提下提高计算速度，为大型系统的凹陷域计算提供快速准确的计算方法。将临界故障点的求解问题简化为二次函数与暂降阈值的交点问题，并按根的个数分情况处理，避免逐一计算各线路故障导致敏感节点电压暂降的最大幅值和最小幅值，弥补了对所有线路采取同样的数值处理方法所导致的算法低效和局部不收敛的不足。1电压暂降幅值解析式假设传输线路i-j上f点发生故障，用p表示故障距离，如图1所示。图1 故障距离示意图Fig.1 Fault distance schematic diagram (1)式中；为线路首端到故障点f的距离；为线路首端到末端的距离。电压暂降幅值解析式可用故障距离为变量表示如下：(2) (3)式中

11、表示所关注PCC节点；为故障点；为所关注节点与故障点的互阻抗矩阵；为故障点自阻抗矩阵；0、1、2分别表示零序、正序和负序。其中正、负、零序阻抗矩阵的计算方法文献Error! Reference source not found.已做详细阐述，本文不再赘述。各类型故障情况下节点电压幅值计算式如式(4)式(10)所示，其中不对称故障均以A相为基准相。三相接地短路： (4)单相接地短路： (5)两相短路： (6) (7)两相短路接地： (8) (9) (10)式中；下标分别代表系统中的A、B、C相。2临界故障点计算临界故障点计算是凹陷域识别的关键步骤Error! Reference source n

12、ot found.，而现有临界故障点计算使用的数值处理方法单一，算法性能较差。由前文所述易知，电压暂降幅值解析计算式是故障距离的二次函数，待求的临界故障点方程为高阶非线性方程。因此，在给定电压阈值的情况下，临界故障点的求解问题可等效为二次函数与电压阈值的交点问题，如图2所示。图2 暂降幅值解析式与阈值的交点示意图Fig.2 Schematic diagram of the intersection of sag amplitude equation and threshold2.1根的个数问题由图2可知，曲线1、2、3分别刻画了根个数为2个、1个(重根)和无根的情况。此外，在实际求解过程中，还

13、伴随着根值无意义的情况，即pi<0或pi>1，此时需要视具体情况做区别处理。根的个数，可通过两种途径得到，一是利用搜索算法求得曲线中的最大值，通过比较最大值与暂降阈值的大小关系判定根的个数；二是利用插值方法求出暂降幅值对故障距离的显式表达式近似替代真实的幅值表达式，进一步利用判别式与根个数的关系判断，下面对两种方法展开解释。2.1.1最大值搜索算法电压暂降幅值解析式是一种典型的一元单峰函数，黄金分割搜索法能快速求解一元单峰函数最值。该算法在函数定义区间内依据黄金分割比例对称取得一系列搜索点，通过计算和比较对应的函数值不断缩小搜索区间来逼近函数最值解和对应的最值Error! Refe

14、rence source not found.。通过黄金分割搜索算法求解最大暂降幅值对应的故障距离，求解步骤如下：(1)确定搜索上界和下界，由式(11)计算故障距离和： (11)(2)将故障距离代入电压暂降幅值计算式得到和；(3)比较和的大小，若，则最大暂降幅值处于内，令；反之最大暂降幅值则处于，令。(4)判断是否小于等于。若是，则最大暂降幅值对应的故障距离，搜索结束。否则，转到步骤(1)重复搜索。2.1.2 插值方法牛顿插值法不但继承了迭代插值便于增加节点的优点，还能给出插值多项式的显式表达式Error! Reference source not found.。由于暂降幅值表达式是故障距离p

15、的二次函数，因此使用牛顿插值法时仅用到二阶均差即可，如式(12)所示，牛顿插值系数可由式(13)式(15)计算得到。 (12)式中为关于距离的零阶均差；为关于距离的一阶均差；为关于距离的二阶均差。 (13) (14) (15)在利用牛顿插值法得到暂降幅值显式表达式的基础上，将二次方程求根公式求出的根值作为弦割法迭代初值。2.2根的求解方法非线性方程根的数值求解方法有很多：牛顿迭代法(如式(16)所示)收敛速度快，但它对导数表达式的要求在未知的情况下难以满足；简化牛顿法(如式(17)所示)将用常数替换，其计算性能依赖于常数的选取，然而实际计算中合适的值很难选取；弦割法(式(18)所示)较好地避免

16、了上述问题，且其几何意义明确Error! Reference source not found.，如图3所示。本文利用弦割法求解临界故障点。 (16) (17)图3 弦割法求解示意图Fig.3 Schematic diagram of secant method过曲线上两点,作直线，将该直线与轴交点横坐标作为根新的近似值，该割线方程为： (18)经整理可得式(19)： (19)经推导得到临界故障距离迭代表达式: (20)式中为迭代次数；为电压暂降阈值。3基于数值分析理论的凹陷域求解方法上述方法的适用场景、计算速度和迭代精度都不尽相同，因此本文提出基于数值分析理论的凹陷域求解方法旨在保证算法精度

17、的前提下提高计算速度，以期为大型系统的计算提供帮助。计算各节点故障时敏感节点s的暂降幅值，形成PCC点暂降幅值n维向量Vsag，如式(21)所示。 (21)式中：为母线i故障时敏感负荷所在节点s的暂降幅值。计算各节点故障时敏感节点暂降幅值与电压暂降阈值的差值，形成差值向量Vsag。通过判断该向量元素的正负可知各节点是否处在敏感节点的暂降凹陷域内，可以避免计算整条线路中引起暂降幅值最大和最小的点，从而节省了计算时间开支。 (22)式中为节点的电压暂降幅值。为便于计算，将Vsag大于等于0的母线标记为1，反之标记为0，并形成节点记号向量B，如式(23)所示。 (23)相应地，将每条线路中：首端节点

18、和末端节点都处在敏感节点的暂降凹陷域内的线路(以下简称“凹陷域”)标记为2；将一端处在凹陷域内的线路标记为1；首末端都不位于凹陷域中的线路记为0。由此可形成线路记号向量。结合二次函数图像分析如下：Case 1：L=0表示线路首末节点电压幅值均低于电压阈值，由二次函数的几何意义易知该条线路都不在凹陷域内。Case 2：L=1表示线路首末节点有一个处于凹陷域内，该情况又可分为2种情况，如图4的1,2曲线所示。此时均需求解二次函数与阈值的另一个交点，使用牛顿插值法以线路首、末、中点故障距离和暂降幅值为插值点求解显式表达式，即(0,Vfrom)、(0.5,V0.5)和(1,Vto)，利用二次函数求根公

19、式求该插值函数的根作为弦割法迭代的初始解。图4 L=1时临界故障点示意图Fig.4 L=1 Critical fault point schematic diagram when L=1Case 3：表示线路首末节点暂降幅值均低于阈值，此时仅需通过确定暂降幅值的最大值与电压阈值的大小关系即可确定临界故障点个数。若暂降幅值最大值大于电压阈值则说明该线路有两个临界故障点；反之则表示该条线路完全处于凹陷域内。具体计算步骤如下：(1)首先计算给定的系统的正、负、零节点阻抗矩阵，并使用式(4)式(10)分别计算得到敏感负荷所在节点在各节点发生不同故障类型时电压暂降幅值。(2)根据步骤(1)得到的敏感节点

20、的暂降幅值向量，按照式(23)计算节点记号向量和线路记号向量，并开始逐条线路轮询。若为0说明此线路不在凹陷域内，则直接计算下一条线路；若为1则说明该条线路首末节点有一个处在凹陷域内，用牛顿插值法寻找暂降幅值的显式表达式；若为2则用黄金分割搜索法求解其最大值。将求得的最大值与电压阈值比较，若最大幅值小于等于阈值，则说明此线路处在凹陷域内，否则使用牛顿插值法利用、和三点求暂降幅值表达式。得到显式表达式后均采用弦割法迭代求解准确值。(3)重复步骤(1)、(2)直到完成系统所有线路的迭代或轮询，此时可得到给定阈值和敏感负荷节点下的电压暂降凹陷域。图5 电压暂降凹陷域快速求解算法流程图Fig.5 Flo

21、wchart of fast solution algorithm for vulnerable area of voltage sag area4算例分析本文算例使用的计算机CPU为Intel Celeron，2.9 GHZ，RAM为2.00 GB，操作系统为64位Windows 7，仿真软件为Matlab 6.0。本文采用IEEE-30进行仿真分析。IEEE-30系统包含6台发电机组、30条母线、37条线路以及4台变压器，假设所有变压器均采用Y0/Y0接线方式，假设节点10为敏感负荷所在节点，如图6所示。图6 IEEE30节点系统Fig Fig.6 IEEE30 IEEE30-node s

22、ystem在该系统中分别设置电压阈值为0.8,0.7,0.6 p.u.。利用前文所述的计算方法，可得节点10对应的凹陷域如图7所示，图中所示凹陷域由外到内对应的电压阈值依次为0.8、0.7、0.6。为对比各算法性能，本文采用三种方法求解该系统的节点10在电压阈值为0.8 p.u.时的凹陷域。三种方法依次是故障点法、单一数值解法和本文所述方法。限于篇幅，本文对各算法的对比分析仅以三相短路为例。图7 三相短路时节点10对应的电压暂降凹陷域Fig.7 Vulnerable area of Voltage voltage sag area corresponds to node node-10 cau

23、sed by three-phase short-circuit fault设置故障点法的计算精度为0.01，对线路采用均匀设置故障点的方式，要达到0.01的精度需对每条线路均匀设置100个故障点。由于每条线路中的临界故障点最多两个，因此，本文将每条线路的凹陷域分为两个区间表示，如：线路1-2的凹陷域为0.780,1表示按1-2的方向，从线路0.780的位置到线路末端均处于凹陷域内。部分线路的计算结果(含有临界故障点的线路)如表1所示。若以故障点法的计算结果为标准，表1中，单一数值解法的计算结果较故障点法有不同程度偏差，同等条件下，本文算法的计算结果更接近故障点法的计算结果。由于实际系统中线路

24、分布情况更为复杂，因此对计算结果的精度要求更高。各算法的性能对比如表2所示。不难发现，使用单一数值解法尽管在求解速度上较故障点法有一定提高，但由于其对每条线路均采取先插值得到显式表达式再求临界故障点的方式，算法低效、灵活性较差，且难以避免迭代不收敛情况的发生。表1 故障点法与本文方法部分计算结果对比Table Tab.1 Comparison of part of calculation results between fault position method and the proposed method首端末端故障点法单一数值解法本文方法区间1区间2区间1区间2区间1区间2120.780

25、,1-0.772,1-0.779,1-130.806,1-0.802,1-0.805,1-240,0.1210.483,10,0.1260.479,10,0.1220.481,1250,0.047-0,0.042-0,0.047-570.874,1-0.881,1-0.874,1-12140,0.761-0,0.747-0,0.759-14150.303,1-0.287,1-0.303,1-24250,0.774-0,0.769-0,0.771-表2 各算法的性能对比Table Tab.2 Performance comparison of the algorithms性能故障点法单一数值解法

26、本文方法耗时/s3.801.320.78收敛性-较高高5结束语1) 利用电压暂降幅值解析计算式求解暂降凹陷域对于各种结构的系统具有广泛适用性，计算结果准确可靠。2) 将临界故障点的求解简化为解析式二次函数与电压阈值的交点问题使该问题的几何意义明确化，在此基础上引入多种数值求解方法系统性求解，避免了对每条线路使用单一数值解法导致的算法低效性，大幅提升了算法性能。参 考 文 献1 Cebrian J C, Kagan N, Milanovic J V. Probabilistic Estimation of Distribution Network Performance With Respect

27、 to Voltage Sags and Interruptions Considering Network Protection Setting: Part II Economic AssessmentJ. 2016, PP(99):1-1.2 Chan J Y, Milanovic J V, Delahunty A. Risk-Based Assessment of Financial Losses Due to Voltage SagJ. IEEE Transactions on Power Delivery, 2011, 26(2):492-500.3 Zhong Q, Huang W

28、, Tao S, et al. Survey on assessment of power quality cost in Shanghai ChinaC/ IEEE Pes General Meeting | Conference & Exposition. IEEE, 2014:1-5.4 Sabin D D, Bollen M H J. Overview of IEEE Std 1564-2014 Guide for Voltage Sag IndicesC/ IEEE, International Conference on Harmonics and Quality of P

29、ower. IEEE, 2016:497-501.5 肖湘宁. 电能质量分析与控制M. 中国电力出版社, 2010.6 刘旭娜, 肖先勇, 汪颖. 电压暂降严重程度及其测度、不确定性评估方法J. 中国电机工程学报, 2014, 34(4):644-658.7 Bollen M H J. Method of critical distances for stochastic assessment of voltage sagsJ. IEE Proceedings - Generation, Transmission and Distribution, 1998, 145(1):70-76.8 陈铁敏, 杨洪耕. 基于改进故障点法的电压凹陷评估J. 电力自动化设备, 2008, 28(6):66-69.9 Aung M T, Milanovic J V, Gupta C P. Pro