外汇期权定价的新方法_保险精算方法

1、文章编号1000-5269(2004 01-0043-03外汇期权定价的新方法保险精算方法刘倩, 刘新平(陕西师范大学数学与信息科学学院, 陕西西安710062 摘要在利率确定情形下, 利用公平保费原则和价格过程的实际概率测度保险精算方法给出外汇期权定价公式, 得到了欧式看涨期权和看跌期权的价格的表达式及平价关系。关键词期权定价; 公平保费; 概率测度; 保险精算中图分类号O211. 6;F830. 9文献标识码A1引言近年来, 随着世界各国期权交易所的出现, , , 利用复制的思想得到, 用复制的思想Black 2S ch oles 公式断言:(股票 和无风险证券(债券 组成的投资组合精确复

2、制, 换句话说, , 因此在无套利完备的市场假设下期, 但当市场是有套利、非均衡、不完备时, 传统的期权定价方法将无法使用。1998年M ogens Bladt ,T ina H viid Rydberg 2首次提出期权定价的保险精算方法, 其基本思想是:无风险资产(确定的 按无风险利率折现, 风险资产(随机的 按期望收益率(定义如(1 折现, 欧式期权的价值等于在期权被执行时股票期末价值按期望收益率折现的现值与执行价(无风险的 按无风险利率折现的现值之差在股票价格实际概率测度下的数学期望。与期权定价的鞅方法相比较, 保险精算方法的不同之处在于:计算数学期望所用的概率测度、期权被执行的条件以及

3、计算可能损失的方式。在鞅方法下, 欧式看涨期权的价格等于期权被执行时(即股票期末价格大于期权的敲定价 , 股票期末价与期权敲定价之差在等价鞅测度下的数学期望。等价鞅测度即为使股票折现价格过程为鞅的概率测度, 通常不一定是股票价格过程的实际概率测度。当金融市场是有套利、非均衡(等价鞅测度不存在 或不完备(等价鞅测度存在但不唯一 鞅方法将不能使用。保险精算方法将期权定价问题转化为等价的公平保费确定问题, 由于无任何经济假设, 所以它不仅对无套利、均衡、完备的市场有效, 且对有套利、非均衡、不完备的市场也有效。本文将保险精算方法运用到利率确定情形下外汇期权的定价当中, 给出了欧式看涨和看跌期权的解析

4、表达式和平价关系。2外汇期权的保险精算定价方法假定外汇汇率价格过程Qt :t0满足方程:dQ t =Q t d t +Q t dw t(1 国外债券价格B f t 及本国债券价格B d t 分别满足方程:dB f t =B f t r f dt , B f T =1, B f t =e -r f (T -t (2 dB d t =B d t r d dt , B d T =1, B d t =e -r d (T -t (3 其中wt ,0t T为概率空间(,F ,P 上标准布朗运动, 令Ft ,0t T为wt ,0t T产生的自然-代数(即信息流 , 并假定, 为非负常数, 是汇率价格的期望收

5、益率, 是汇率价格的波动率。国外无风险利率r f 和国内无风险利率r d 为常数且对所有到期日都相同,T 是外汇期权的到期日。 M ogens Bladt 和T ina Hviid Rydberg 利用公平保费原理将期权定价问题转化为保险问题, 其基本思想收稿日期:2003-10-13作者简介:刘倩(1979- , 女, 陕西西安人, 陕西师范大学在读硕士研究生。研究方向:应用数理统计。第21卷第1期贵州大学学报(自然科学版 V ol. 21N o. 12004年2月Journal of G uizhou University (Natural Sciences Feb. 2004是:投资者买

6、入一份期权, 对方(即金融机构, 期权出售者 在期权有效期内就会承担一定潜在的风险, 若要为这一风险加上保险, 其保费就是这一期权的价格, 也就是用对方所承受风险的大小来衡量期权价值的大小。有关期权保险精算定价的概念沿袭M ogens Bladt 和T ina Hviid Rydberg 。定义2. 1外汇汇率价格过程Q 在0,T产生的期望收益率定义为:e T =Q 0注:在此定义中, 我们并不要求过程Qt 的具体形式,依赖于时间T 和Q T 的分布,E 是Q T 在实际概率分布下的数学期望。用C (k ,T ,P (k ,T 表示到期日为T , 执行价格为k 的欧式看涨和看跌外汇期权在现在时

7、刻的保险精算定价。外汇期权又称货币期权, 是以外国通货为交易对象的期权, 看涨(看跌 期权是指投资者有权在一定时间内按约定的汇率买入(或卖出 某种货币, 与另一种货币交换。定理2. 2欧式外汇看涨期权在现在时刻的价值为:外汇汇率到期日价格按期望收益率折现的现值与国乘积按国内无风险利率折现的现值的差, E 。C (k ,T =E (e -T Q T e -r f T B f T -ke -r d T B d T IeT Q T e -r f T f r dT B d =E (e -T Q T B f 01-kB d 01 IeT 0 证明外汇期权执行的充要条件是e T Q T e -r f T

8、B f T ke d , 发行人遭受的相应的损失就是:e -T Q T e -r f T f T -ke -r d T B d T那么发行人需要支付的公平的保费就应该是这笔损失的期望值, 这也就是该外汇看涨期权的价格。注1 没有对金融市场和价格过程作任何限制。计算外汇期权价格时只利用了价格过程在期末时的实际概率分布和公平保费原理, 克服了鞅方法定价中寻找等价鞅测度的困难。所以保险精算定价对非均衡, 不完备金融市场也适用。2 外汇期权的保险精算定价与传统的无套利定价有许多本质的区别:保险精算定价中欧式看涨期权执行条件为e -T Q T e -r f T B f T ke -r d T B D T

9、 , 而不是Q (T k , 而且计算数学期望的概率测度也不同。3 当汇率价格过程Qt :t 0是几何Brown 运动时, 欧式外汇期权的保险精算定价和鞅方法定价是一致的。定理2. 3假设汇率价格过程Qt :t 0满足(1 式, 国外债券价格B f t 及本国债券价格B d t 分别满足(2 和(3 式, 则1 C (k ,T =B f 0Q 0N (d 1 -K B d 0N (d 2(4 2 P (k ,T =K B d 0N (-d 2 -B f 0Q 0N (-d 1(5 3 C (k ,T +K B d 0=B f 0Q 0+P (k ,T (6其中d 1=ln f d -22T d

10、 2=d 1-=ln f D d K -22T N (x =x-e -22dy 证明因为dQ t =Q t dt +Q t dw 由Ito 引理该随机微分方程有唯一解:Q t =Q 0e(-22 t + W t 44贵州大学学报(自然科学版 第21卷54第1期刘倩, 刘新平:外汇期权定价的新方法-保险精算方法 11T AO Zhu , Jacks on W. G. , 一个特殊的多吡啶钴(配合物J, 无机化学学报,2000, 16(3 , 485-491. 12宁永成编著, 有机化合物结构鉴定与有机波谱学(第二版 M.科学出版社,1998. 75-76.13Hay J and. W adt W

11、 R. Ab initio effective core potentials for m olecular calculations , potentials for potassium to g old including the outerm ost core orbitalJ.J Chem Phys , 1985, 82, 299-303.14W ong M. W. , Frisch M. J. and W iberg K. B. S olvent E ffects. 1. The mediation of electrostatic effects by s ovent J.J. A

12、mer. Chem S oc , 1991,113, 4776-4787.15W ong M. W. , Frisch M. J. and W iberg K. B. S olvent E ffects. 2. M edium effect on the structure , energy , charge density , and vibrational frequenciesof sulfamic acid J.JAmer Chem S oc , 1992, 114, 523-527.Synthesis ,Separation and NMR Analysis of Isomerin

13、the Co(bamp (aep ClZ nCl 4SystemWE N Zu 2Biao ;XIE Sai 2Feng ,T AO Zhu ,LI N R ong (Institution of Applied Chemistry , G uizhou , Abstract An is omer of C o (2,62( pyridine Cl ZnCl 4system has been synthesized by decom 2analysis show that the com plexes of the sec 2ond band is one of the H structure

14、 by a com putational result of RHF/LAN L2DZ title system.K ey w ords C plexes ;C H structure ;NMR spectra Analysis (上接第45页参考文献1Black F ,Scholes M. The pricing of options and corporate liabilitiesJ.Journalof Economy ,1973,81(3 :637-654.2M ogens Bladt ,T ina Hviid Rydberg. An actuarial approach to opt

15、ion pricing under the physical measure and without market assum ptionsJ.Insurance :M athematics and Economics ,1998,22(1 :65-73.3约翰赫尔著. 期权、期货和衍生证券M.张陶伟译, 北京:华夏出版社,1997,223-264.4闫海峰, 刘三阳. 广义Black 2Scholes 模型期权定价新方法保险精算方法J. 应用数学和力学,2003,24(7 :730-739.5Musiela M ,Rutkowski M. M artingale methods in fin

16、ancial m odelingM.Berlin ;Heidelberg ;New Y ork :Springer Verlag ,1997. 109-181.N e w Method to Option Pricing on Foreigncurrency 2An Actuarial ApproachLI U Qian ,LI U X in 2ping(C ollege of M athematics and In formation Science ,Shanxi N ormal University ,710062X i an ,Shanxi ,China Abstract In this paper ,assume that the interest is given ,using physical probability measure of price process and the principle of