高等数学 第二章 极限与连续

1、第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) ， (2) (代表同一变量). 3.基本方法 利用函数的连续性求极限； 利用四则运算法则求极限； 利用两个重要极限求极限； 利用无穷小替换定理求极限； 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限； 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限； 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理

2、左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 二、要点解析 问题1 如果 存在，那么函数在点处是否一定有定义? 解析 存在与在处是否有定义无关例如，而 =在处无定义；又如，而在处有定义.所以，存在，不一定有在点有定义. 问题2 若存在，那么和是否一定存在？是否一定有=？解析 存在，并不能保证与均存在.例如，而不存在.又因为只有在与均存在的条件下，才有=,所以存在，不能保证=问题3 是否正确，为什么?解析 不正确.尽管，而.这说

3、明,时，不是无穷大. 三、例题精解 例1 求下列极限: (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) .解 (1)由于讨论函数在处有定义，而且在处连续，所以有(2) （这是型，设法将其化为）(3) （这是型未定式） （分子、分母均含非零因子）(4) 需要注意，是由于为时的无穷小量，1，即为有界函数，所以为时的无穷小. (函数符号与极限符号交换)（分子有理化）(6) （适当变形） （利用商的极限公式） （利用重要极限） 例2设 问为何值时存在，并求此极限值. 解 对于分段函数，讨论分段点处的极限.由于函数在分段点两边的解析式不同，所以，一般先求它的左、右极限. ， 为使存在

4、，必须. 因此，时，存在且例3 设 问当为何值时，是的间断点? 是什么间断点?解，当，亦即时，是的间断点；由于为大于0的实数，故均存在，只是，故为的跳跃间断点.例 4 已知 ，求的值.解 因为 ，由有理函数的极限知，上式成立，必须有和的系数等于0,即，于是.四、练习题1 判断正误 若函数在处极限存在，则在处连续. ( )解析 函数在一点连续，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值如函数，即函数在处极限存在；但，所以函数 在处不连续分段函数必有间断点. ( )解析 分段函数不一定有间断点如函数是分段函数，所以；又因为，即，所以函数在处连续，无间断点与是时的等价无穷小. ( )解析 ，由等

5、价无穷小的定义，与是时的等价无穷小无界函数不一定是无穷大量. ( ) 解析 无穷大必无界，但反之不真如函数，当时是无界函数；但若取，（）时，不是无穷大量2.选择题下列极限存在的是( B ) (A) ; (B) ; (C) ; (D) .解析 (A)， 所以不存在；(B) ，极限存在；(C)，所以不存在；(D)时， ，所以不存在 已知,则常数( C ).(A) 1； (B) 5 ； (C) 6 ； (D) -1.解析 ，所以 在处 ( C ). (A) 有定义； (B) 极限存在； (C) 左极限存在； (D) 右极限存在.解析 因，在处无定义，即在处左极限存在，即在处右极限不存在，由极限存在的

6、充要条件，可知函数在处的极限不存在 当时， ( D ). (A)有最大值与最小值; (B)有最大值无最小值;(C)无最大值有最小值; (D)无最大值无最小值.解析 在上是连续函数，图形如下： 所以当时，无最大值与最小值 3.填空题 (1)已知为常数，则 0 ， 6 ；解 时极限值存在且值为3，则分子、分母的最高次幂应相同，所以，那么 ，所以(2)的连续区间是；解 由，知函数的定义区间为又因为初等函数在其定义区间上连续，所以的连续区间是(3)是的 可去 间断点;解 时，函数无定义，但，极限存在，所以是的可去间断点(4)若(为常数)，则解 由复合函数求极限的方法， 4.解答题 ；解一 解二 无穷小量的等价代换，由于时，所以 设，求 ；解 由无穷小量的等价代换，即时，所以 ；解 时，是无穷小量，是有界变量因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以 设试讨论在处的连续性，写出的连续区间；解 ，所以且，即，所以函数在处连续又因为当时函数连续，当时函数也连续，所以函数的连续区间为 设求,并问在处是否连续；解 ， ，所以 且，即，所以函数在处连续 讨论的间断点；解 时，函数无定义，所以为函数的间断点因为 ，即，所以为函数的跳跃间