全国高中数学竞赛二试模拟训练题(96)_第1页
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文档简介

1、-1 -加试模拟训练题(96)1、在四边形ABCDKABDBCDABC的面积比是 3 ： 4 ： 1，点M N分别在AC CD上满足AM：AC=CN：CD并且B、M N三点共线.求证：M与N分别是AC与CD的中点.证明设AC BD交于点E.由AM：AOCN：CD故AM：MCCN：ND令CN：ND=r(r0), 则AM：MCr.由SABC=3SABC, SBC=4SABC,即SABD:SBCD=3 : 4.从而AE：EC：AC=3 : 4 : 7.SACD：$B(=6 ： 1,故DE：EB=6 : 1, DB：BE=7:1.r3AM AC=r: (r+1)，即AM：而AC AECr34r31Eh

2、=( -刁)A AC M AC,r+1 77(r+1)r+14r3宀“ CN DB EM小、EM：MG.由Menelaus疋理，知肯 =1,代入得7ND BE I VIC4r 3r- 7 -=1，即 4r2 3r 1=0,这个方程有惟一的正根r=1 .故CN：N=1，就是N为CN中点，M为AC中点.2. n 为一正整数，试确定有多少个实数x，满足 Kxvn 和 x3 x3= (x x )3.其中x表示不超过 x 的最大整数.【题说】1992 年澳大利亚数学奥林匹克题2.【解】记x= a, x x=r，则有 1 a n 1, 0 rv1,且333(a+r) (a+r) =r即 a3+3a2r+3

3、ar2= (a+r)3所以 a3+3a2r+3ar2是整数，且 a3 n=3ar +3a r+a推出 rv1.在 n=a3时，显然 r=0 .所以 a 确定时，r 有(a+1)3 a3 1 个不 同的值满足 Owrv1 .从而 x=a+r 的个数为(a+1)3 a3 1 .故所求 x 的个数 为nlCa + 1) -a3-l=n3-l-_1) =t?_n4=1【解】 一个与图中折线 ABC 有公共点的三角形，一条边长不大于1,-2 -3.从 nxn 正方形剪去一个 1x1 的角格，求其余的图形分成等积三角形的最少个数.【题说】 第十六届（1990 年）全俄数学奥林匹克九年级题6.【解】 一个与

4、图中折线 ABC 有公共点的三角形，一条边长不大于1,-3 -这边上的髙不大于“丄故其面积不大于+G-i) 因此缺角正方形至少分成n X n - 1扣-1)图中的分法表明缺角正方形可以分成2(n + 1)个等积三角形.4.求方程 2w+2x+2y+2z=20.625 的满足条件 wx yz 的整数解.【题说】1979 年湖南省赛二试题 2.【解】方程两端同乘 8，得2w+3+2x+3+2y+3+2z+3=165(1)165 为奇数，故必有 z+3=0,即 z= 3.(1) 的两端同减去 1，再除以 4,得2w+1+2x+1+2y+1=41(2)同理 y= 1(2) 的两端同减去 1，再除以 8,得w-2x-22 +2 =5于是 x=2 , w=4故所求的解为w=4, x=2, y= 1, z= 3个等积的三

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