2014年江苏高考数学试题(含详解)

1、2014 年普通高等学校招生统一考试（江苏卷）数学试题参考公式：圆柱的侧面积公式:S圆柱二cl,其中 c 是圆柱底面的周长，I 为母线长.圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中 S 是圆柱的底面积，h 为高.、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题.卡相应位置上.1.已知集合 A 二 -2 , -1,3, 4 , B = -1,2, 3，则 B =.【答案】-1 ,32.已知复数 z =（5 -2i）2（i 为虚数单位），则 z 的实部为.【答案】213.右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是.【答案】54从 1 ,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取

2、 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的 概率是.【答案】15.已知函数y =cosx与 y =sin（2x：E）（0w：二），它们的图象有一个横坐标为3 的交点，贝 U 的值是.3【答案】266.设抽测的树木的底部周长均在区间80,130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有株树木的底部周长小于 100 cm.【答案】24RO W l(M) 110 HOLKJ7.在各项均为正数的等比数列 中，若 a2=1 ,乱“6，2a4, 则 a6的值是.【答案】48.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S ,S2，体积分别为V,2，若它们的侧面积相等，且【答案】3 39.在平面直角坐标

3、系 xOy 中，直线 x 2y -3 =0 被圆(x -2)2(y 1)4 截得的弦长为.【答案】LJ5510.已知函数 f(x) =x2，mx1，若对任意 xm, m 1，都有 f(x)：0 成立，则实数 m 的 取值范围是.【答案】_2_22 2, o11.在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线y yxx2 (a(a,b,b 为常数)过点 P(2(2，- -5)5)，且该曲线在 点 P 处的切线与直线 7x 2y=0 平行，则a b的值是.【答案】-312.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知，AB =8 ,AD =5 , CP =3PD ,APBP=2，则 /B/D的值是.【答案】221

4、3.已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x 引 0,3)时，f(x) = x22x2 .若函 数 y =f(x) -a 在区间_3,4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是.【答案】(0 ,专)14.若ABC的内角满足 sin A2sin B =2sin C，则cosC的最小值是.【答案】6一2二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计 9090 分请在答题卡指定区域内 作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .15.(本小题满分 14 分)已知二三2 , -, sin=-5.(1 )求 sin 4 亠*的值；(2)求 cos 看-2 二 j 的

5、值.【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力.满分 14 分.(* 三i：2 , _： ,sin : = ,cos :二一一 1 -sin2: = -2-5sinsin cos 二亠 coss in、z=4(2)Tsi n2: =2s in、zcos:,cos2: =cos2: - si n2:=-55- cos 2:二 cos cos -sinsin23- -4 46/66252*5，1016.(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥PABC中，D ,E , F 分别为棱点.已知 PA_AC ,PA=6，BC =8，DF =5.(1)求证：直线 P

6、A /平面 DEF ;(2)平面 BDE 丄平面 ABC.【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,(1)TD , E 为 PC , AC 中点 DE / PA /PA二平面 DEF , DE 二平面 DEF / PA/平面 DEF(2)TD ,E 为 PC , AC 中点DE 冷 PA =3 E ,F 为 AC , AB 中点EF =2 BC =4DE2+EF2=DF2 DEF =90,DE 丄 EF/ DE/PA ,PA_AC ,DE_AC/ACDEF=EDE丄平面ABC/ DE 平面 BDE ,平面 BDE 丄平面 ABC.17 .(本小题满分 14 分)如图

7、，在平面直角坐标系 xOy 中，F1,F2分别是椭圆孑(沁 5 小拌；考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.22予=1(a b 0)的左、右焦点，顶点 B 的坐标为(0, b),连结 BF2并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C,连结 FC .(1)若点 C 的坐标为4 4,3 ,且 BF2= -.2 ,求椭圆的方程;33(2)若FC _ AB，求椭圆离心率 e 的值.【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运(1 )TC C3,3，T BF22二 b2c2二 a2, a2=(2)2=2 , /. b2=12椭圆方

8、程为x x y2y2“(2)设焦点 FI(Y,0) Rc ,0) ,C(x, y)/ A，C 关于 x 轴对称，A(x , - y)TB , F2, A 三点共线， =by y,即 bx-cy-bc=0 -c-xy1,即 xcby 亠 c2=0-c2 caxb2c2da2c2bc22 CT2 , T222bcb _c b _cy y飞-c2化简得 5c2=a2,-5 5,故离心率为a 55算求解能力满分14 分.联立方程解得22bc2、2 2 2 2bc_._b_ ca22c c. .=1,18.(本小题满分 16 分)如图，为保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区

9、.规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段OA上并与 BC 相切的圆， 且古桥两端 0 和 A 到该圆上任意一点的距离均 不少于 80m .经测量，点 A 位于点 0 正北方向 60m 处，点 C 位于点 0 正东方向 170m 处4(0C 为河岸),tan ._BCO 二.(1)求新桥 BC 的长；(2)当 0M 多长时，圆形保护区的面积最大?解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数 学模型及运用数学知识解决实际问题的能力满分 16 分.解法一：(1)如图，以 0 为坐标原点，0C 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系

10、x0y.由条件知 A(0, 60), C(170, 0),4直线 BC 的斜率 kBC= - tan / BCO=-.33又因为 AB 丄 BC,所以直线 AB 的斜率 kAB=4一b 04设点 B 的坐标为(a,b),则 kBC=a1703b -603kAB=,a 04解得 a=80, b=120.所以 BC.、(170-80)2(0 -120)2150.因此新桥 BC 的长是 150 m.设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0 d 80即r -(60 -d) 80680-3d(60-d) 805680 - 3dd d=1010时, ,r最大，即圆面积最大.因为683d-

11、d 805所以故当5所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大 .解法二：(1)如图，延长 OA, CB 交于点 F.443因为 tan/ BCO=.所以 sin / FCO= , cos/ FCO = .35518 题题因为 OA=60,OC=170，所以 OF=OC tan/FCO =-68034因为 OA 丄 OC,所以 cos/ AFB=sin / FCO=,5又因为 AB 丄 BC,所以 BF=AF cos/ AFB=400，从而 BC=CFBF=150.3因此新桥 BC 的长是 150 m.设保护区的边界圆 M 与 BC 的切点为 D， 连接 MD， 贝 U MD 丄 B

12、C,且 MD 是圆 M 的半 径， 并设 MD= r m, OM=d m(0 d 60).因为 OA 丄 OC,所以 sin/ CFO =cos/ FCO,因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大佃.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)二 ex飞丄其中 e 是自然对数的底数.(1) 证明：f (x)是R上的偶函数；(2) 若关于 x 的不等式 mf (x) 80r -(60-d) 80680-3dF680 - 3d5-d 80解得10 d 80故当 d=10 时,r680-3d5即圆面积最大(2)由题意，m(e 亠

13、 ex) em -1，即 m(exe -1) e -1x彳Tx 三(0 ,：)ex-e1.0，即 m-ve1 对 x 三(0 s)恒成立e +e 一一 1令 t =ex(t1)，则 mwJ - 对任意 t 三(1，：)恒成立t _t +1(3)f(x) =ex-e-，当 x .1 时 f(x)0 ,. f(x)在(1,:：)上单调增令 h(x) =a( -x33x)， h(x) = _3ax(x -1)/ a 0 , x 1，. h(x)：0，即卩 h(x)在 x (1，:：)上单调减T存在人可 1 ,+比)，使得 f(人)ca(_x03+3 人)，.f(1) =e + l g(e+)e2 e

14、e-1In =in aeIn ea- =(e -1)ln a - a 1 e设 m(a) =(e -1)1 n a - a 1，贝 U m(a) =e- -1 =e-1_a,a .1e -aa2e当 2 e1:a：e-1 时，m(a)0，m(a)单调增；2 e当 a e-1 时，m(a)：0, m(a)单调减因此 m(a)至多有两个零点，而m(1)=m(e)=0当 a e 时，m(a) : 0， ae11t -11t 1一 1，当且仅当时等号成立(1 )当 n 2 时，an=Sn_Sn=2n_2：=2丄当n=1时，a,=S=2 n=1时，S=Q，当n2时，Sn=an +a”是H 数列”(2)S

15、n=na=n 吨乩2 2对 一 n：二 N , m= N 使 W =am，即 n=1 (m-1)d取n=2 得 1 d =(m _1)d , m =21 1dTd 3时，由于 n 与n-3 奇偶性不同，即 n(n-3)非负偶数，mN”因此对-n，都可找到 m N ,使成立，即bn为“ H 数列”.Cn的前n项和 R J(:宀何 d)，令G=(m-1)(a1d)=农，则m =；)-1对-nN , n(n-1)是非负偶数，m N即对-nN ,都可找到 m N “，使得 R =Cm 成立，即C”为“ H 数列”因此命题得证数学H（附加题）21.21.【选做题】本题包括 A,A, B,C,DB,C,D

16、 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答. .若多做，则按作答的前两小题评分. .解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. .A.【选修 4-1:几何证明选讲】（本小题满分 10 分）如图，AB 是圆 0 的直径，C、 D 是圆 0 上位于 AB 异侧的两点证明：/ OCB=ZD.本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分 10 分.证明：因为 B, C 是圆 O 上的两点，所以 OB=OC.故/ OCB= / B.又因为 C, D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 故/ B，ZD 为同弧所对的两个圆周角，所以/ B= / D.因此/ OCB= / D.B.【选修

17、4-2:矩阵与变换】（本小题满分 10 分）值.【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分.C.【选修 4-4:坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）线 y2=4x 交于 A , B 两点，求线段 AB 的长.【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分 10 分.直线 I: x y =3 代入抛物线方程 y2=4x 并整理得x2- 10 x，9=0已知矩阵 A J1 2，? X，2-1，x，y为实数，若Aa= B a，求x ,y的2 2_-2y -2=2y y,解得2 xy = 4 - y ,xT，在平面直角坐

18、标系xOy 中，已知直线 I 的参数方程为x=T，y=2 乎（t 为参数），直线 I 与抛物( (第第21-A题题) )+ -2 4 _交点 A(1,2) , B(9 , -6)，故 |AB| = 8 一 2D.【选修 4-5:不等式选讲】（本小题满分 10 分）已知 x0, y0，证明：(1+x+y2)(1 + x2+y) 9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式考查推理论证能力满分 10 分证明：因为 x0, y0,所以 1+x+y233昴0, 1+x2+y3远0, 所以(1+x+y2)(1+x2+y)33xy233zy=9xy.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计

19、 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.(本小题满分 10 分)盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同.(1) 从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P;(2)从盒中一次随机取出4个球， 其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x ,x2,x3，随机变量 X 表示呂* ,X3中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 E(X).22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算 求解能力满分 10 分(1) 一次取 2 个球共有 C2=36 种可能情况，

20、2 个球颜色相同共有 C2C3c：=10 种可能情 - X的概率分布列为X234P111311463126故 X 的数学期望 E(X14+1 1L3+_1_=_20取出的 2 个球颜色相同的概率 P1036=_5=_5(2)X 的所有可能取值为 4,3, 2 ,P(X=4) =C41 1C4126P(X= = 3)=3)=C C4C C：C C3C C1_1313C363P(X11-2) =1 -P(X =3) -P(X -4)1423.(本小题满分 10 分)已知函数 fo(xsinsin (x 0)，记 fn(x)为 fni(x)的导数，n N .x_(1) 求 2fi2- f22 的值；(2)证明：对任意的 nw N1*，等式 n 仁1(耳)+旦仁(旦成立.4f44 223.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探