高量5-01不可约张量算符ppt课件

1、年月年月第五章第五章 不可约张量算符不可约张量算符4.1不可约张量算符的定义不可约张量算符的定义及其代数运算规那么及其代数运算规那么Irreducible Tensor引言引言坐标系转动时物理量各有一定的变换规律坐标系转动时物理量各有一定的变换规律，)()()(rPrVrxyzT动量速度坐标温度电四极矩张量转动惯量张量，)(rV位能按坐标系转动下的变换规律将物理量分类按坐标系转动下的变换规律将物理量分类标量，矢量一阶张量，二阶张量标量，矢量一阶张量，二阶张量将物理量算符同样分类将物理量算符同样分类标量算符，一阶张量算符，二阶张量算标量算符，一阶张量算符，二阶张量算符符引言引言算符的表示依赖于坐

2、标系的选择算符的表示依赖于坐标系的选择笛卡儿坐标系，球坐标系，笛卡儿坐标系，球坐标系，不同坐标系的基矢经过幺正变换相联络不同坐标系的基矢经过幺正变换相联络zyxreeeeee0cossinsinsincoscoscoscossinsincossin一、球基矢一、球基矢在量子力学中为计算方便引入球基矢在量子力学中为计算方便引入球基矢101,与笛卡儿坐标系基矢的关系与笛卡儿坐标系基矢的关系zyxiieee01000221221101逆变换逆变换10122212101000iizyxeee一、球基矢一、球基矢性质性质mmm) 1(*正交归一条件正交归一条件mnnmijjiee*练习：证明上式练习：证

3、明上式二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示坐标向量坐标向量zyxezeyexr01212121121)()(zyxii1210121)()(iyxziyx*121*0*121)()(iyxziyx*111*010*11134(YYYrmmmmmmrYrrYr)()(*134*134),(r其中二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示在球基矢下坐标向量算符的分量为在球基矢下坐标向量算符的分量为)()(1134211rrYiyxr)(10340rrYzr)()(1134211rrYiyxr在坐标系转动下按如下规律变换在坐标系转动下按如下规律变换1)(mmmmmrDr二、

4、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示同理可得任一向量算符在球基矢上的表示同理可得任一向量算符在球基矢上的表示mmmAA*其中其中)(;);(2110211yxzyxAiAAAAAiAA在坐标系转动下的变换规律在坐标系转动下的变换规律11)(),()(),() (mmmmnmnmADdnUAdnUA三、不可约张量算符的定义三、不可约张量算符的定义如下变换的算符称为一阶不可约张量算符如下变换的算符称为一阶不可约张量算符11111)(),()(),() (mmmmnmnmTDdnUTdnUT进而定义进而定义 l 阶不可约张量算符阶不可约张量算符1)(),()(),() (mlmlmmnl

5、mnlmTDdnUTdnUT逆变换逆变换*) ()(mlmlmmlmTDT四、不可约张量算符的代数运算规那么四、不可约张量算符的代数运算规那么加法：两个加法：两个 l 阶不可约张量算符之和阶不可约张量算符之和仍为仍为 l 阶不可约张量算符阶不可约张量算符证明证明),()()(),(121nlmlmndnUTTdnU1211)()(UTUUTUlmlm21)()(mlmlmmmlmlmmTDTD21)()(mlmlmlmmTTD阶不可约张量算符为lTTTlmlmlm)()()(2121四、不可约张量算符的代数运算规那么四、不可约张量算符的代数运算规那么乘法和收缩乘法和收缩两个张量算符的乘法和收缩

6、按下式定义两个张量算符的乘法和收缩按下式定义)()()(21212211212211mlmlmmLMmlmlLMTTCT|, 1,212121llllllL收缩乘法2121llLllL；四、不可约张量算符的代数运算规那么四、不可约张量算符的代数运算规那么乘法和收缩乘法和收缩阶不可约张量为证明LTLM)(211211121)()()(2211212211UTUUTUCUTUmlmlmmLMmlmlLM222222111111212211)()(21llmllmmmLMmlmlTDTDC)()(21221122211121212211lllmlmmmLMmlmlTTDDC )()(21221121

7、221121221121212211llLMMLmlmlLLllmmLMmlmlTTDCCC 四、不可约张量算符的代数运算规那么四、不可约张量算符的代数运算规那么乘法和收缩乘法和收缩121)(UTULM)()(2122112121212211llLMLLLLllTTDC )()(2122112121212211llLMLllTTDC)()(2112111121121llLllLMTTCD令)(21LLMTD阶不可约张量为LTLM)(21五、零阶张量算符及张量算符的标量积五、零阶张量算符及张量算符的标量积当当lll21时可收缩得到零阶张量时可收缩得到零阶张量)()()(21002100mllmm

8、mlmlTTCT)()(121121mllmlmmlTT ）（)()() 1()(12) 1(212100mllmmmlTTTl 左左=常数常数零阶张量，在转动下不变零阶张量，在转动下不变右亦然右亦然称式右为两个称式右为两个 l 阶不可约张量的标量积阶不可约张量的标量积记为记为)()()1()()(2121mllmmmllTTTT 五、零阶张量算符及张量算符的标量积五、零阶张量算符及张量算符的标量积一阶不可约张量一阶不可约张量熟知的标量积方式熟知的标量积方式例：两个坐标矢量的标量积例：两个坐标矢量的标量积110011) 1(rrrrrrrrrrmmmm ) )() )(221221221221

9、yxyxzzyxyxiiiizzyyxx六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义Giulio (Yoel) Racah (1909 - 1965)Israeli physicist & mathematician满足下式的满足下式的 2l+1 个算符为个算符为 l 阶不可约张量算符阶不可约张量算符lmlmzlmlmTmTJTmmllTJ,) 1() 1(,1六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义两种定义的等价性两种定义的等价性dz 轴转无穷小角考虑绕) 1 (ziziJdUJdU111；)1 (|1 | )(mmzilmmmidlmJdlmD代入代入1)(

10、)()(mlmlmmlmTDUTUlmzilmziTmidJdTJd)1 ()1 ()1 (lmzlmlmziTmidJTTJdlmlmzTmTJ,六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义dx 轴转无穷小角考虑绕) 12( xixiJdUJdU111；lmJJdlmlmUlmDilmm| )(1 | | 21) 1() 1(12122mmmmimmmmlmmld) 1(*2 lll代入代入1)()()(mlmlmmlmTDUTU)()()1)()1 (mlmlmmxilmxiTDJdTJd) 1() 1(12122lmlmilmTmmlTmmldT) 1() 1(,12122

11、lmlmlmxTmmlTmmlTJ六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义dy 轴转无穷小角考虑绕)22( yiyiJdUJdU111；lmJJdlmlmUlmDiilmm| )(1 | | 21) 1() 1(121221mmmmmmmmlmmld) 1(*2 lll代入代入1)()()(mlmlmmlmTDUTU)()()1)()1 (mlmlmmyilmyiTDJdTJd) 1() 1(121221lmlmlmTmmlTmmldT) 1() 1(,12122lmlmilmyTmmlTmmlTJ六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义综合以上结果得综合以

12、上结果得112) 1() 1() 1(,lmlmlmylmxlmTmmllTmmlTJiTJTJ112) 1() 1() 1(,lmlmlmylmxlmTmmllTmmlTJiTJTJ1) 1() 1(,lmlmTmmllTJ六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义另一写法另一写法 利用角动量算符在球基矢上的表示利用角动量算符在球基矢上的表示mmmJJ*JJ iJJJJJJ iJJyxzyx)()(21211021211于是于是121101211)1() 1(,)1() 1(,lmlmlmlmlmlmTmmllTJTmTJTmmllTJ六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的

13、Racah定义定义而而1)1() 1(01)1() 1(2/1212/121)1(11mmllmmmllClllmlmlmlmlmlmTCllTJ1) 1(,又因又因lmlmlmlmCC11) 1(lmlmlmlmTCllTJ1) 1() 1(,六、不可约张量算符的六、不可约张量算符的Racah定义定义又又1211101211)1() 1()1() 1(jmjmjmjmjmjmmmjjJmJmmjjJ也可一致写为也可一致写为jmjmjmjmCjjJ1) 1(4.2不可约张量算符的实例不可约张量算符的实例一、常见算符一、常见算符可用拉卡定义判别能否不可约张量算符可用拉卡定义判别能否不可约张量算符

14、、坐标算符与球谐函数相关，后者既是、坐标算符与球谐函数相关，后者既是函数，又是不可约张量算符函数，又是不可约张量算符zlmlmzlmlmzlmzLYYmLYYLYL)()(lmlmzlmlmzYmYLYmYL,LYYLYLlmlmlm)()(LYYmmlllmlm 12/1)1() 1(12/1)1() 1(,lmlmYmmllYL一、常见算符一、常见算符将坐标重新组合可构成一阶和二阶不可约将坐标重新组合可构成一阶和二阶不可约张量算符张量算符一阶一阶1134211)(rYiyxr10340rYzr1134211)(rYiyxr二阶二阶22254222123Yrixyyx）（2125423Yri

15、yzxz2025422213Yrrz）（1225423Yriyzxz22254222123Yrixyyx）（一、常见算符一、常见算符、角动量及动量算符、角动量及动量算符角动量算符在球基矢上的表示角动量算符在球基矢上的表示;1, 0, 1*mmmJJ;1,0, 1*mmmLL1, 0, 1*mmmSS利用利用zzJJJJJJ2,;,可证可证,mmmSLJ均为一阶不可约张量算符均为一阶不可约张量算符11211)(TJ iJJyx100TJJz11211)(TJ iJJyx一、常见算符一、常见算符、角动量及动量算符、角动量及动量算符动量算符在球基矢上的表示动量算符在球基矢上的表示;1, 0 , 1*

16、mmmPP其分量其分量11211)(TPiPPyx100TPPz11211)(TPiPPyx也是一阶不可约张量算符也是一阶不可约张量算符一、常见算符一、常见算符以上各向量算符，假设用符以上各向量算符，假设用符号号1T一致表示一致表示那么它们在球基矢上的分那么它们在球基矢上的分量量) 1, 0 , 1(1mTm都是都是一阶不可约张量算符，且具有如下性质一阶不可约张量算符，且具有如下性质mmmTT1*1) 1(或或*11) 1(mmmTTl 阶不可约张量算符阶不可约张量算符)(rYlm也具有这个性质也具有这个性质*) 1(;) 1(mlmlmmlmlmYYYY普通的为普通的为*) 1(;) 1(m

17、lmlmmlmlmTTTT二、不可约张量算符的厄米共轭二、不可约张量算符的厄米共轭不可约张量算符满足不可约张量算符满足1)()(mlmlmmlmTDUTU两端取厄米共轭两端取厄米共轭 *)()()()(mlmlmmmmmlmlmmlmTDTDUTU)()()()(mlmmlmmlmmTDUTU)()()()(mmlmlmmmlmTDUTU定义定义的厄米共轭算符为lmmlmlmTTT)(假假设设lmlmTT自共轭张量算符自共轭张量算符三、相互作用的位能算符三、相互作用的位能算符微观粒子间相互作用能都具有转动不变性微观粒子间相互作用能都具有转动不变性位能算符必为零阶张量算符，位能算符必为零阶张量算符，或两个同阶张量算符的标量积或两个同阶张量算符的标量积212121;|;|SSSLLLrrr设12210)()()()()(SrVSLrVrVrVrsVTLSz 标量力标量力 自旋力自旋力自旋自旋轨道耦合力轨道耦合力 张量力张量力三、相互作用的位能算符三、相互作用的位能算符上式中上式中) 1 (321)(12221rrrS)2(262)(22SrrS mmmmSY)3()(6221581) 2)221412)()()(rrrS)(2)()(21222141rrrr)()()(2)(222121221rr