山东省名校联盟2024−2025学年高一下学期3月校际联考 数学试题（含解析）

山东省名校联盟2024−2025学年高一下学期3月校际联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知向量，则（）A． B． C． D．2．已知是虚数单位，则（

）A． B． C． D．3．在中，已知，则的面积为（）A． B． C．1 D．24．在中，在线段上，为的角平分线，若，则（）A． B．C． D．5．如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（）A． B． C． D．6．已知复数可以表示为，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知与的乘积，则将向量绕原点逆时针旋转，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为（）A． B． C． D．7．如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（）

A．5.861 B．5.674 C．5.076 D．4.9268．已知向量是平面向量，，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知平面向量，则下列说法正确的是（）A． B．C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量为10．设为复数，则下列结论正确的有（）A． B．C．若，则 D．若，则11．已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知i为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为．13．如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，则的值为．14．在圆内接四边形中，，则面积的最大值为．四、解答题（本大题共5小题）15．在三角形中，分别是边的中点，已知．(1)求三角形的面积；(2)求三角形的周长．16．已知复数，其中i为虚数单位．(1)若，求；(2)若，求的值．17．已知是平面内两个不共线的向量．(1)若，求证：三点共线；(2)试确定实数，使和共线；(3)若，求实数的值．18．已知三角形的内角的对边分别是，且满足．(1)求角A的大小；(2)若三角形的面积为10，内切圆的半径为1，求；(3)若的角平分线交于，且，求三角形面积的最小值．19．个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，则称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；(3)已知个两两垂直的2024维信号向量.若它们的前个分量都是相同的，求证：．

参考答案1．【答案】D【详解】由向量，得.故选D．2．【答案】A【详解】.故选A．3．【答案】A【详解】.故选A.4．【答案】C【详解】在中，为的角平分线，，，即，因此，所以.故选C．5．【答案】A【详解】在中，由正弦定理得，则，在中，，所以.故选A．6．【答案】B【详解】设射线为终边的角为，而，则，，，向量对应复数，所以向量的坐标为.故选B．7．【答案】C【详解】令圆切直线于点，连接，设圆半径为，依题意，，则，则，得，因此.

故选C．8．【答案】B【详解】设向量共起点，由，得，令，则，，因此点的轨迹是以线段为直径的圆，令圆心为，则，圆半径为1，由与的夹角为，得向量的终点在与所成角为的两条射线上，如图，

而是圆上的点与射线上的点间距离，过作垂直于射线于，，所以的最小值为.故选B．9．【答案】ABD【详解】由向量，得，，对于A，，则，A正确；对于B，，B正确；对于C，，则，C错误；对于D，，向量在上的投影向量，D正确.故选ABD．10．【答案】AB【详解】设，对于A，，则，，A正确；对于B，，B正确；对于C，取，满足，而，，C错误；对于D，取，，而，D错误.故选AB．11．【答案】ACD【详解】对于A，由重心为G，得，则，A正确；对于B，外心为O，有，，，B错误；对于C，由重心为G，得，由欧拉线定理得，因此，C正确；对于D，由，得，则，，D正确.故选ACD．12．【答案】【详解】，因为纯虚数，则.13．【答案】3【详解】由，得，而，，则，又、、三点共线，则，所以.14．【答案】【详解】在中，，由余弦定理得，则，，是四边形外接圆直径，，

设，则，在中，，由正弦定理得，即，在中，，，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）如图，因分别是边的中点，则设.注意到，则.则由余弦定理：.解得.则在三角形中，.由余弦定理可得，从而.则三角形的面积为：；（2）由（1）易得三角形的周长为16．【答案】(1)(2)【详解】（1）首先，复数的模长平方，共轭复数.代入方程得：，展开并整理实部和虚部：，根据复数相等的条件，得到两个方程：，解得，代入第一个方程：，因此，复数；（2）考虑.则.相减得：其中，（因为），且。因此：解得：，因此，，即，，故.17．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）,所以，则有，又与有公共点，因此三点共线.（2）由于和共线，存在实数使得：和共线，有，则有，解得，所以.（3），则，，由，则，解得.18．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由正弦定理边角互化可得：又，则，从而，结合，则或（舍去）.故.（2）因三角形的面积为10，内切圆的半径为.则，则.又由（1），.则由余弦定理：.化简后可得：；（3）如图，过D点做AB，AC垂线，垂足为E，F.由（1）可得，则，又由角平分线性质可得，又注意到，，则，设，则.又，则.其中.故三角形面积为：.注意到.则.要使最小，则需使最大.注意到，则由基本不等式取等条件可得，要使最大，需满足.则，此时，即三角形为等边三角形.19．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析；【详解】（1）由题可得4个两两垂直的4维信号向量可以为：；（2）证明：假设存在14个两两垂直的14维信号向量，任取其中两个不同向量，.因，则设与中，有个分量相同，则有个分向量不同.因，则.再取任意与和不同向量，设在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同，则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同，则有个分量与相反.因，则.由上可得在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同，则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同，则有个分量与相反.