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文档简介
山东省名校联盟2024−2025学年高一下学期3月校际联考数学试题一、单选题(本大题共8小题)1.已知向量,则()A. B. C. D.2.已知是虚数单位,则(
)A. B. C. D.3.在中,已知,则的面积为()A. B. C.1 D.24.在中,在线段上,为的角平分线,若,则()A. B.C. D.5.如图,在测量河对岸的塔高时,可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点.现测得,在点测得塔顶的仰角为,则塔高()A. B. C. D.6.已知复数可以表示为,其中,是以轴非负半轴为始边,向量所在射线为终边的角.已知与的乘积,则将向量绕原点逆时针旋转,长度变为原来的2倍后,得到向量的坐标为()A. B. C. D.7.如图所示,的三条边均与圆相切,其中,则圆的半径约为()
A.5.861 B.5.674 C.5.076 D.4.9268.已知向量是平面向量,,若非零向量与的夹角为,向量满足,则的最小值为()A. B. C. D.二、多选题(本大题共3小题)9.已知平面向量,则下列说法正确的是()A. B.C.向量与的夹角的余弦值为 D.向量在上的投影向量为10.设为复数,则下列结论正确的有()A. B.C.若,则 D.若,则11.已知三角形的外心,重心,垂心依次位于同一条直线上,且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍.若的外心为,重心为,垂心为为边的中点,且,则下列结论正确的有()A. B.C. D.三、填空题(本大题共3小题)12.已知i为虚数单位,若复数为纯虚数,则的值为.13.如图,在中,点满足,过点的直线分别交直线于不同的两点,设,则的值为.14.在圆内接四边形中,,则面积的最大值为.四、解答题(本大题共5小题)15.在三角形中,分别是边的中点,已知.(1)求三角形的面积;(2)求三角形的周长.16.已知复数,其中i为虚数单位.(1)若,求;(2)若,求的值.17.已知是平面内两个不共线的向量.(1)若,求证:三点共线;(2)试确定实数,使和共线;(3)若,求实数的值.18.已知三角形的内角的对边分别是,且满足.(1)求角A的大小;(2)若三角形的面积为10,内切圆的半径为1,求;(3)若的角平分线交于,且,求三角形面积的最小值.19.个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量,其中称为该向量的第个分量.特别地,对一个维向量,若,则称为维信号向量.设,,则和的内积定义为,且.(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量;(2)证明:不存在14个两两垂直的14维信号向量;(3)已知个两两垂直的2024维信号向量.若它们的前个分量都是相同的,求证:.
参考答案1.【答案】D【详解】由向量,得.故选D.2.【答案】A【详解】.故选A.3.【答案】A【详解】.故选A.4.【答案】C【详解】在中,为的角平分线,,,即,因此,所以.故选C.5.【答案】A【详解】在中,由正弦定理得,则,在中,,所以.故选A.6.【答案】B【详解】设射线为终边的角为,而,则,,,向量对应复数,所以向量的坐标为.故选B.7.【答案】C【详解】令圆切直线于点,连接,设圆半径为,依题意,,则,则,得,因此.
故选C.8.【答案】B【详解】设向量共起点,由,得,令,则,,因此点的轨迹是以线段为直径的圆,令圆心为,则,圆半径为1,由与的夹角为,得向量的终点在与所成角为的两条射线上,如图,
而是圆上的点与射线上的点间距离,过作垂直于射线于,,所以的最小值为.故选B.9.【答案】ABD【详解】由向量,得,,对于A,,则,A正确;对于B,,B正确;对于C,,则,C错误;对于D,,向量在上的投影向量,D正确.故选ABD.10.【答案】AB【详解】设,对于A,,则,,A正确;对于B,,B正确;对于C,取,满足,而,,C错误;对于D,取,,而,D错误.故选AB.11.【答案】ACD【详解】对于A,由重心为G,得,则,A正确;对于B,外心为O,有,,,B错误;对于C,由重心为G,得,由欧拉线定理得,因此,C正确;对于D,由,得,则,,D正确.故选ACD.12.【答案】【详解】,因为纯虚数,则.13.【答案】3【详解】由,得,而,,则,又、、三点共线,则,所以.14.【答案】【详解】在中,,由余弦定理得,则,,是四边形外接圆直径,,
设,则,在中,,由正弦定理得,即,在中,,,当且仅当时取等号,所以面积的最大值为.15.【答案】(1)(2)【详解】(1)如图,因分别是边的中点,则设.注意到,则.则由余弦定理:.解得.则在三角形中,.由余弦定理可得,从而.则三角形的面积为:;(2)由(1)易得三角形的周长为16.【答案】(1)(2)【详解】(1)首先,复数的模长平方,共轭复数.代入方程得:,展开并整理实部和虚部:,根据复数相等的条件,得到两个方程:,解得,代入第一个方程:,因此,复数;(2)考虑.则.相减得:其中,(因为),且。因此:解得:,因此,,即,,故.17.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】(1),所以,则有,又与有公共点,因此三点共线.(2)由于和共线,存在实数使得:和共线,有,则有,解得,所以.(3),则,,由,则,解得.18.【答案】(1)(2)(3)【详解】(1)由正弦定理边角互化可得:又,则,从而,结合,则或(舍去).故.(2)因三角形的面积为10,内切圆的半径为.则,则.又由(1),.则由余弦定理:.化简后可得:;(3)如图,过D点做AB,AC垂线,垂足为E,F.由(1)可得,则,又由角平分线性质可得,又注意到,,则,设,则.又,则.其中.故三角形面积为:.注意到.则.要使最小,则需使最大.注意到,则由基本不等式取等条件可得,要使最大,需满足.则,此时,即三角形为等边三角形.19.【答案】(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析;【详解】(1)由题可得4个两两垂直的4维信号向量可以为:;(2)证明:假设存在14个两两垂直的14维信号向量,任取其中两个不同向量,.因,则设与中,有个分量相同,则有个分向量不同.因,则.再取任意与和不同向量,设在与相同分量的7个位置中,有个分量与相同,则有个分量与相反,在与相反分量的7个位置中,有个分量与相同,则有个分量与相反.因,则.由上可得在与相同分量的7个位置中,有个分量与相同,则有个分量与相反,在与相反分量的7个位置中,有个分量与相同,则有个分量与相反.
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