第十一章 经典电磁场理论

1、第十一章 经典电磁场理论对电和磁的兴趣由来已久。正式发表的关于电的第一条定量定律是库仑定律（ Coulomb，1785）。1820 年奥斯特（Oersted，丹麦）发现通电的导线对磁针有作用力。毕奥-萨伐尔确定了这个力正比于电流强度，反比于导线与磁极的距离。与此同时安培（Amperè）把磁性归结为电流和电流的相互作用，提出安培定律。但安培被自己提出的超距作用的分子电流假说所迷惑，没能够发现电磁感应现象。这个对形成电磁场的概念致关重要的现象在1831年被法拉第（ Friday）发现。法拉第创建的力线和场的概念意味深长。麦克斯威（Maxwell，1865）在此基础上建立了电磁场的完整理论

2、麦克斯威方程。我们将以静电磁场的知识为基础，在洛伦兹对称性和规范对称性的指引下虚拟一个麦克斯威方程的发现过程。把四维矢势作为基本自由度，构造电磁场的拉格朗日量并给出有普遍意义的联系连续对称性与守恒量的奈特(Noether)定理。11.1 场方程让我们把上一章静电磁场的公式归纳一下： （11.1） （11.2）下标和强调该量与静止电荷和稳恒电流相联系。上述公式仅当电磁场不随时间变化时成立， ， （11.3）随时间变化的电磁场满足什么样的方程呢？相对论的协变性可以引导我们猜出正确的结果。回忆第八章由电荷守恒得到的连续性方程（8.36）式 （11.4）其中四维矢量算符 （11.5）而四维位移矢量定义

3、为 （11.6）在（11.4）式中定义了 （11.7）连续性方程的协变性要求上式定义的是一个四维反变矢量，称为四维电流密度矢量。因此在洛伦兹变换下，电流密度和电荷密度混合在一起，如四维位移矢量一样变换。从（11.1）和（11.2）式看到电势和矢势分别与四维矢量的时间分量和空间分量对应。这提示我们把（11.1）和（11.2）式写成时间和空间分量对称的形式。首先，为了把（11.1）式和（11.2）式统一成一条四维矢量方程，（11.1）的右边要写成，即在（11.1）两边乘以， （11.8）和（11.2）式对比，可以认出矢势和“电势”要构成一个四维矢量。引入四维势，其各个分量定义为 （11.9）假定四

4、维势对非稳恒电磁场也适用，所以式中没有下标c和a。（11.1）和（11.2）式的拉普拉斯算符是三维伽利略标量算符，在相对论协变理论中要推广为四维标量算符（达朗贝尔算符）， （11.10）因为我们的讨论仅局限与平直时空，所以和，可以不区分上指标和下指标。但我们还是尽量保留上下指标，以便于检查方程的正确性。另外（11.2）式中的矢势散度在相对论协变理论中也要写成四维标量 （11.11）其中重复指标隐含求和。如不特别声明，以后我们都采用这种约定。至此，（11.1）和（11.2）变成相对论协变的形式， （11.12） ， （11.13）两式还是写不成一个统一的四维矢量方程，原因是（11.12）式的左边

5、少了一项。为了物理的美，所有人都会毫不犹疑地尝试在（11.12）式的左边添上，它是电磁场的时间导数，对稳恒电磁场它等于零。于是（11.12）和（11.13）可以合写成紧凑的一条四维矢量方程， （11.14）这就是我们所寻找的电磁场的场方程，它被实验证明是普遍适用的。对稳恒电磁场，容易验证（11.14）式可以重新回到（11.1）和（11.2）式。方程左边第二项的重复指标隐含着求和。相对论协变性要求四维势是一个（反变）四维矢量。如果已经肯定（11.9）式定义的四维势是一个四维矢量，事实上（11.14）式是唯一的与稳恒电磁场方程（11.1）和（11.2）式一致的相对论协变的场方程。特别值得一提的是，

6、方程（11.14）和电荷守恒是一致的。取该式的散度，易见左边恒等于零，由此得到电荷守恒的连续性方程（11.4）式。11.2 规范不变性上节得到的场方程（11.14）式具有一个重要的不变性规范对称性。电磁场的规范变换为 ， （11.15）其中可以是任意的可微时空函数。把代入（11.14）得 即 （11.16）它形式上和（11.14）一样。因此规范变换前后的四维势和同是电磁场方程的解。如果规范变换不影响边界条件和界面条件，那么规范变换前后的四维势描写同样的电磁场。物理可观测结果在规范变换下保持不变称为规范对称性。二十世纪关于基本相互作用的研究与规范对称性及其推广有紧密的联系。现在人们一般愿意认为规

7、范对称性是基本相互作用的普遍对称性，从而把它上升为一个物理基本原理。规范不变原理：物理规律在规范变换下保持不变。规范不变原理意味着不能通过物理测量发现由（11.15）联系起来的和的差异，只有规范不变的量（在（11.15）式的变换下不变的量）才是物理上可测量的量。当四维矢量作规范变换时，所有的物理量和物理规律保持不变。实际应用时，为了简化计算常常对四维势的规范任意性加以限制，限制条件称为规范条件。物理结果应该和规范条件的选择无关。规范不变原理的一个重要的后果是场方程（11.14）式中不能出现正比于而不含导数的一项。如下式是没有规范不变性的， （11.17）在场论中，新加进去那一项称为质量项。因此

8、规范不变性不允许场具有质量 泡利曾对杨-Mills场提出质疑：传递强相互作用的场应该具有质量，如何能够用规范不变的场来描写？这个问题后来由Higgs真空自发破缺机制解决。光子没有质量是规范不变性的自然要求。常用的规范条件有：（1）库仑规范 （11.18）（2）洛伦兹规范 （11.19）（3）时性规范（temporal gauge） （11.20） 规范条件的共同特点是本身没有（完整的）规范对称性。在三种规范中只有洛伦兹规范具有洛伦兹协变性。在洛伦兹规范条件下，场方程有简洁的协变的形式， (11.21)11.3 麦克斯威方程然而，如果不知道四维势和电荷受力的关系，场方程（11.14）或（11.2

9、1）仅是一个形式理论。要明确它的物理意义必须使四维势和电磁作用力联系起来。也就是说，要把四维势和电场强度和磁感应强度联系起来。对于磁场，第九章已经提出一个普遍的关系式，（9.27）式， （11.22）易见此式右边在规范变换下不变，这和磁感应强度是一个物理可观测量相适应。对于静电场，有上章的（10.7）式 （11.23）如果推广到非稳恒电磁场的情形，允许与时间有关的规范变换，则（11.23）的右边成为 （11.24）它不具有规范不变性，这和规范不变原理要求电场在规范变换下不变不相适应。对非稳恒电磁场，为了抵消（11.24）的第二项，尝试把（11.23）推广为 （11.25）对上式作规范变换， （

10、11.26）可见规范不变原理要求 （11.27）因此，四维势和电场的一般关系为 （11.28）对它取散度，利用（11.22）得 （11.29）上式说明变化的磁场可以产生电场，而且这种电场的旋度不等于零，这就是电磁感应现象。 注意，由于非稳恒电场的旋度不等于零，电场力不再是保守力，因而标势也失去了势能函数的含义。场方程的第4个分量， （11.30）简化后即 （11.31）应用（11.28）式得 （11.32）可见高斯定律是普遍成立的。 场方程的前三个分量即（11.13）式。利用恒等式，可以将（11.13）式简化为 （11.33）利用（11.22）和（11.28），上式写成 （11.34） 前述关

11、于电磁场的互相独立的普遍公式归结如下： （11.35） （11.36） （11.37） （11.38）这组方程就是著名的麦克斯威方程组，它是电磁场的基本方程。 从克斯威方程组的积分形式可以更直观地看到它的意义。（1）方程（11.35）式 在一固定曲面S上对之积分， (11.39)应用斯托克斯公式于左边，得 (11.40)其中是通过曲面S的磁通。上式左边是曲面边界环路的感生电动势，即单位电荷沿环路走一圈的过程中电磁场对电荷做的功。如果环路为金属导线，变化磁通感生出的电动势便会在导线上形成电流。这就是法拉第1831年发现的动磁生电现象。（2）方程（11.36）式它是库仑定律的推广，普遍地适用于稳恒

12、和非稳恒电场。这个公式称为高斯定律，表明电荷是电场的一种源。在区域V对方程两边积分，利用高斯公式把左边的体积分变成闭合曲面积分，得 (11.41)它表示通过闭合曲面的电通量等于闭合曲面包含的电荷除以真空介电常数。（3）方程（11.37）式 此式表明，电场强度的时间变化率对磁场的贡献和电流一样。麦克斯威首先注意到这一点，并把该变化率称为位移电流密度， (11.42)这一项对认识电磁波至关重要。在一固定曲面S上对（11.37）积分，并应用斯托克斯公式于左边得 (11.43)它表明磁场沿一曲面边界的路径积分等于电流和位移电流通过该曲面的通量之和乘真空磁导率常数。 对（11.37）取散度， 再利用（1

13、1.36）式，便得到与电荷守恒对应的连续性方程（11.4）式。（4）方程（11.38）式在空间区域V中对方程积分，应用高斯公式化成沿区域封闭界面的积分，得 (11.44)它反映了磁荷（磁单极）不存在的事实。假如存在磁荷，麦克斯威方程会是怎样的呢？狄拉克曾对此作了深入研究。但磁荷至今没有被发现。 方程组（11.40），（11.41），（11.43）和（11.44）是麦克斯威方程组的积分形式。在电荷密度和电流密度不连续的区域也可以使用积分形式的麦克斯威方程组。11.4 介质中的麦克斯威方程上一节得到的麦克斯威方程组在介质中也是成立的。但由于电荷密度除了自由电荷密度外还包含束缚电荷密度，电流密度除了

14、自由电流密度外还包含诱导电流密度，而和是难以控制和测量的，故直接使用上节的麦克斯威方程组很不方便。解决的办法是把上一章的介质模型加以推广，使之适用于变化的电磁场。假设束缚电荷仍可以用极化强度消去， （11.45）电位移矢量的定义不变 （11.46）用（11.45）消去麦克斯威方程（11.36）中的（设），用电位移矢量写出来，得到 （11.47）它和静电场的高斯公式完全一样。对非稳恒系统的诱导电流，有新的情况出现。诱导电流密度除了上节介绍的磁化电流密度外（由微观固有磁矩产生），还有变化的极化强度引起的极化电流密度（由束缚电荷的循回运动引起）。磁化电流密度通过引入磁化强度消去， （11.48）设位

15、于的束缚电荷带电量。极化强度等于单位体积内束缚电荷的电偶极矩， （11.49）其中求和对内的束缚电荷进行。总电流密度为 （11.50）代入麦克斯威方程（11.37）中消去诱导电流密度得 （11.51）和上一章一样定义磁场强度为 （11.52）利用电位移矢量的定义（11.46），（11.51）成为 （11.53）归纳起来，介质中的麦克斯威方程组为 （11.54） （11.55） （11.56） （11.57）根据上面的方程组，用类似上一章10.7节的方法，可以得到介质中非稳恒电磁场的边值关系。因为（11.55）和（11.57）和静电磁场的方程一样，所以有和静电磁场（10.46）和（10.50）相

16、同的两个边值关系（上一章10.7节） （11.58） （11.59）仿照图10-10，跨过界面作垂直界面的闭合矩形回路如图11-1，矢量可以是电场或磁场强度。设矩形的高度为，上边位移矢量为，方向取为从左到右。在矩形曲面分别对（11.54）和（11.56）做面积分，利用斯托克斯定理得 （11.60） （11.61）对很小的回路，场在两种介质中可以看作分别均匀。设，忽略垂直方向路径的贡献，上两式写成 （11.62） （11.63）上两式最后的等号是由于磁场变化率和电位移矢量变化率有限，当时相关项可以忽略。（11.63）中的为通过矩形曲面的电流。因为是界面上的任意切位移，（11.62）意味着界面电场

17、跃变在切方向的投影等于零，即 （11.64）它和静电磁情形的边值条件（10.47）是一样的。（11.63）式则和静电磁情形的（10.53）一样，使用上一章10.7节同样的推理可得 （11.65）其中为线电流密度。结论是静电磁场的所有边值关系也适用于变化的电磁场。 图11-1. 垂直跨过介质表面的闭合矩形回路。矩形的高度为。上边位移矢量为，方向取为从左到右。 11.5 电磁场的能量和能流电磁场是一种物质，它本身应该具有一定的能量。带电粒子在电场中加速，能量增加，增加的能量应该来自于电场。在下一章我们将学到，带电粒子速度变化时会发射（或吸收）电磁波。因此能量可以在带电粒子和电磁场之间转移。在只有带

18、电粒子和电磁场的系统中，我们相信两者的能量之和是守恒的。假设电磁场的能量以某种方式分布在空间各处，引入能量密度来描写能量的分布。当电磁场随时间变化时，可以想象空间各点的能量也随之变化。我们进一步假定能量是定域守恒量，即空间某区域中的能量变化必然伴随着能量通过区域界面的转移。引入能流密度（三维矢量）描写能量转移。的方向指向能量传输的方向，它的大小等于单位时间流过与它的方向垂直的单位面积的能量。根据第九章的洛伦兹力公式（9.22），体积微元中速度为的带电物质受到的电磁作用力等于 (11.66)其中为该带电物质的电荷密度。电磁场对空间区域V中的带电物质作功的功率为 (11.67) 按照能量密度的定义

19、，区域内电磁能量的增加率等于 (11.68)按照能流密度的定义，单位时间内通过区域的界面流入区域的能量等于 (11.69)式中表示区域的界面，方向规定为指向区域的外部，故式中有一负号。根据能量守恒， （11.69）等于（11.67）与（11.68）之和， (11.70)因为区域V是任意的，故有微分方程 (11.71)为了猜出和的表达式，通过麦克斯威方程用电磁场表示（11.71）式的右边。由（11.37）得 (11.72)利用矢量公式，上式化为 (11.73)利用（11.35）把中括号中得第一项写成磁场得变化率， (11.74)代入（11.71）并比较两边，发现电磁场能流密度和能量密度的一种可能

20、的选择 (11.75) (11.76)由（11.75）式定义得矢量称为坡印亭矢量。需要指出的是，以上两式给出能流密度和能量密度仅是一种最简单的可能选择，还存在满足能量守恒关系（11.71）的其它解。至今还没有实验检验电磁场能量的确切分布和流动情况。11.6 电磁场拉格朗日量本节我们把电磁场理论纳入第二篇介绍的力学框架，即以最小作用原理为基础，重新建立电磁场的经典理论。（1）场强张量四维势满足的场方程（11.14）可以写成 （11.77）为了方便以后表述，在上式中我们对（11.14）的上下标作了调整 本书选择的度规张量是4乘4单位矩阵，即，因此张量的指标可以随意提升和下降。文中用上下标来强调求和

21、的重复指标。定义四维场强张量 （11.78）利用场强张量，场方程被写成 （11.79）容易验证四维场强张量的重要性质规范不变（习题【11.1】）。因此，场强张量的分量是可以测量的物理量。事实上它的分量可以和电场强度和磁感应强度联系起来。利用（11.22）和（11.28）式，可以得到（习题【11.2】） （11.80）它是一个反对称的4乘4矩阵，也称为法拉第张量 矢势相当于电荷空间的联络，福克（Fock）和外尔（Weyl）把法拉第张量解释为电荷空间的曲率张量。电磁场的场强张量按张量的一般变换方式变换， （11.81）其中为洛伦兹变换矩阵。由（11.81）不难得到电磁场场强在两个惯性系之间的变换方

22、式， （11.82） （11.83） （11.84） （11.85）其中。（11.83）式与第八章（8.39）式比较，多了与磁场有关的一项。现在我们清楚地看到，第八章（8.39）式只适用于电场从一个没有磁场的惯性系变到另一个惯性系的情形。（2）对偶变换真空中电荷密度和电流密度均等于零，因此真空麦克斯威方程组为 （11.86） （11.87） （11.88） （11.89）这组方程式隐藏着电场和磁场之间的对称性，即真空麦克斯威方程组经变换 ， （11.90）之后保持原来的样子。这个变换称为对偶变换，真空电磁场的这个对称性称为对偶对称性。对偶变换等价于场强张量的变换 （11.91）引入全反对称Le

23、vi-Civita符号，它当是的偶置换时等于，是的奇置换时等于，否则等于。可以证明Levi-Civita符号是一个4阶张量。利用Levi-Civita符号，对偶变换可以写成 （11.92）因为Levi-Civita符号是张量，所以对偶场强张量也是一个张量。易见，对偶场强张量的对偶变换等于。利用对偶场强张量可以把麦克斯威方程组中的（11.35）和（11.38）式写成紧凑的形式， （11.93）如果用场强张量来表示，上式可写成 （11.94）（11.93）和与之等价的（11.94）式是引入矢势描写电磁场所需要满足的自洽条件。换句话说，如果场强张量由（11.91）式定义，而其中的电磁场强度和和矢势的

24、关系分别由（11.28）和（11.22）式给出，则（11.93）（即（11.94）成为恒等式，几何学上称为Bianchi恒等式。矩阵方程（11.79）加上（11.93）式和麦克斯威方程等价。这两条方程有非常相似的形式，尤其是对电流密度等于零（真空）的情形。如果有磁单极子，（11.93）的右边将出现磁单极流密度，这样（11.79）和（11.93）式便完全对称。但这么一来，就不能自洽地引入矢势了。（3）作用量和场方程如第二篇第四章，电磁场的动力学方程即场方程也可以纳入最小作用原理的框架。对于一个定域的理论，作用量一般地可以写成拉格朗日密度的四维时空积分。 （11.95）拉格朗日密度L(x)是基本自

25、由度及其导数的标量函数。要写出电磁场的拉格朗日密度，首先要知道电磁场的基本自由度。我们至今介绍了两套描写电磁场的方案，一种方案采用场强和作基本变量，另一种采用四维矢势（）。场强满足麦克斯威方程组。麦克斯威方程组只含时间的一次微分，因此场强的演化由任意给定时刻的场强完全确定。每一空间点的电场强度和磁感应强度分别有三个分量，所以对每一空间点需要知道6个实数分量的初始条件。四维矢势有四个分量，但存在规范任意性。在一小区域内可取特定规范把规范任意性完全消除，剩下三个分量（例如取时性规范），故四维矢势实际上只有3个独立分量。关于四维矢势的场方程是时间的二阶微分方程，所以需要知道某时刻的三个独立矢势分量和

26、他们的一阶时间导数作为初始条件才能完全确定四维矢势的演化。可见，至少就局部性质而言，场强和四维矢势的自由度是一样的。但已经知道存在不能在全空间选取单一规范的情况，使得电磁场的一些大范围整体性质不能用场强描述，而只能用四维矢势来描述。场强不足以完整描写电磁场，四维矢势能完整描写电磁场但又有多余的任意性。因为关于四维矢势的场方程是时间的二阶微分方程，选用四维矢势为基本自由度可以建立和质点力学类似的动力学。暂时不考虑规范任意性，认为电磁场的自由度是，其中为电磁场存在的空间。拉格朗日量是拉格朗日密度的空间积分，而拉格朗日密度是依赖于，和电流密度的函数， （11.96）作用量定义为 （11.97）根据最

27、小作用原理 （11.98）通过标准的程序可以推导出拉格朗日方程（它是第二篇第四章有限自由度拉格朗日方程到无穷多自由度的推广，参见第七章附录7-1关于一维原子链的讨论和本章附录。）， （11.99）它必须和正确的场方程（11.79）式一致。相对论协变性和规范不变性对拉格朗日密度L有很强的限制。相对论的协变性原理要求作用量为洛伦兹不变量，规范不变性原理要求作用量在规范变换下不变。因此（1）拉格朗日密度L必须由洛伦兹张量构成，且指标两两配对收缩成标量；（2）在规范变换下L最多增加一全微分项。我们已经知道场强张量和对偶场强张量具有规范不变性，是合适的张量。真空拉格朗日密度只能是下列洛伦兹不变量的某种组

28、合 ， ， （11.100）经具体计算可知， （11.101）因此L中只需考虑（11.100）中第一和第三项。由于（11.100）式要和麦克斯威方程一致，而麦克斯威方程关于电磁场是线性的，所以拉格朗日密度只含有场强张量二次以下的项。真空拉格朗日密度最一般的形式为 （11.102）在非量子理论中，拉格朗日密度的总因子没有物理意义。选第一项的因子为只是一种约定（关于负号见（11.105）以下的讨论），第二项的因子是待定常数。代入拉格朗日方程（11.99）得 （11.103）因为上式中的和是通过（11.22）和（11.28）由矢势定义，所以Bianchi恒等式（11.93）成立，于是（11.103）

29、式的第二项自动等于零。故不妨取，定义真空拉格朗日密度为 （11.104）它满足所有已知物理原理的要求并可以给出正确的真空电磁场方程。对存在电荷和电流密度的情形，拉格朗日密度必须出现的一次项（因为场方程（11.79）含的一次项）。满足洛伦兹协变性并能给出正确场方程（11.79）式的拉格朗日密度只能是（习题【11.3】） （11.105）如果电流项取负号，则第一项必须取正号才能得到正确的场方程。对保守质点系统，拉格朗日量等于动能减势能。对静电场，电荷势能密度为，故取（11.105）第二项为正和通常的电荷正负号约定一致，这是（11.104）式第一项的负号的来源。值得注意的是，（11.105）的第二项

30、不满足规范不变性原理，除非电流密度四维矢量受到限制， （11.106）这正是电荷连续性方程。我们看到一个美妙的结果：规范不变性导致电荷必须（定域）守恒。拉格朗日密度（11.105）是电磁场理论的核心模型，是研究电磁场量子理论的出发点。11.7 奈特定理考虑一般的以场为自由度的拉格朗日量密度。对时空坐标作无穷小变换（空间平移、空间转动、时间平移均是特例）， （11.107）场和场的梯度的变化是 （11.108） （11.109）经过分步积分，作用量的变化可写成 （11.110）如果系统在（11.107）的时空变换中保持不变，即上式等于零，因此即 （11.111）因此我们得到一个定域守恒流张量 （11.112）可将（11.111）写成