中南大学微积分上复习课-习题课ppt课件

1、习题课洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理罗尔罗尔（R Rolleolle）

2、定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且在区间端且在区间端点的函数值相等，即点的函数值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使得函数使得函数)(xf在该在该点的导数等于零，点的导数等于零， 即即0)( f 2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那那末在末在),(ba内至少有一点

3、内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .).10()(0 xxxfy.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 有限增量公式有限增量公式.3 3、柯西中值定理、柯西中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少有一点有一点)(ba , ,使等式使等式)()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .推论推论.)(

4、,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf4 4、洛必达法则、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.型型未未定定式式型型及及 00.10型型未未定定式式000,1 ,0 ,0.2 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 . .),00()( 注意：洛必达法则的使用条件注意：洛必达法则的使用条件.泰泰勒勒( (T Ta

5、ay yl lo or r) )中中值值定定理理 如如果果函函数数)(xf在在含含有有0 x的的某某个个开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶的的导导数数, ,则则当当x在在),(ba内内时时, , )(xf可可以以表表示示为为)(0 xx 的的一一个个n次次多多项项式式与与一一个个余余项项)(xRn之之和和: :)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之之间间与与在在其其中中xxxxnfxRnnn 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公

6、式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 6 6、导数的应用、导数的应用定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上上单单调调减减少少在在，那那末末函函数数内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在可可导导内内上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyxfbab

7、axfyxfbababaxfy (1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个点的一个点内内是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义

8、(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数,且且在在0 x处取得极值处取得极值,那末必定那末必定0)(0 xf.定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值点极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值, ,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值. .驻点和不可导点统称为临界点驻

9、点和不可导点统称为临界点. .(1)如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值.(2)如如果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则则)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值.(3)如如果果当当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, )(xf符符 号号相相同同,则则)(xf在在0 x处处无无极极值值.定理定理( (第一充分条件第一充分条件) ) 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数,且且0)(0 xf, 0)(0 xf, 那末那

10、末(1)当当0)(0 xf时时, 函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值;(2)当当0)(0 xf时时, 函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()()3(判断极值点判断极值点该点的符号该点的符号在在在驻点左右的正负号或在驻点左右的正负号或检查检查xfxf .)4(求极值求极值步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比

11、较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值, ,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值) )(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;（或或最最小小）值值函函数数值值即即为为所所求求的的最最大大点点，则则该该点点的的若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻(4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义;),()(,2)()()2(,),(,),()(2

12、12121内内的的图图形形是是凹凹的的在在那那末末称称恒恒有有两两点点内内任任意意如如果果对对内内连连续续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121内的图形是凸的内的图形是凸的在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹在在那那末末称称的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹且且在在内内连连续续在在如如果果baxfbabaxf定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的

13、在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在导数导数内具有二阶内具有二阶在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx内内存存在在二二阶阶导导数数 , 则则 点点 )(,00 xfx是是 拐拐 点点 的的 必必 要要 条条 件件 是是0)(0 xf.方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)

14、(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 方法方法2:2:.)()(,(, 0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点曲线曲线是是那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域,对函数进行对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论论,求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数和二阶导数)(xf; 求出方程求出方程0)( xf

15、和和0)( xf 在函数定义在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.(5) 函数图形的描绘函数图形的描绘第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论） ；可列表进行讨论） ；第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步 描描出

16、出与与方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.1.120dxyds 弧微分弧微分.lim.200dsdKs 曲率曲率.)1(232yyk (6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式.),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图圆圆为半径作为半径作为圆心为圆心以以使使取一点取一点在凹的一侧在凹的一侧处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点

17、设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy 定义定义,是曲率中心是曲率中心D.是是曲曲率率半半径径 .1,1 kk曲曲率率圆圆.30例例1 1.65,6sinln的的正正确确性性上上在在验验证证罗罗尔尔定定理理对对 xy解解), 1, 0(,22: kkxkD.65,6上连续上连续且在且在 内处处存在内处处存在在在又又)65,6(cot xy)65()6( ff并并且且2ln 二、典型例题.65,6sinln的的条条件件上上满满足足罗罗尔尔定定理理在在函函数数 xy, 0cot xy由由内内显显然然有有解解在在)65,6( .2 x,2 取取. 0)( f则则这就验证了命题的正确性这就验证了命

18、题的正确性.例例2 2.)1(51lim520 xxxx 求极限求极限解解. 2的次数为的次数为分子关于分子关于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原原式式.21 例例3 3.)()(,)1 , 0(,:, 1)1(, 0)0(,)1 , 0(,1 , 0)(bafbfabaffxf 使使内内存存在在不不同同的的在在对对任任意意给给定定的的正正数数试试证证且且内内可可导导在在上上连连续续在在设设证证,均均为为正正数数与与ba10 baa,1 , 0)(上连续上连续在在又又xf由

19、介值定理由介值定理,)(baaf 使得使得),1 , 0( 存存在在有有上分别用拉氏中值定理上分别用拉氏中值定理在在,1 , 0)( xf), 0(),()0()0()( fff)1 ,(),()1()()1( fff, 1)1(, 0)0( ff注意到注意到由由, 有有)()(1bafbbafa )( fbaa )()(11 ff )( fbab + ,得得)()( ff .)()(bafbfa 例例4 4)., 0, 0( ,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 证证明明不不等等式式证证),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf则则, 01)( ttf.0, 0),(),

20、(ln)(是是凹凹的的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于于是是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即例例5 5)1 , 0(21)(:, 1)(),1()0(,1 , 0)( xxfxfffxf证证明明且且上上二二阶阶可可微微在在若若函函数数证证,1 , 00 x设设有有展展成成一一阶阶泰泰勒勒公公式式处处把把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 则则有有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxf

21、xff 2022010)1)(21)(21)(xfxfxf ,),1()0(ff 注意到注意到则有则有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20 x,1 , 00知知又又由由 x,21210 x21)(0 xf于于是是有有.,0可可知知命命题题成成立立的的任任意意性性由由 x例例6 6.,)1 ,2(sin2程程两两曲曲线线的的公公共共曲曲率率圆圆方方点点处处并并写写出出向向点点具具有有相相同同的的曲曲率率和和凹凹在在使使抛抛物物线线与与正正弦弦曲曲线线一一抛抛物物线线求求作作处处上上点点过过正正弦弦曲曲线线MMcbxaxyMxy 解解为为曲曲率率圆圆的的圆圆心心坐

22、坐标标分分别别曲曲率率半半径径和和处处的的曲曲率率在在点点曲曲线线,),()(yxxfy ,)(1 232yyk ,1k yyyyyyyxx2020)(1)(1 ,sin)(xxfy 对于曲线对于曲线, 1)2( f有有 )2(f. 1 ,2cbxaxy 对于曲线对于曲线 )2(f有有,242cba )2(f, ba )2(f.2a若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数数和二阶导数,于是有于是有, 1242 cba, 0 ba. 12 a )2(f, 0解此方程组得解此方程组得,21 a,2 b.812 c故所求作抛物线的方程

23、为故所求作抛物线的方程为.8122122 xxy),0 ,2( , 1 曲曲率率半半径径曲率圆的方程为曲率圆的方程为. 1)2(22 yx两曲线在点处的曲率圆的圆心为两曲线在点处的曲率圆的圆心为例例7 7.,12并并作作函函数数的的图图形形渐渐近近线线拐拐点点区区间间凹凹凸凸极极值值的的单单调调区区间间求求函函数数 xxxy解解:)1(定义域定义域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函数奇函数y )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133

24、xx, 0 y令令. 0 x得可能拐点的横坐标得可能拐点的横坐标,lim)3( yx;没没有有水水平平渐渐近近线线,lim01 yx又又,lim01 yx;1的的铅铅直直渐渐近近线线为为曲曲线线 yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的的铅铅直直渐渐近近线线为为曲曲线线 yx xyax lim)1(1lim2 xxxxx, 1 )(limaxybx )(limxyx 1lim2 xxx, 0 .的的斜斜渐渐近近线线为为曲曲线线直直线线yxy ,)3, 0, 3(),1()4(分点分点和可能拐点的横坐标为和可能拐点的横坐标为驻点驻点以函数的不连续点以函数的不连续点 xxxx列表如下列表如

25、下:x)3,( )1 , 0()1, 3( 3 )0 , 1( y y y 1 0 极大值极大值0拐点拐点00 x31y y y 极小值极小值0 )3, 1(), 3( 3xy极极大大值值, 323 3xy极小值极小值, 323).0 , 0(拐拐点点为为xyoxy 1 1作图作图一、一、 选择题：选择题：1 1、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即共同点，即（ ）（A A） 它们都给出了点的求法它们都给出了点的求法 . .（B B） 它们都肯定了点一定存在，且给出了求的它们都肯定了点一定存在，且给出了求的方法。方法。（C C） 它们

26、都先肯定了它们都先肯定了 点一定存在，而且如果满足点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算的定理条件，就都可以用定理给出的公式计算的值值 . .（D D） 它们只肯定了的存在，却没有说出的值是它们只肯定了的存在，却没有说出的值是什么，也没有给出求的方法什么，也没有给出求的方法 . .测测 验验 题题2 2、 若若)(xf在在),(ba可导且可导且)()(bfaf , ,则则（ ）（A A） 至少存在一点至少存在一点),(ba ，使，使0)( f；（B B） 一定不存在点一定不存在点),(ba ，使，使0)( f；（C C） 恰存在一点恰存在一点),(ba ，使，使0)(

27、f；（D D） 对任意的对任意的),(ba ，不一定能使，不一定能使0)( f . . 3 3已知已知)(xf在在,ba可导，且方程可导，且方程 f(x)f(x)=0=0 在在),(ba有有 两个不同的根两个不同的根 与与 ，那么在，那么在),(ba（） 0)( xf. .（A A） 必有；必有；（B B） 可能有；可能有；（C C） 没有；没有；（D D） 无法确定无法确定. . 4 4、如果、如果)(xf在在,ba连续，在连续，在),(ba可导，可导，c为介于为介于 ba,之间的任一点，那么在之间的任一点，那么在),(ba（ ）找到两点）找到两点 12, xx，使，使)()()()(121

28、2cfxxxfxf 成立成立. . （A A）必能；）必能； （B B）可能；）可能； （C C）不能；）不能； （D D）无法确定能）无法确定能 . . 5 5、若、若)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内可导，且内可导，且 ),(bax 时，时，0)( xf，又，又0)( af, ,则则（ ）. .（A A） )(xf在在,ba上单调增加，且上单调增加，且0)( bf；（B B） )(xf在在,ba上单调增加，且上单调增加，且0)( bf；（C C） )(xf在在,ba上单调减少，且上单调减少，且0)( bf；（D D） )(xf在在,ba上单调增加，但上单调增加，但)(bf的

29、的 正负号无法确定正负号无法确定. . 6 6、0)(0 xf是可导函数是可导函数)(xf在在0 x点点处有极值的处有极值的（ ）. .（A A） 充分条件；充分条件；（B B） 必要条件必要条件（C C） 充要条件；充要条件；（D D） 既非必要又非充既非必要又非充 分分 条件条件. . 7 7、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小 值，则值，则（ ）. . （A A）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； （B B）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小

30、值； （C C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是 最小值；最小值； （D D）极大值必大于极小值）极大值必大于极小值 . . 8 8、若在、若在),(ba内，函数内，函数)(xf的一阶导数的一阶导数0)( xf， 二阶导数二阶导数0)( xf, ,则函数则函数)(xf在此区间内在此区间内( ( ). ).（A A） 单调减少，曲线是凹的；单调减少，曲线是凹的；（B B） 单调减少，曲线是凸的；单调减少，曲线是凸的；（C C） 单调增加，曲线是凹的；单调增加，曲线是凹的；（D D） 单调增加，曲线是凸的单调增加，曲线是凸的. . 9 9、设、设0)(lim)(lim xFxfaxax，且在点，且在点a的某的某 邻域中邻域中（点（点a可除外） ，可除外） ，)(