专题：正交曲线坐标系ppt课件

1、正交曲线坐标系正交曲线坐标系为什么需要曲线坐标系？为什么需要曲线坐标系？适应不同边界形状适应不同边界形状三组曲面族方程：三组曲面族方程： 112233, , , ,qx y zcqx y zcqx y zc, ,x y z123,q q qxyz1q2q3q, ,i j k123 e ,e ,e ,基矢量的特点基矢量的特点正交曲线坐标系：正交曲线坐标系：0e e1ijijij柱坐标系：柱坐标系： sinxrcosyrzz222arcxyzytgxzzCylindrical coordinates 球坐标系：球坐标系： sinsinsincosxrcosyrzr222arctanarctanrx

2、yzyxyxSpherical coordinates123123123r,i,j,kx q q qy q q qz q q qrijkiiiixyzqqqq222riiiiixyzhqqqq1r1 eijkiiiiiiixyzhqhqqq矢端曲线的切线矢量矢端曲线的切线矢量拉梅系数拉梅系数riqie1iiixhq1iiiyhq1iiizhq ， ， 1r1 eijkiiiiiiixyzhqhqqq方向余弦：方向余弦：112233eeei112233eeek112233eeej基矢量的相基矢量的相互表示：互表示：弧微分计算公式弧微分计算公式 2222()()()()dsdxdydz222222

3、2112233()()()()dshdqhdqhdq证明：证明：123123123(,)(,)(,)x q q qy q q qz q q qrijk31231123(1,2,3)iiiiiyyyyydydqdqdqdqdq iqqqqq31231123(1,2,3)iiiiizzzzzdzdqdqdqdqdq iqqqqq31231123(1,2,3)iiiiixxxxxdxdqdqdqdqdq iqqqqq2222222222112233121323121323()()()()()()()222dsdxdydzhdqhdqhdqdq dqdq dqdq dqqqqqqqrrrrrr1 2

4、12120hh e eqqrr1 3 13130hh e eqqrr23 23230h h eeqqrr证毕证毕考虑到考虑到2222222112233()()()()dshdqhdqhdq坐标曲线的弧微分坐标曲线的弧微分111qdshdq222qdsh dq333qdsh dq222()()()dsdxdydz222123()()()dsdsdsds1231 23123dVds ds dshh h dq dq dq1232323qdds dsh h dq dq2s3s1s2131 313qdds dsh h dq dqCylindrical coordinates Spherical coor

5、dinates123112233111eeehqhqhq xyz ijk梯度梯度证明：证明：( , , )iiqq x y z111122223333qqqxyzdqdxqqqdqdyxyzdzdqqqqxyz123121233123xxxqqqdqdxyyydydqqqqdzdqzzzqqq123( ,)iixx q q q111111() ()?qqqxyzxyzqqqijkijk111111() ()1qqqxyzxyzqqqijkijk111qqr梯度梯度111qqr1iiqqr eiiihqr考虑到考虑到 沿等值面沿等值面 的外法线方向即的外法线方向即 ） iqiqC ei以及以及1

6、iiiqeh333121212123123123333111222123()()()()()()xyzqqqqqqqqqqxqxqxqyqyqyqzqzqzqqqqqqqqqqxyzqxyzqxyzqijkijkijkijkijk123123123112233111eeeqqqqqh qhqhq 1iiiqeh证毕证毕112312123231233(,)e(,)e(,)eA q q qA q q qA q q qA1 231231 231 23123()()()1Ah hh A hhh Ahh hqqqA散度散度矢量矢量3331 2311 22311 2231233()qdqqhh Ahdq

7、h dq Ahdq h dq Adq dq dqq1231232()h A hdq dq dqq1 231231()Ah hdq dq dqq112312123231233(,)e(,)e(,)eA q q qA q q qA q q qA123112233111(eee)hqhqhqA证明：证明：123231233112312()Ah hqqh A hqqhh Aqq123231232312323()()() ()Ah hqqAh hqqAh hqq 233223()()()0qqqqqq 考察第考察第项项散度散度1 231231 231 23123()()()1Ah hh A hhh Ah

8、h hqqqA1 231 231 231 232312323123()()()() ()()Ah hAh hAh hAh hqqqqqqqqqq1 231231()()Ah hqqqq1231231()1Ah hhh hq1(e )iiiqh123123231231()1()Ah hAh hqqhh hq同理可得同理可得12323 1311 232()1()h A hA h hqqhh hq1233 12121233()1()hh AA hhqqhh hq证毕证毕1 12 23 31 231231 1223 31heh eh ehh hqqqAhA hA hA1(e )iiiqh旋度旋度112

9、312123231233(,)e(,)e(,)eA q q qA q q qA q q qA证明：证明：123PeQeReA1 112223 33AhqA hqA hq1(e )iiiqh考察第考察第项项1 111 111 111 111 11 11 112311231 11 12131231 11 121311 221331 11 1321 221 331 211111AhqAhqAhqAhqAhAhAhqqqqqqqAhAhqqqqqqAhAheeeehhqH HqAhAheehhqhhqhh 1 11 12 23 3332AhAhh eh ehqq1(e )iiiqh同理可得同理可得22

10、222223 31 11 23131A hA hA hqh ehehh hqq33333331 12 21 23211A hA hA hqheh ehh hqq1 12 23 31 231231 1223 31heh eh ehh hqqqAhA hA hA合并：合并：证毕证毕柱坐标系柱坐标系11zh,h,h1zuuuueeez 1PRQzA1zeeezPQRA21uuuuuzz Cylindrical coordinates 柱坐标系柱坐标系11rzh,hr,h1rzuuuueeerrz 1rPrRQrrzA1rzeeerrzPrQRA22222222111uuuuuuuurrrrrrzzr

11、rrrz Cylindrical coordinates Kreyszig p523Kreyszig p588(5)球坐标系球坐标系1rh,hr,hr sin11ruuuueeerrr sin 221PrQsinRsinrrr sinrA21rerer sin er sinrPrQr sin RASpherical coordinates2222211uuuusinrsinr sinrrsin2222222222222222222222222rcosQRPPQerrrr sinPQcosRQerr sinr sinPRcosQRer sinr sinr sin A球坐标系球坐标系1rh,hr,hr sin11ruuuueeerrr sin 221PrQsinRsinrrr sinrA21rerer sin er sinrPrQr sin RASpherical coor