切线应用的拓展例题ppt课件

1、临泉县临泉县汇英中学 闫东 2021圆的切线的断定圆的切线的断定 .1 ABOBPO BOAC OPPCOPCBADPBACDAODPOP12如图，是的直径，切于 ， 的弦求证：是的切线；若切线和的延长线交于点 ，且等于的半径，则【例】 【解析】 (1)连结OC. 由于ACOP，所以ACO=COP，CAO=POB. 由OA=OC，得OAC=OCA，所以COP=POB 在COP和BOP中， ,POPOCOPBOPCOBO 所以COP BOP, 所以PBO=PCO=90， 所以PC是 的切线. (2)由COP BOP，得 DPO=OPB，所以 . 由于DA=OA=OB，所以 又由于AD等于 O的半

2、径，ACOP， 所以 , 所以 .PBBOPDOD 12PBPD 12ACDAOPDO PBACDPOP 此题主要调查圆的切线的断定及比例线段的证明，调查平面几何的推实际证才干. 要证直线PC是 O的切线，只需证OCPC即可；要求比例线段，可经过中间比来过渡，结合图形，利用条件即可获证.【变式练习1】如图，AB是 O的直径，C，F为 O上的点，CA是BAF的角平分线，过点C作CDAF交AF的延伸线于D点，作CMAB，垂足为点M. 求证： (1)DC是 O的切线; (2)AM MB=DF DA. 【解】(1)连结OC，那么OAC=OCA. CA是BAF的角平分线， OAC=FAC， FAC=OC

3、A， OCAD. CDAD， CDOC，即CD是 O的切线. (2)连结BC.那么ACBC 在RtACB中， - RTAMCRtCMB CM2=AM MB.(切割线定理) CD是 O的切线， CD2=DF DA. 又- RtAMC RtADC， CM=CD， AM MB=DF DA.切割线定理及其运用切割线定理及其运用2222.ABDABCDABCDECTTCBFBECTBC如图，已知是半圆的直径，是上的一点，交半圆于点 ，是半圆的切线， 是切点，交半圆于 ，求证：【例 】【解析】连结AE，AF. 由于AB是圆O的直径， 所以AEB=AFB=90. 又CDB=90， ABC=DBF， 所以DB

4、CFBA, 所以 ， 即AB BD=BC BF.ABBFCBBD 由于AEB=90，CDAB， 所以BE2=BD AB(直角三角形射影定理). 由于CT是切线，CB是割线， 所以CT2=CF CB. 所以BC2 - CT2=BC2 CF CB =BC (BC - CF) =BC BF, 所以 BE2=BC2 - CT2，即BE2+CT2=BC2.有切线有割线，思索利用切割线定理；有直径，莫忘直角；有平方方式，思索直角三角形射影定理. 【变式练习2】如图，AB是 O的直径，C，F是 O上的两点，OCAB，过点F作 O的切线FD交AB的延伸线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2DBDA. 【

5、解析】连结OF.由于DF切 O于F，所以OFD90.所以OFCCFD90.由于OCOF，所以OCFOFC.【解析】由于COAB于O，所以OCFCEO90.所以CFDCEODEF，所以DFDE.由于DF是 O的切线，所以DF2DBDA.所以DE2DBDA.四点共圆及其运用四点共圆及其运用 【例3】如图，知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B=60，F在AC上，且AE=AF. 证明：(1)B，D，H，E四点共圆； (2)CE平分DEF. 【解析】(1)在ABC中，由于B=60， 所以BAC+BCA=120. 由于AD、CE是角平分线， 所以HAC+HCA=60，所以 AHC=120， 所以E

6、HD=AHC=120. 由于EBD+EHD=180, 所以B，D，H，E四点共圆. (2)连结BH，那么BH为ABC的平分线. 由(1)知，B，D，H，E四点共圆,CED=HBD=30. 又EBD=AHE=60, 由知可得EFAD, CEF=30， 所以CE平分DEF.此题是对考生几何推实际证才干的综合调查，所用到的知识较多，证明的关键是根据四点共圆的条件进展证明.在解题时要根据知条件，经过等量代换将角集中到一个四边形中，到达运用条件的目的.12.3OOMNAEMNABCDEAB CDBC DE如图，与交于、两点，直线与这两个圆及依次交于、 、 、 、【变式练习 】求证：.()().AMDNA

7、C CDMC CNBC CEMC CNAC CDBC CEABBC CDBC CDDEAB CDBC DE因为 ， ， 四点共圆，所以同理，有所以，即，所以【证明】 1.如图，两同心圆的半径分别为1、2，大圆的弦AD与小圆交于B、C两点，求AB BD的值.【解析】过B作大圆的直径EF， 那么BE=OE -OB=2 -1=1, BF=OB+OF=1+2=3. 由相交弦定理得AB BD=BE BF=13=3. .ABCDaDDABCOFCFABEEABBF122如图，四边形是边长为 的正方形，以 为圆心，为半径的圆弧与以为直径的 交于点 ，延长交于求证： 是的中点；求线段的长 .OFODDFECB

8、ODCEBCOCDBCDCaCDOBCEEBOCEAB1902连 结，由 题 意 知，又，所 以 ， 所 以所 以是的 中 点【 解 析 】证 明 ： ,.BCOBFCERtFEBRtBECBFCBBFaBECE552 因为是 的直径，所以，所以 ，得所以【解析】 3.如下图， O的弦AB、CD相交于点P，PA=4 cm, PB=3 cm, PC=6 cm, EA切 O于点A，AE与CD的延伸线交于点E. 假设AE= cm，求PE的长.2 5 【解析】根据相交弦定理，得PD PC=PA PB，所以PD 6=43, 所以PD=2(cm). 由于EA是 O的切线，所以EA2=ED EC， 所以 2

9、0=ED (ED+8)，所以ED=2(cm), 那么PE=4(cm). 4.知 O1和 O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与 O1交于点C，与 O2交于点D . 经过点B的直线EF与 O1交于点E，与 O2交于点F. 求证：CEDF. 【解析】如图，连结AB. 由于四边形ABEC 是 O1的内接四边形， 所以BAD=E. 由于四边形ADFB 是 O2的内接四边形， 所以BAD+F=180. 所以E+F=180, 所以CEDF.ABCCMACBAMCBCNACABBNAM1225在中，已知是的平分线，的外接圆交于点若，求证： . . .ABCCMACBACAMBCBMABAMACABBCB

10、MBMABNCOBBABNBMBABNBCBCBMAMBNBNAMBMBM12222在中，因为是的平分线，所以又已知，所以又因为与是圆 过同一点 的割线，所以，即由【、可知所证明，】以 1. 2.圆周角定理及其推论主要应用于证明弦相等、弧相等、角相等和线垂直等圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、割线定理、切割线定理在证明、计算和作图中有着广泛的应用，是高考的必考内容，这几个定理既有联系又有区别，在复习时，应放在一起研究 3.与圆有关的比例线段问题的普通思索方法： (1)直接运用相交弦定理、切割线定理及其推论； (2)找类似三角形，当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用根本定理推导时，通常是

11、由“三点定形法证三角形类似，其普通思绪为等积式比例式中间比类似三角形.4.与圆有关的常用辅助线 (1)有弦，可作弦心距； (2)有直径，可作直径所对的圆周角； (3)有切点，可作过切点的半径； (4)两圆相交，可作公共弦； (5)两圆相切，可作公切线； (6)两半圆，可作整圆. 1.(2021苏、锡、常、镇四市一模卷) 如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E，F分别在边AB，CD上，设ED与AF相交于点G，假设B，C，F，E四点共圆，求证：AG GF= DG GE.【解析】连结EF.由于B，C，F， E四点共圆, 所以ABC=EFD. 由于ADBC， 所以BAD+ABC=180, 所以BAD+EFD=180， 所以A，D，F，E四点共圆. 由于ED交AF于点G，所以AG GF=DG GE. 选题感悟：此题以圆为切入点，重点调查圆中有关定理的运用，求解的关键在于经过四点共圆，实现角的相等的转化，同时又把分散的条件集中起来，这是进展几何推理证明的一个重要技巧，也是高考的热点. 1 2(2010) 2APOPACOOBCOPACMBCAMOPOAMAPM已知是的切线，为切点，是的割线，与交于 ，两点，圆心 在的内部，点是的中点 求证： ， ，