工程力学教学 第8章应力状态分析ppt课件

1、第八章第八章 应力状态分析应力状态分析第八章第八章 应力状态分析应力状态分析 应力状态的概念应力状态的概念 用解析法分析二向应力状态用解析法分析二向应力状态 用图解法分析二向应力状态用图解法分析二向应力状态 主应力迹线主应力迹线 三向应力状态三向应力状态 广义胡克定律广义胡克定律目目录录回顾与比较内力内力AF应力应力PITFAyFSMZIMy低低 碳碳 钢钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铸 铁铁1 1、问题的提出、问题的提出81 应力状态的概念应力状态的概念脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低低 碳碳 钢钢铸铸

2、 铁铁81 应力状态的概念应力状态的概念 PPmmnnPnnkANmmPpkcoscos/ANANp2coscos p2sin2cossinsin p一、一点的应力状态一、一点的应力状态81 应力状态的概念应力状态的概念81 应力状态的概念应力状态的概念 一、一点处的应力状态 对弯曲或扭转的研究表明，在构件的同一横 截面内，点的位置不同，其应力就不同。所以， 一点的应力是该点坐标的函数。此外，在通过构 件内同一点、不同方位的截面上，应力也不同， 即应力随截面方位角的变化而变化。 一般地，在受力构件的同一横截面内，点的 位置不同应力就不同，而且在通过同一点的不同 截面上，应力也随截面的方位而变化

3、。81 应力状态的概念应力状态的概念为了研究受力构件内某一点处的应力状态，通常是围绕该点取一个无限小的正六面体单元体来研究。当单元体三对相互垂直面上的应力已知时，就可以求得通过该点的任意斜截面上的应力，从而确定该点的应力状态。81 应力状态的概念应力状态的概念yxz x y z xy yx yz zy zx xz12381 应力状态的概念应力状态的概念 单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用称为主应力，分别用 表示，并且表示，并且该单元体称为主应力单元体。该单元体称为主应力单元体。321,321 123yxz x

4、y z xy yx yz zy zx xz81 应力状态的概念应力状态的概念123空间三向应力状态：三个主应力均不为零空间三向应力状态：三个主应力均不为零平面二向应力状态：一个主应力为零平面二向应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零81 应力状态的概念应力状态的概念81 应力状态的概念应力状态的概念 若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称为单向应力状态，如杆件轴向拉伸或压缩。为单向应力状态，如杆件轴向拉伸或压缩。PP 若三个主应力中，有一个等于零，两个不等于零，称若三个主应力中，有一个等于零，两个不

5、等于零，称为二向应力状态，或平面应力状态，如梁的弯曲。为二向应力状态，或平面应力状态，如梁的弯曲。ABPxxxx xy yx y yx xya a1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态yxxxxyyxyyxyyxx xy yx y yx xya a1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 0 nF 0 tF y a a xydAdAxyx 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0cos)sin(sin

6、)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xydAdAxyx 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 y

7、 a a xydAdAxyx2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态 y a a xydAdAxyxx xy yx y yx xya a角：由角：由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。 y a a xyntxyxx 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值确定正应力极值2cos22sin)(xyyxdd设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即02co

8、s22sin)(00 xyyx3. 正应力极值和方向正应力极值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2) )( (2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态yxxy 22tan0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为： 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主

9、应力按代数值排序：主应力按代数值排序：1 1 2 2 3 3 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态yxxy 22tan0 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态这两个主应力分别与 和 所确定的主平面相对应。至于两个主平面中，哪个面上作用 ，哪个面上作用 ，这种对应关系由下述规则确定：由 和 确定了两个主平面之后， 的矢所指向的那一侧即为 的矢的位置。0900maxmin0900maxxy 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态1xyyx12tan224minmax

10、22xyyx）（)(minmax)90tan(2cot2tan20012cos2sin)(21xyyx 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态)90tan(2cot2tan2001 所以 ，这说明两个极值剪应力所在平面与主平面各成45角。4501n)/2()/2(minmaxyxn试求试求1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2主应力、主平面；主应力、主平面； （3 3绘出主应力单元体。绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。：一点处的平面应力状态如图所示。 y x xy 。30MPa，60 xMPa,30 xy,MPa40y知知 8-2

11、8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态y x xy 解：解： （1 1） 斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58y x xy 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态（2 2主应力、主平面主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3 .682yxxyyx22)2(minMPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应

12、力状态y x xy 主平面的方位：主平面的方位：yxxytg2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150y x xy 代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向：15 .150主应力主应力 方向：方向：3 5 .1050 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态（3 3主应力单元体：主应力单元体：5 .1513 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态y x xy n练习练习1求图示单元体求图示单元体ab 斜截面上的正应力和剪应力。斜截面上的正应力和剪应力。MPa80MPa4030解：知解：知,80MPax,40M

13、Pax 60, 0yMPa64.54120sin40120cos2080208060MPa64.54120cos40120sin208060 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态练习练习2求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。标出主应力的方位。MPa80MPa40解：知解：知,80MPax,40MPax, 0y57.564040)2080(208022minmaxMPaMPa57.96, 0,57.16321MPa57.56)57.96(57.16(21max 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态

14、解析法分析二向应力状态MPa80MPa40108040220tg22545205 .675 .1125 .22033110=67.5 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态练习练习3求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。标出主应力的方位。MPa50MPa30MPa30解：知解：知,50MPax,30MPax,30MPay5010)30()23050(2305022minmaxMPaMPa40, 0,60321MPa50)40(60(21max 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状

15、态MPa50MPa30MPa3043)30(50)30(220tg87.21687.362043.10843.18011330=18.43 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx 由解析法知，任意斜截面的应力为由解析法知，任意斜截面的应力为 将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加22)2sin2cos2()2(xyxyx22)2cos2sin2(xyx 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态得：得：2222)2()2(xyxyx 取横轴为斜截面的正应力

16、，纵轴为斜截面的剪应力，则取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的剪应力，则上式为一圆方程。上式为一圆方程。xxxyyntyo2/ )(yxCr圆心坐标为圆心坐标为);0 ,2(yx半径为半径为22)2(xyxr 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2( 这个方程表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程表示一个圆，这个圆称为应力圆 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2( 2yx1. 1. 应力圆：

17、应力圆： 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态2.2.应力圆的画法应力圆的画法D(sx ,txy)D/(sy ,tyx)c xy 2RxyyxR22)2( y yx xyADx 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力微元某一截面上的正应力和切应力3 3、几种对应关系、几种对应关系D(sx ,txy)D/(sy ,tyx)c xy 2 y yx xyxH ),(aaH 2 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态8-4 8-4 梁

18、的主应力及主应力迹线梁的主应力及主应力迹线124512345mm1531111333322322142124212234 梁的各点皆处于平面应力状态，各点的主应力为拉主应梁的各点皆处于平面应力状态，各点的主应力为拉主应力力1和压主应力和压主应力3。各点的拉主应力和压主应力的走向形。各点的拉主应力和压主应力的走向形成两组互相正交的曲线族，此两组互相正交的曲线称为梁的成两组互相正交的曲线族，此两组互相正交的曲线称为梁的主应力迹线。过一点沿两组主应力迹线的切线则表示该点两主应力迹线。过一点沿两组主应力迹线的切线则表示该点两个主应力的方向。个主应力的方向。x11截面截面22截面截面33截面截面44截面

19、截面ii截面截面nn截面截面bacd主应力迹线的画法：主应力迹线的画法：8-4 8-4 梁的主应力及主应力迹线梁的主应力及主应力迹线拉力压力 1 3 1 3 图示为悬臂梁的主应图示为悬臂梁的主应力迹线力迹线实线表示拉主应力迹线；实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。虚线表示压主应力迹线。8-4 8-4 梁的主应力及主应力迹线梁的主应力及主应力迹线q 1 3 3 1 图示混凝土梁图示混凝土梁自重下的主应力迹自重下的主应力迹线。线。 混凝土属脆性混凝土属脆性材料，抗压不抗拉。材料，抗压不抗拉。沿拉主应力迹线方沿拉主应力迹线方向铺设钢筋，可增向铺设钢筋，可增强混凝土梁的抗拉强混凝土梁的抗拉强度

20、。强度。8-4 8-4 梁的主应力及主应力迹线梁的主应力及主应力迹线定义定义231三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 8-5 8-5 三向应力状态三向应力状态1122xyz331231、空间应力状态、空间应力状态 8-5 8-5 三向应力状态三向应力状态1232、三向应力圆、三向应力圆 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 8-5 8-5 三向应力状态三向应力状态123 max min231max3、最大剪应力、最大剪应力 1 2 3 最大剪应力所在的截面与最大剪应力所在的截面与2平行，与第一、第三主平平行，与第一、第三主平面成面成45角。角。 8-5 8-5

21、三向应力状态三向应力状态1. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE Exxy xyx1 1轴向拉压胡克定律轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2纯剪切胡克定律纯剪切胡克定律 G 8-6 8-6 广义胡克定律广义胡克定律2 2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法、三向应力状态的广义胡克定律叠加法23132111E1231E1E2E3 8-6 8-6 广义胡克定律广义胡克定律23132111E13221E21331E 8-6 8-6 广义胡克定律广义胡克定律)(1zyxxE Gxyxy 3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzy

22、z Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz 8-6 8-6 广义胡克定律广义胡克定律例例2边长为边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为模量为E 、泊桑比为、泊桑比为 ，顶面受铅直压力，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的作用，求钢块的应力应力x 、y 、z 和应变和应变x 、y 、z 。Pxyz x y z解：解： 由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2aPANy, 0z, 0 x 8-6 8-6 广义胡克定律广义胡克定律Pxyz x y z,2aPyx)0(10yxE)0(1xyyE)(01yxzE,)1 (1222

23、EaPEyyy2)1 ()(EaPEyyz 8-6 8-6 广义胡克定律广义胡克定律例例3已知已知E=10GPa、=0.2，求图示梁，求图示梁nn 截面上截面上 k 点沿点沿30方向的线应变方向的线应变 30。nnk1m 1m2mAB2001507575kkNP1230mkNMn.6kNQn6MPahbhMyIMnkzn130206000341223bhQbbhhbhQbISQnnzzn89)8/3()4/(123* 8-6 8-6 广义胡克定律广义胡克定律nnk1m 1m2mAB2001507575kkNP1230mkNMn.6kNQn6MPahbhMyIMnkzn130206000341223MPabhQn1125. 030020086000989 8-6 8-6 广义胡克定律广义胡克定律nnk1m 1m2mAB2001507575kkNP1230MPaM