高等数学 第七章 常微分方程

1、常微分方程常微分方程 在力学、物理学及工程技术等领域中在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。 常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容

2、十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用 由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解

3、方法。法。 本章先从解决这类实际问题入手，引出微本章先从解决这类实际问题入手，引出微分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊类型的微分方程的求解方法。类型的微分方程的求解方法。重点重点五种标准类型的一阶方程的求解五种标准类型的一阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解可降阶的高阶方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解难点难点求解全微分方程求解全微分方程求常系数非齐次线性方程的通解求常系数非齐次线性方程的通解基本要求基本要求明确微分方程的几个基本概念明确微分方程的几个基本概念牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可牢固掌

4、握分离变量法，能熟练地求解可分离变量的微分方程分离变量的微分方程牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，会将会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解方程化为一阶线性方程来求解掌握全微分方程的解法掌握全微分方程的解法会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟练地应用特征根法、待定系数法求解二阶练地应用特征根法、待定系数法求解二阶常系数线性方程常系数线性方程一、问题的提出一、问题的提出例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任

5、任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程. 解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 2,1 yx时时其其中中 xdxy2,2Cxy 即即, 1 C求求得得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶驶, ,当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内 行行驶驶了了多多少少路路程程？ 解解)(,t

6、ssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4 . 022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst时时14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts 代入条件后知代入条件后知0,2021 CC,204 . 0 tdtdsv故故,202 . 02tts 开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需),(504 . 020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了 ).(5005020502 . 02米米 s二、微分方程的定义二、微分方程的定义微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy

7、,32xeyyy , 0)(2 xdxdtxt, yxxz 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .分类分类1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏常微分方程偏常微分方程. .微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数. .分类分类2:2:一阶微分方程一阶微分方程, 0),( yyxF);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxf

8、y分类分类3 3: : 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类分类4 4: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. . ,)(阶阶导导数数上上有有在在区区间间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任

9、意常数, ,且独且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同. ., yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通通解解(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. . 00),(yyyxfyxx一阶一阶

10、:过定点的积分曲线过定点的积分曲线;二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.例例 3 3 验验证证:函函数数ktCktCxsincos21 是是微微分分 方方程程0222 xkdtxd的的解解. 并并求求满满足足初初始始条条件件0,00 ttdtdxAx的的特特解解. 解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkkt

11、CktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为补充补充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来).cosktAx 四、小结四、小结微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件; 特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线;思考题思考题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?思

12、考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: : 1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、 2sin dd是是_阶微分方程；阶微分方程；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . .二二、确确定定函函数数关关系系式式)sin(21cxcy 所所含含的的参参数数, ,使使其其 满满足足初初始始条条件

13、件1 xy, ,0 xy. . 三三、设设曲曲线线上上点点),(yxP处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为Q, , 且且线线段段PQ被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微 分分方方程程. . 四、已知函数四、已知函数1 xbeaeyxx, ,其中其中ba ,为任意常为任意常 数数, ,试求函数所满足的微分方程试求函数所满足的微分方程 . .练习题答案练习题答案一一、1 1、3 3； 2 2、2 2； 3 3、1 1； 4 4、2 2. . 二二、.2, 121 CC 三三、02 xyy. . 四四、xyy 1. . 一阶方程的一般形式为一阶方程的一般形式为0

14、),( yyxF本节主要研究能把导数解出来的一阶方程本节主要研究能把导数解出来的一阶方程),(yxfdxdy 的解法的解法 这个方程虽然简单，也常常很难求这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式出解的有限表达式几种特殊类型的一阶微分方程的解法。几种特殊类型的一阶微分方程的解法。所以本节只讨论所以本节只讨论特殊类型的一阶方程的求解特殊类型的一阶方程的求解一阶方程有时也可以写成如下的对称形式一阶方程有时也可以写成如下的对称形式0),(),( yxQdxyxP它既可视为以它既可视为以 x 为自变量以为自变量以 y 为未知函数的方程为未知函数的方程),(),(yxQyxPdxdy 也可以视为以也

15、可以视为以 y 为自变量为自变量 以以 x 为未知函数的方程为未知函数的方程),(),(yxPyxQdxdy 很重要的观点很重要的观点考虑方程考虑方程xdxdy2 或写成或写成xdxdy 2 两边积分得两边积分得cxy 2 但并不是所有的一阶方程都能象上面但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解那样采取两边积分的方法来求它的通解如如22xydxdy 困难就在于方程的右端含有未知函数困难就在于方程的右端含有未知函数积分积分 dxxy22求不出来求不出来为了解决这个问题为了解决这个问题 方程的两边同乘以方程的两边同乘以 dxy21使方程变为使方程变为xdxdyy212 这

16、样变量这样变量 x , y 已经分离在等式的两端已经分离在等式的两端两边积分得两边积分得 cxy 21或或cxy 21可以验证可以验证 cxy 21是方程的通解是方程的通解注注y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中也是方程的解，但不包含在通解中 称为称为奇解奇解一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例例如如,2254dxxdyy 这类方程的这类方程的特点特点是是经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和其微分其微分解法解法设设函函数数)(yg和和)(

17、xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数, CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.求解步骤求解步骤分离变量分离变量两边积分两边积分得到得到隐式通解隐式通解或或通积分通积分二、典型例题二、典型例题例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为为所所求求通通解解xcey .0)()(2通通解解求求方方程程例例 xdyxygydxxyf解解,xyu 令令,ydxxd

18、ydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx通解为通解为.)()()(|lnCduugufuugx 例例 3 3 衰衰变变问问题题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子子含含量量M成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰变变过过程程中中铀铀含含量量)(tM随随时时间间t变变化化的的规规律律. 解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰衰变变系系数数 MdtdMdtMdM , dtMdM,lnlnctM ,tceM 即即00MMt 代代入入00ceM 得得,C teMM 0衰

19、变规律衰变规律例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米, 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后, 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0解解 设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt

20、在在 内内,2CO的通入量的通入量,03. 02000 dt2CO的排出量的排出量),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO三、小结三、小结分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式

21、通解.注注 分离变量时，注意检查是否有漏解，特别分离变量时，注意检查是否有漏解，特别是写成对称形式的方程（因为要同除须保证是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分母不等于分母不等于0）思考题思考题求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考题解答思考题解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 为所求解为所求解.练练 习习 题题一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()(

22、 dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. . 二、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. . 三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘米厘米克克 , ,问从运动开始

23、经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系系数数为为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. . 二、二、1

24、1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . . 三、三、3 .269 v厘米厘米/ /秒秒. . 四、取四、取 0 0 为原点为原点, ,河岸朝顺水方向为河岸朝顺水方向为轴轴x, ,轴轴y指向对指向对 岸岸, ,则所求航线则所求航线为为)312(32yyhakx . . 1.1.定义定义)(xyfdxdy 形形如如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法 作变量代换作变量代换,xyu ,xuy 即即,dxduxudxdy 代入原式代入原式),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程齐次型方程齐次型方程一、齐次型方程一

25、、齐次型方程,0)(时时当当 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得通解得通解,0u 若若, 0)(00 uuf使使,0是是新新方方程程的的解解则则uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx解解，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu 微分方程的解为微分方程的解为.lnsinCxxy 例例 2 2 求解

26、微分方程求解微分方程.2222xyydyyxyxdx 解解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu ,1122)121(21xdxduuuuu ,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy 例例 3 3 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例: : 车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解如图如图轴轴设设旋旋转转轴轴 ox),0 , 0(光光源源在在)(:xyyL 为为上上任任一一点点，设设),(yxM,y

27、MT 斜斜率率为为为为切切线线,1,yMN 斜率为斜率为为法线为法线,NMROMN xyoMTNRL,tantanNMROMN xyoMTNRL由夹由夹角正角正切公切公式得式得 yNMRyxyxyyOMN1tan11tan得微分方程得微分方程, 022 yyxyy. 1)(2 yxyxy即即，令令xyu ,112uudxduxu 得得分离变量分离变量,1)1(22xdxuuudu ，令令221tu ,)1(xdxtttdt 积分得积分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即平方化简得平方化简得,2222xCxCu 得得代代回回,xyu )2(22CxCy 抛物线抛物线轴轴的的旋旋转转抛抛物

28、物面面方方程程为为所所求求旋旋转转轴轴为为 ox).2(222CxCzy yxyxdxdy 解解xyxydxdy 11令令xyu 则则dxduxudxdy 代入化简代入化简 并分离变量并分离变量dxxduuu1112 两边积分两边积分cxuulnln)1ln(21arctan2 换回原变量换回原变量cxxyxylnln)1ln(21arctan22 或或22arctanyxcexy 例例4二、可化为齐次型的方程二、可化为齐次型的方程1.1.定义定义的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacbyaxfdxdy ,01时时当当 cc为齐次型方程为齐次型方程. . 否则为非齐次型方程否则为非

29、齐次型方程2.解法解法，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）dYdydXdx ,)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一组解有唯一一组解.)(11YbXabYaXfdXdY 得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba, 0 b若若可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程., 0, 01 ab若若,byaxz 令令),(1adxdzbdxdy )()

30、(11cczfadxdzb 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.,01时时当当 b,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方方程程可可化化为为,byaxz 令令，则则dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb 可分离变量可分离变量.315的的通通解解求求例例 yxyxdxdy解解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令代入原方程得代入原方程得,YXYXdXdY ，令令XYu 方程变为方程变为,11uudXduXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，

31、将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解.)(62的的通通解解求求例例yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解解得得得得代代回回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 三、小结三、小结齐次方程齐次方程).(xydxdy 齐次方程的解法齐次方程的解法.xyu 令令可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程.,kYyhXx 令令思考题思考题方

32、程方程 )()()(2022xxydttyttyx 是否为齐次方程是否为齐次方程?思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.练练 习习 题题一、一、 求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解: : 1 1、0)(22 xydydxyx； 2 2、0)1(2)21( dyyxedxeyxyx. .二、二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、1, 02)3(022 xyxydxdyxy； 2 2、,0)2()2(2222 dyxxyy

33、dxyxyx 11 xy . .三、化下列方程为齐次方程三、化下列方程为齐次方程, ,并求出通解并求出通解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0)642()352( dyyxdxyx. .练习题答案练习题答案一、一、1 1、)ln2(22cxxy ； 2 2、cyexyx 2. . 二、二、1 1、322yxy ； 2 2、yxyx 22. . 三、三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22； 2 2、Cxyxy 2)32)(34(. . 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:)()(xQyxPdxdy , 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次

34、的齐次的., 0)( xQ当当上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx 线性的线性的;, 32 xyyy, 1cos yy非线性的非线性的.一阶线性微分方程一阶线性微分方程一、线性方程一、线性方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法1. 线性齐次方程线性齐次方程. 0)( yxPdxdy(使用分离变量法使用分离变量法),)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQy

35、dy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比)(xuC 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),

36、()()(xQexudxxP 积分得积分得,)()()(CdxexQxudxxP 一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解非齐次线性方程的通解非齐次线性方程的通解相应齐方程的通解相应齐方程的通解等于等于与非齐次方程的一个特解之和与非齐次方程的一个特解之和即即非齐通解非齐通解 = 齐通解齐通解 + 非齐特解非齐特解线性微分方程线性微分方程解的结构解的结构，是很优良的性质。，是很优良的性质。例例1 1.sin1的的

37、通通解解求求方方程程xxyxy 解解,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cxdxxsin1 .cos1Cxx Cdxexxexxlnlnsin解方程解方程25)1(12 xxydxdy解解相应齐方程相应齐方程12 xydxdy解得解得2) 1( xcy令令2) 1)( xxcy例例2代入非齐方程代入非齐方程)1)(2)1)(2 xxcxxc252)1(11)1)(2 xxxxc21)1()( xxc解得解得cxxc 23)1(32)(故非齐次方程的通解为故非齐次方程的通解为)1(32)1(232cxxy 例例3解方程解方程12)1(2 yxyx解解这是

38、一个二阶线性方程这是一个二阶线性方程由于其中不含变量由于其中不含变量 y 若令若令yz zy 12)1(2 xzzx化成一阶线性方程化成一阶线性方程其通解为其通解为211xcxz 即即211xcxy 再积分再积分212arctan)1ln(21cxcxy 即为原二阶方程的通解即为原二阶方程的通解例例4 4 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf解解,)()(230yxdxxfx xyxydx03,xyoxPQ3xy )(

39、xfy 两边求导得两边求导得,32xyy 解此微分方程解此微分方程23xyy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx一阶线性微分方程的通解也可写成一阶线性微分方程的通解也可写成dxexQCeyxxdxxPdxxPxxxx 000)()()(方程方程)()()()(xQyfxPdxdyyf 令令)(yfz )()(xQzxPdxdz 即化为一阶线性微分方程即化为一阶线性微分方程注注二、伯努利方程二、伯努利方程伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )

40、1 , 0( n时时，当当1 , 0 n方程为方程为线性微分方程线性微分方程.时时，当当1 , 0 n 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.，得，得两端除以两端除以ny),()(1xQyxPdxdyynn ,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(代入上式代入上式),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn例例 5.42的的通通解解求求方方程程yxyxdxdy 解解

41、，得，得两端除以两端除以y,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即例例6 6 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx ;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz 分离变量法得分离变量法得,42sin

42、2Cxzz ,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ,xyz 令令;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代代回回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为 注注 利用变量代换将一个微分方程化为变量利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法求解微分方程的一种最常用的思想

43、方法如如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程方程 、Bernoulli 方程等方程等都是通过变量代换来求解方程的。都是通过变量代换来求解方程的。将将),(yxfdxdy 变换为变换为 ),(1yxfdydx 也是经常可以考虑的也是经常可以考虑的三、小结三、小结1.齐次方程齐次方程)(xyfy ;xuy 令令2.线性非齐次方程线性非齐次方程;)()( dxxPexuy令令3.伯努利方程伯努利方程;1zyn 令令思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考题解答思考题解答yyxyydydxcossin2sincos ,t

44、an2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 练练 习习 题题一一、求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二二、 求求下下列列微微分分方方程程满满足足所所给给初初始始条条件件的的特特解解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy三、设有一质三、设有一质的的量量为为 m质点作直线运

45、动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正比比(比例比例1k系系数数为为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受一与速度成正比一与速度成正比(比例比例2k系系数数为为)的阻力作用的阻力作用,求质求质点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系 .四、四、 求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.五、五、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程, ,然后求出通解然后求

46、出通解: :1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12. .六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,010,2)(xxxg, ,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy , ,满满足条件足条件0)0( y, ,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程 . .练习题答案练习题答案一一、1 1、xeCxysin)( ； 2 2、Cyyx 2lnln2； 3 3、2321yCyx . . 二二、1 1、15sincos xexy； 2 2、113322 xexxy. . 三

47、三、)1(022121tmkekmktkkv . . 四四、1 1、Cxxy ； 2 2、)32(ln32322 xxCyx. . 五、五、1 1、Cxyx 2)(2； 2 2、Cxxy 1sin1； 3 3、Cxxyxy 4)2sin(2. .六、六、 1,)1(210, )1(2)(xeexexyyxx. .1.1.定义定义: : 若有全微分形式若有全微分形式dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 则则0),(),( dyyxQdxyxP全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程例如例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu ,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程

48、所以是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程全微分方程全微分方程一、全微分方程及其解法一、全微分方程及其解法2.2.解法解法: :0),(),( dyyxQdxyxP全微分方程全微分方程应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.xQyP 通解为通解为,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy ;),(Cyxu 用直接凑全微分的方法用直接凑全微分的方法. yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0其中其中 x0 , y0 是在是在G中适当选定的点中适当选定的点 M0 (x0 , y0 )的坐标，起点坐标选择的不同，至多使的坐标，起点坐标选择的不同，至多使u( x,

49、 y) 相差一个常数相差一个常数 例例1 1.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(,42344224yyxx 原方程的通解为原方程的通解为.42344224Cyyxx 例例2.0324223的的通通解解求求方方程程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd ),1(32yxyd 原方程的通解为原方程的通解为.132Cyxy 二、积分因子法二、积分

50、因子法 0),( yx 连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全微分方程微分方程. .则称则称),(yx 为方程的为方程的积分因子积分因子. .问题问题: 如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?定义定义: :1.1.公式法公式法: :,)()(xQyP xQxQyPyP ，两两边边同同除除 xQyPyPxQ lnln求解不容易求解不容易特殊地特殊地:;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y ,dxdx )(1lnxQyPQdxd )(xf .)()( dxxfex ;.有有关关时时只只与与当当yb , 0 x ,dyd

51、y )(1lnyPxQPdyd )(yg .)()( dyygey 2.2.观察法观察法: :凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式常见的全微分表达式)2(22yxdydyxdx )(xydxdyydx )(2xydxydxxdy )(2yxdyydxxdy )(lnxydxyydxxdy )(arctan22xydyxydxxdy )(ln2222yxdyxydyxdx 可选用的积分因子有可选用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 例例3.0)()3(22的的通通解解求求微微分分方方程程 dyxyxdxyxy解解,1)(1xxQyPQ

52、 dxxex1)( 则原方程成为则原方程成为, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx.x , 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx 可积组合法可积组合法)(21(23xyyxd , 0 原方程的通解为原方程的通解为.)(2123Cxyyx (公式法公式法)例例4 求微分方程求微分方程.0)1(222的的通通解解 dyyxdxyxx解解, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为原方程的通解为.)(322322

53、Cyxx 例例5 求微分方程求微分方程.0)1(ln2222的的通通解解 dyyyxydxxy解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则可积组合法可积组合法. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解为原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx 例例6.132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解解1整理得整理得,112xyxdxdy A A 常数变易法常数变易法: :.1xCy 对应齐方程通解对应齐方程通解.1)(xxCy 设设

54、.43)(43CxxxC B B 公式法公式法: :,11211Cdxexeydxxdxx .4343Cxxxyy 通通解解为为解解2 2整理得整理得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A A 用曲线积分法用曲线积分法: :,)1()(),(0032 yxdyxdxxxyxuB B 凑微分法凑微分法: :, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyydC C 不定积分法不定积分法: :,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(

55、xyCx , 1)( yC,)(yyC 原方程的通解为原方程的通解为.4343Cxxxyy 三、一阶微分方程小结三、一阶微分方程小结分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分方程全微分方程一阶微分方程一阶微分方程思考题思考题方程方程0324223 dyyxydxyx是否为全微分方程？是否为全微分方程？思考题解答思考题解答 32yxyyP,64yx 4223yxyxxQ,64yx xQyP 原方程原方程是是全微分方程全微分方程.练练 习习 题题一一、 判判别别下下列列方方程程中中哪哪些些是是全全微微分分方方程程, ,并并求求全全微微分分方方程程的的通通解解: :1 1、0)2( dyyxed

56、xeyy；2 2、0)(22 xydydxyx；3 3、02)1(22 dede. .二二、 利利用用观观察察法法求求出出下下列列方方程程的的积积分分因因子子, ,并并求求其其通通解解: :1 1、02 xdxyxdyydx；2 2、dxyxydyxdx)(22 ； 3 3、0)1()1( xdyxyydxxy. .三三、 验验证证)()(1xygxyfxy 是是微微分分方方程程 0)()( dyxyxgdxxyyf的的积积分分因因子子, ,并并求求方方程程0)22()2(2222 dyyxxdxyxy的的通通解解 . .四四、 已已知知21)0( f, ,试试确确定定)(xf, ,使使0)(

57、)( dyxfydxxfex为为全全微微分分方方程程, ,并并求求此此全全微微分分方方程程的的通通解解 . .练习题答案练习题答案一一、1 1、Cyxey 2； 2 2、不不是是全全微微分分方方程程； 3 3、Ce ) 1(2 . . 二二、1 1、Cxyx 22； 2 2、xCeyx222 ； 3 3、xyCeyx1 . . 三三、2212yxeCyx . .( (或或Cyxyx 22211ln) ) 四四、Cyxexexfxx )21(, )21()(. . 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶同特点是经过适当的

58、变量代换可将其化成较低阶的方程来求解。的方程来求解。可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法，用降阶法求解，一般都没有初等解法，以二阶方程以二阶方程 0),( yyyxF为例展开讨论为例展开讨论重点讨论能将二阶导数解出的情况重点讨论能将二阶导数解出的情况),(yyxfy 如果我们设法作变量代换把它从二阶降如果我们设法作变量代

59、换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解来求解一、一、 型型)(xfy 特点：特点：右端不含右端不含 yy ,仅是仅是 x 的函数的函数 解法：解法： 将将y 作为新的未知函数作为新的未知函数降阶降阶 令令yz zy 有有)(xfz 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程 积分积分 1)(cdxxfz即即 1)(cdxxfy再积分再积分 21)(cxcdxdxxfy对对 n 阶方程阶方程同理同理)()(xfyn 令令) 1( nyz)(xfz 积分得积分得 1)1()(cdxxfyn如此连续积分如此连续积分n 次即得原方程的次即得原方程

60、的含有含有n个任意常数的通解个任意常数的通解一般情况一般情况),()1()()( nknyyxfy特点：特点：.,)1( kyyy及及不显含未知函数不显含未知函数解法：解法：zyk )(令.,)()()1(knnkzyzy 则则).,()1()( knknzzxfzz 的的(n-k)阶方程阶方程, z求求得得,)(次次连连续续积积分分将将kzyk 可得通解可得通解.例例1 xysin)4( 解解1coscxy 21sincxcxy 322121coscxcxcxy 4322312161sincxcxcxcxy 例例 2.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xPy 设设