初中几何辅助线做法大全

1、欢迎共阅线、角、相交线、平行线1规彳t1.如果平面上有n(n>2方点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点回一条直线，一共可以回出-n(n21)条.八1规彳t2.平面上的n条直线最多可把平面分成n(n+i)+i个部分.一2规彳t3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为1n(n1)条.2规彳t4.线段(或延长线)上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半例：如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点.求证：MN=AC21一 BC2证明：:M是AB的中点，N是BC的中点AM=BM=1AB,BN=CN=2.,MN = MB+BN =1 AB

2、+21一 BC =21一 (AB + BC)2.MN = 1 AC2练习：1.如图，点C是线段AB上的一点,求证：AM = 1(AB + BC)M是线段BC的中点.22 .如图，点B在线段AC上，M是AB的中点,求证：MN = BC23 .如图，点B在线段AC上，N是AC的中点,求证：MN = AB2是AC的中点.BC的中点.1规彳t5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有一n(n1)个.2规彳t6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可木成小于平角的角共有2n(n-1)个.规彳t7.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n(n1)对对顶角.1规彳t8.平面上若有n(n)3个点，任

3、意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出-n(n-1)(n-2)6个.规彳t9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o.规彳t10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为1n(n1)个.2规彳t11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半规彳t12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明规彳t 13.已知AB/ DE,如图，规律如下:规彳t 14.例：已成“8字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.知，BE、DE分别平分/ ABC和/A

4、DC,若/ A =45o,/C=55o,求/E的度数.解：/A+/ABE=/E+/ADEZC+ZCDE=/E+/CBE十得ZA+ZABE+ZC+ZCDE=ZE+ZADE+ZE+ZCBEBE平分/ABC、DE平分/ADC,ZABE=/CBE,/CDE=/ADE.2/E=ZA+ZC1./E=一(/a+/C)2/A=45。,/C=55°,ZE=50°三角形部分规彳t15.在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题例：如图，已知D、E为4ABC内两点，求证：AB

5、+AC>BD+DE+CE.证法(一)：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N在4AMN中，AM+AN>MD+DE+NE在4BDM中，MB+MD>BD在CEN中，CN+NE>CE十十得AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CEAB+AOBD+DE+CE证法(二)延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在ABF和GFC和GDE中有，(DAB+AF>BD+DG+GF GF+FOGE+CE DG+GE>DE:十十有AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+CE注意：利用三

6、角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量(或与求证有关的量)移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P为4ABC内任一点，1求证：一(AB+BC+AC)<PA+PB+PC<AB+BC+AC2规彳t16.三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半例：如图，已知BD为4ABC的角平分线，CD为4ABC的外角/ACE的平分线，它与BD的延长线交于D.求证：/A=2/D证明：:BD、CD分别是/ABC、/ACE的平分线：/ACE=2/1,/ABC=2/2/A=/ACE/ABCA=2/12/2又,：/D=/1/2：/A=2/D规彳

7、t17.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90。加上第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分/ABC、/ACB,求证：/BDC=90°+1ZA2证明：BD、CD分别平分/ABC、/ACBA+2Z1+2Z2=180°：2(/1+/2)=180°/A./BDC=180°(/1+/2)：(/1+/2)=180°-/BDC把式代入式得2(180°/BDC)=180°/A即：360°2/BDC=180°/A：2/BDC=180°+/ABDC=90°+1/A2欢迎共阅规彳t18.三角形

8、的两个外角平分线相交所成的锐角等于90。减去第三个内角的一半.例：如图，BD、CD分别平分/EBC、/FCB,求证：/BDC=90°-1/A2证明：BD、CD分别平分/EBC、/FCB：/EBC=2/1、/FCB=2/2.2/1=/A+/ACB2/2=/A+/ABC十得2(/1+/2)=/A+/ABC+/ACB+/A2(/1+/2)=180°+/A(/1+Z2)=90°+1/A2ZBDC=180°(/1+/2)，一cc1，./BDC=180°-(90°+一/A)2：/BDC=90°-1/A2规彳t19.从三角形的一个顶点作高

9、线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差(的绝对值)的一半例：已知，如图，在ABC中，/C>/B,AD±BC于D,AE平分/BAC.求证：/EAD=1(/C/B)2证明：丁AE平分/BAC.<1J；BAE=/CAE=1/BAC2 ,/BAC=180°-(/B+ZC) ./EAC=1180°(/B+/C)2AD±BCDAC=90°/C ZEAD=/EAC/DAC"i ./EAD=1180°(/B+/C)-(90°-ZC)2=90°-(ZB+ZC)-90°+/C21=(/C/B)

10、2如果把AD平移可以得到如下两图，FDLBC其它条件不变，结论为/EFD=1(/C/B).2注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规彳t20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某山，沟造三宿至，徒录症的天宿a巢个三正形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D为4ABC内任一点，求证：/BDC>ZBAC证法(一)：延长BD交AC于E,/BDC是EDC的外角，：/BDC>ZDEC同理：/DEC>/BACZB

11、DC>/BAC证法(二)：连结AD,并延长交BC于FZBDF是ABD的外角，：/BDF>/BAD同理/CDF>/CAD欢迎共阅：/BDF+/CDF>/BAD+/CAD即：/BDC>/BAC规彳t21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形例：已知，如图，AD为AABC的中线且/1=Z2,/3=Z4,求证：BE+CF>EF证明：在DA上截取DN=DB,连结NE、NF,贝UDN=DC在4BDE和NDE中，DN=DB/1=/2ED=EDABDEANDE.BE=NE同理可证：CF=NF在EFN中，EN+FN>EF.BE+CF>EF规彳t22

12、.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形例：已知，如图，AD为ABC的中线，且/1=/2,/3=/4,求证：BE+CF>EF证明：延长ED至UM,使DM=DE,连结CM、FMBDE和CDM中，BD=CD/1=/5ED=MD/.ABDEACDM.CM=BE又:/1=/2,/3=/4/1+/2+/3+/4=180°3+Z2=90°即/EDF=90°FDM=/EDF=90°EDF和MDF中ED=MD/FDM=/EDFDF=DFAEDFAMDFEF=MF,.在ACMF中，CF+CM>MFBE+CF>EF（此题也可加倍FD,证

13、法同上）规彳t23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形例：已知，如图，AD为4ABC的中线，求证：AB+AC>2AD证明：延长AD至E,使DE=AD,连结BE .AD为4ABC的中线BD=CD在ACD和EBD中BD=CD/1=/2AD=ED AACDAEBD AABE中有AB+BE>AEAB+AC>2AD规彳t24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：a>ba坨=ca坨=c纪例：已知，如图，在AB

14、C中，AB>AC,/1=/2,P为AD上任一点，求证：AB-AC>PB-PC证明：截长法：在AB上截取AN=AC,连结PN在APN和APC中，AN=AC/1=/2AP=APAAPNAAPC.PC=PNBPN中有PB-PC<BN.PB-PC<AB-AC补短法：延长AC至M,使AM=AB,连结PM在ABP和AMP中AB=AM/1=/2AP=APAABPAAMP.PB=PM又.在PCM中有CM>PM-PCAB-AC>PB-PC练习：1.已知，在4ABC中，/B=60o,AD、CE是ABC的角平分线，并且它们交于点O求证：AC=AE+CD2.已知，如图，AB/CD/

15、1=/2,/3=/4.求证：BC=AB+CD规彳t25.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全隼.1|"若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形例:如图，已知，BE、CD相交于F,/B=/C,/1=/2,求证：DF=EF证明：:/ADF=/B+/3/AEF=ZC+Z4/1r串，Ij"/x.-、又:/3=/4/B=/CADF=/AEF在ADF和AEF中/ADF=/AEF/1=/2AF=AFAADFAAEF.DF=EF规彳t26.在一个图

16、形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图RtABC中，AB=AC,/BAC=900,过A作任一条直线AN,作BD，AN于D,CE，AN于E,求证：DE=BD-CE证明：,:/BAC=90o,BDXAN1+/2=90oZ1+Z3=900：/2=/3BD±ANCEXANBDA=/AEC=90o在ABD和CAE中，/BDA=/AEC/2=/3AB=AC.ABD口CAEBD=AE且AD=CEAE-AD=BD-CEDE=BD-CE规彳t27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等例：AD为4ABC的中线，且CFLAD于F,BELAD的延长线

17、于E求证：BE=CF证明：（略）规彳t28.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知AC=BD,ADLAC于A,BCBD于B求证：AD=BC证明：分别延长DA、CB交于点EAD±ACBCXBDCAE=/DBE=900在DBE和CAE中/DBE=/CAEBD=AC/E=/E/.ADBEACAEED=EC,EB=EAED-EA=EC-EBAD=BC规彳t29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成例：已知，如图，AB/CD,AD/BC求证：AB=CD证明：连结AC（或BD）AB/CD,AD/BC：/1=/2在ABC和CDA中，/1=/2AC=CA/3=/4AABCACDAAB=CD练习：

18、已知，如图，AB=DC,AD=BC,DE=BF,求证：BE=DF规彳t30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归腰归”.例：已知，如图，在RtAABC中，AB=AC,/BAC=900,/1=的延长线于E求证：BD=2CE证明：分别延长BA、CE交于F BEXCFBEF=/BEC=900在BEF和BEC中/1=/2BE=BE/BEF=/BEC ABEFABEC .CE=FE=1CF2/BAC=900,BEXCF./BAC=/CAF=900/1+/BDA=900/1+/BFC=900/BDA=/BFC在AABD和AACF中/BAC=/CAF/BDA=/BFCAB=AC.ABD口ACF

19、BD=CFBD=2CE练习：已知，如图，/ACB=3ZB,Z1=Z2,CD±AD于D,求证：AB-AC=2CD规彳t31.当证题有困难时，可结合已知条件，把角形.例：已知，如图，AC、BD相交于O,且AB=DC,求证：/A=/D证明：（连结BC,过程略）规彳t32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某为证题提供条件.三角形来解决问题.结为角分垂等/2,CEXBD图形中的某两点连接起来构造全等三AC=BD,条线段中点,例：已知，如图，AB=DC,/A=/D求证：/ABC=ZDCB证明：分别取AD、BC中点N、M,连结NB、NM、NC（过程略）规彳t33.有角平分线时，常过角平分线上的点向

20、角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，/1=/2,PBN上一点，且PDLBC于D,AB+BC=2BD,求证：/BAP+ZBCP=180°证明：过P作PEXBA于E3 PDXBC,/1=/2PE=PD在RtABPE和RtABPD中BP=BPPE=PD4 RtABPERtABPD5 .BE=BD6 .AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE7 .AE=CD8 .PEXBE,PDXBC/PEB=/PDC=90°在PEA和APDC中PE=PD/PEB=/PDCr*.iAE=CD二二.,Ii1'APEAAPDC!JZPCB=/EA

21、P,/BAP+ZEAP=180°BAP+ZBCP=180°练习：1.已知，如图，PA、PC分别是ABC外角/MAC与/NCA的平分线，它们交于P,PDLBM于M,PFLBN于F,求证：BP为/MBN的平分线2.已知，如图，在ABC中，/ABC=100°,/ACB=20°,CE是/ACB的平分线，D是AC上一点，若/CBD=20°,求/CED的度数。规彳t34.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB=AC,BDLAC于D,求证：/BAC=2/DBC证明：（方法一）作/BAC的平分线AE,交BC于E,则/1

22、=/2=/BAC2又;AB=ACAEXBC"2+/ACB=90°BDXACDBC+ZACB=90°2=/DBC：/BAC=2/DBC（方法二）过A作AEXBC于E（过程略）（方法三）取BC中点E,连结AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC中，AB=AC,D为BC中点，DE，AB于E,DF，AC于F,求证：DE=DF证明：连结AD.D为BC中点，BD=CD又;AB=ACAD平分/BACDELAB,DFXACDE=DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC中，AB=AC,在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE=AF,求证：E

23、FXBC证明：延长BE至IN,使AN=AB,连结CN,贝UAB=AN=AC：/B=/ACB,/ACN=/ANCzB+ZACB+ZACN+/ANC=180°.2/BCA+2ZACN=180°BCA+/ACN=90°即/BCN=90°NCXBCAE=AFAEF=/AFE又/BAC=/AEF+/AFE/BAC=/ACN+/ANC：/BAC=2/AEF=2/ANCAEF=/ANCEF/NCEFXBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC延长线上，且BD=CE,连结DE交BC于F求证：DF=EF证明：（证

24、法一）过D作DN/AE,交BC于N,则/DNB=/ACB,/NDE=ZE,-.AB=AC,：/B=/ACBB=/DNB：BD=DN又;BD=CE2 .DN=EC在DNF和ECF中/1=/2/NDF=/EDN=EC3 ADNFAECF4 .DF=EF（证法二）过E作EM/AB交BC延长线于M,则/EMB=/B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC中，AB=AC,E在AC上，D在BA延长线上，且AD=AE,连结DE求证：DELBC证明：（证法一）过点E作EF/BC交AB于F,则/AFE=/B/AEF=/CAB=ACB=/CAFE=/AEF-.AD=AEAED=/ADE又

25、,/AFE+/AEF+/AED+/ADE=180°：2/AEF+2/AED=90°即/FED=90°DE±FE又:EF/BCDE±BC（证法二）过点D作DN/BC交CA的延长线于N,（过程略）（证法三）过点A作AM/BC交DE于M,（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图，4ABC中，AB=AC,/BAC=80°,P为形内一点，若/PBC=10°/PCB=30°求/PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE贝U/BAE=/ABE=60°AE=AB=BE .AB

26、=AC .AE=AC/ABC=ZACBAEC=/ACE ZEAC=/BAC/BAE=80°-60°=20° ./ACE=1(180。-/EAC)=8002ZACB=1(1800-/BAC)=5002ZBCE=/ACE/ACB=80°50。=30o ZPCB=30oPCB=/BCE /ABC=/ACB=50。，/ABE=600EBC=/ABE/ABC=600-50o=100 ZPBC=100PBC=/EBC在PBC和EBC中/PBC=/EBCBC=BC/PCB=/BCEAPBCAEBC .BP=BE .AB=BE .AB=BPBAP=/BPA:/ABP=/

27、ABC-ZPBC=500100=400.丁Illi'I ./PAB=工(1800/ABP)=7002解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以BC为一边作等边三角形BCE,连结AE,则EB=EC=BC,/BEC=/EBC=600 .EB=EC .E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上 EA所在的直线是BC的中垂线EAXBC/AEB=1ZBEC=300=/PCB2由解法一知：/ABC=500 ./ABE=/EBC/ABC=100=/PBC :/ABE=/PBC,BE=BC,/AEB=/PCB AABEAPBC .AB=BPBAP=/BPA ,/ABP=/ABC-ZPBC=5

28、00100=400 /PAB=1(1800-ABP)=1(1800-400)=70022规彳t35.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在ABC中，/1=/2,/ABC=2/C,求证：AB+BD=AC证明：延长AB至IE,使BE=BD,连结DE贝U/BED=/BDE ,/ABD=ZE+ZBDE：/ABC=2ZE ,/ABC=2/CE=/C在AED和ACD中/E=/C/1=/2AD=AD AAEDAACD.AC=AEAE=AB+BEAC=AB+BE即AB+BD=AC平分二倍角例：已知，如图，在ABC中，BD，AC于D,/BAC=2/DBC求证：/A

29、BC=ZACB证明：作/BAC的平分线AE交BC于E,则/BAE=/CAE=ZDBCVBDXACZCBD+ZC=90°ZCAE+ZC=90° .ZAEC=180°-ZCAE-ZC=90°AEXBCZABC+ZBAE=90°ZCAE+ZC=90°ZBAE=ZCAEZABC=ZACB加倍小角例：已知，如图，在ABC中，BDLAC于D,/BAC=2/DBC求证：/ABC=ZACB证明：作/FBD=ZDBC.BF交AC于F（过程略）规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来例：已知，如图，ABC中，AB=AC,/BAC=

30、120°,EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F,交AB于EIIIIIII1求证：BF=一FC2证明：连结AF,贝UAF=BFZB=ZFAB-.AB=ACZB=ZCVZBAC=120°1ZB=ZCZBAC=一（180°/BAC）=30°2ZFAB=30°ZFAC=ZBAC-ZFAB=120°-30°=90°又C=30°i、）II,K1AF=FC21 -BF=FC2练习：已知，如图，在ABC中，/CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM±AB于M,DNXAC延长线于N求证：BM=CN

31、规律37.有垂直时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在ABC中，/B=2/C,求证：CD=AB+BD证明：（一）在CD上截取DE=DB,连结AE,贝UAB=AEZB=ZAEBZB=2ZC ZAEB=2ZC又AEB=ZC+ZEACZC=ZEACAE=CE又CD=DE+CE CD=BD+AB则AF=AC （过2Z C,BD =（二）延长CB至1JF,使DF=DC,连结AF程略）规律38.有中点时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在ABC中，BC=2AB,ZABC=CD求证：ABC为直角三角形证明：过D作DE，BC,交AC于E,连结BE,贝UBE=CE,C=/EBC ,/ABC=2/CZABE=/E

32、BCBC=2AB,BD=CDBD=AB在ABE和DBE中AB=BD/ABE=/EBCBE=BE AABEADBEBAE=/BDE ,/BDE=90oBAE=900即ABC为直角三角形规彳t39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题例：已知，如图，在ABC中，/A=90°,DE为BC的垂直平分线求证：BE2-AE2=AC2证明：连结CE,贝UBE=CE./A=900 AE2+AC2=EC2 .ae2+ac2=be2二!Ii1': .BE2-AE2=AC2练习：已知，如图，在ABC中，/BAC=900,AB=AC,P为BC上一点求证：PB2+PC2=2PA

33、2规彳t40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中例：已知，如图，在ABC中，/B=450,/C=300,AB=J2,求AC的长.解：过A作ADLBC于DB+ZBAD=900,/B=450,/B=/BAD=450,.AD=BD.AB2=AD2+BD2,AB=,2 .AD=1."IJII" /C=300,AD±BC .AC=2AD=2四边形部分规彳t41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半一二例：已知，ABCD的周长为60cm,对角线AC、BD相交于点O,4AOB的周长比BOC的周长多8cm,求这个四边形各边长.解：四边形ABCD为平行四边形

34、AB=CD,AD=CB,AO=CO .AB+CD+DA+CB=60AO+AB+OB-(OB+BC+OC)=8.AB+BC=30,AB-BC=8 .AB=CD=19,BC=AD=11答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm.规彳t42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差(例题如上)规彳t43.有平行线时常作平行线构造平行四边形例：已知，如图，RtAABC,/ACB=900,CDLAB于D,AE平分/CAB交CD于F,过F作FH/AB交BC于H求证：CE=BH证明：过F作FP/BC交AB于P,则四边形FPBH为平行四边形B=/FPA,BH

35、=FP,/ACB=900,CD±AB：/5+/CAB=450,ZB+ZCAB=900：/5=/B：/5=/FPA又/1=/2,AF=AFACAFAPAF.CF=FP./4=/1+/5,/3=Z2+ZBZ3=/4 .CF=CE .CE=BH练习：已知，如图，AB/EF/GH,BE=GC求证：AB=EF+GH规彳t44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段.例：已知，如图，在SBCD中，AB=2BC,M为AB中点求证：CM，DM证明：延长DM、CB交于N 四边形ABCD为平行四边形AD=BC,AD/BCA=/NBA/ADN=/N又;AM=BM.AMDBMNAD=BNBN=BC

36、 .AB=2BC,AM=BM .BM=BC=BN：/1=/2,/3=/N Z1+Z2+Z3+ZN=180°,Z1+Z3=90° CMXDM规彳t45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.如图：OE=OF规彳t46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.如图：SABEC=1SCABCD2规彳t47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半.如图：SAAOB+SADOC=SABOC+SAAOD=SBCD2规彳t48.任意一点与同

37、一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等.如图：AO2+OC2=BO2+DO2规彳t49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形如图：四边形GHMN是矩形（规律45规律49请同学们自己证明）规彳t50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例：已知，如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE=ED,P为对角线BD上一点，PFXBE于F,PGXAD于G求证：PF+PG=AB证明：证法一：过P作PHXAB于H,则四边形AHPG为矩形AH=GPPH/ADADB=/HPBBE=DEEBD=/ADBHPB=/EBD又,：/PFB=/BHP=90°APFBABHPHB=FPA

38、H+HB=PG+PF即AB=PG+PF证法二：延长GP交BC于N,则四边形ABNG为矩形，（证明略）规彳t51.直角三角形常用辅助线方法：作斜边上的高例：已知，如图，若从矢!形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与/BAD的平分线交于点E求证：AC=CE证明：过A作AFXBD,垂足为F,贝UAF/EGFAE=/AEG 四边形ABCD为矩形BAD=900OA=ODBDA=/CAD .AFXBDABD+/ADB=/ABD+/BAF=900BAF=/ADB=/CAD .AE为/BAD的平分线BAE=/DAEBAE/BAF=/DAE/DAC即/FAE=/CAECAE=/AEG .AC=EC作斜边中线，当

39、有下列情况时常作斜边中线：有斜边中点时例：已知，如图，AD、BE是ABC的高，F是DE的中点，G是AB的中点求证：GFXDE证明：连结GE、GDAD、BE是4ABC的高，G是AB的中点GE=1AB,GD=1AB22 .GE=GD .F是DE的中点 GFXDE有和斜边倍分关系的线段时例：已知，如图，在ABC中，D是BC延长线上一点，且DALBA于A,AC=1BD2求证：/ACB=2/B证明：取BD中点E,连结AE,则AE=BE=1BD2：/1=/B.AC=1BD2AC=AEZACB=/2/2=/1+/B2=2/BACB=2/B规彳t52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等例：已

40、知，如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P,作PEXBC于E,作PFXCD于F求证：AP=EF证明：连结AC、PC 四边形ABCD为正方形 BD垂直平分AC,/BCD=900 .AP=CP .PEXBC,PFXCD,/BCD=900:四边形PECF为矩形 .PC=EF：AP=EF规彳t53.有正方形一边中点时常取另一边中点.例：已知，如图，正方形ABCD中，M为AB的中点，MN±MD,BN平分/CBE并交MN于N求证:MD = MN证明:取 AD的中点P,连结PM,则DP = PA = 1 AD2.四边形ABCD为正方形AD = AB, /A = /ABC = 90 0. / 1+

41、/ AMD = 90. / 2+ / AMD = 90, / 1 =/ 2M为AB中点。,又 DM，MN 0AM = MB =. DP = MB1一 AB2AP = AM注意：把M 练习：已知，APM = / AMP = 45 0DPM =1350BN 平分/ CBEZ CBN = 45 0MBN = / MBC + / CBN = 90 0+ 450= 1350即/ DPM = / MBN A DPMA MBNDM = MN改为AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CQ上一点，且 AP = PC + BC求证：/ BAP = 2 / QAD一规彳t

42、54.利用正方形进行旋转变换旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征 公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法.旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形例：已知，如图，在4ABC中，AB = AC ,求证：2AD2 = BD2+ CD2证明：把 ABD绕点A逆时针旋转900得4ACE时，可以把图形的某部分绕相等邻边的中起来，从而为证题创造必要的条件 及正方形中./ BAC = 900, D为BC边上任一点. BD = CE,/ BAC = 90. / DAE = 90/ B = / ACE0 DE2 = AD2 + AE2 = 2AD2 Z B+Z ACB = 9

43、0 0DCE = 900 .CD2+ CE2 = DE2 -2AD2 = BD2+ CD2注意：把 ADC绕点A顺时针旋转900也可，方法同上。练习：已知，如图，在正方形 ABCD中，E为AD上一点，BF平分/ CBE交CD于F 求证：BE = CF +AE规彳t 55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形 .例：如图，在正方形 ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点 求证：AP = AB 证明：延长CF交BA的延长线于 K四边形ABCD为正方形BC = AB = CD = DA / BCD = / D = / BAD = 90 0.E、F分

44、别是CD、DA的中点 .CE = 1CD2 .CE = DFA BCEA CDFCBE = /DCF :/ BCF + Z DCF = 90Z BCF + Z CBE = 90 BEXCF又D =/DAK = 90DF = AF = - AD0 DF = AF / 1=/ 2ACDFAKAF .CD=KABA=KA又;BEXCFAP=AB练习：如图，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC,P在BC上，且AP=CD+CP求证：AQ平分/DAP规彳t56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD/BC,AD=3,AB=4,

45、BC=7求/B的度数解：过A作AE/CD交BC于E,则四边形AECD为平行四边形 .AD=EC,CD=AE .AB=CD=4,AD=3,BC=7 .BE=AE=AB=4.ABE为等边三角形：/B=60o规彳t57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形.例：已知，如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AB=AC,/BAC=900,BD=BC,BD交AC于O求证：CO=CD证明：过A、D分别作AE±BC,DFXBC,垂足分别为E、F则四边形AEFD为矩形AE=DF尸IIAB=AC,AE±BC,/BAC=900,1 .AE=BE=CE=BC,/

46、ACB=4502BC=BD;AE=DF=BD2又;DFXBCDBC=30oBD=BCZBDC=/BCD1=(1800/DBC)2=75o ZDOC=/DBC+/ACB=30o+45o=75oBDC=/DOC .CO=CD规彳t58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD/BC,AC±BD,AD+BC=10,DE，BC于E求DE的长.解：过D作DF/AC,交BC的延长线于F,则四边形ACFD为平行四边形 .AC=DF,AD=CF 四边形ABCD为等腰梯形 .AC=DB：BD=FD.DEXBC .BE=EF=1BF2=

47、1(BC+CF)=1(BC+AD)221=X10=52.AC/DF,BDLACBDXDF-.BE=FE.DE=BE=EF=-BF=52答：DE的长为5.规彳t59.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形例：已知，如图，在四边形ABCD中，有AB=DC,/B=/C,AD<BC求证：四边形ABCD等腰梯形证明：延长BA、CD,它们交于点E/B=/CEB=EC又;AB=DCAE=DEEAD=/EDA /E+ZEAD+/EDA=1800/B+/C+/E=1800EAD=/BAD/BCA>BC,/B=/C:四边形ABCD等腰梯形（此题还可以过一顶点作AB或CD的平行线；也可以过A、D

48、作BC的垂线）规彳t60.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形例：已知，如图，梯形 ABCD中，AD / 求证：S梯形ABCD = EF AB 证明：过E作MN / AB ,交AD .EFXAB SSBNM = AB EF . AD / BCM = /MNC又DE = CE /1 =/2 A CENA DEM SACEN = SA DEM .S梯形ABCD = S五边形BC, E 为 CD 中点，EFXAB 于 F的延长线于M,交BC于N,则四边形ABNM为平行四边形ABNED + SACEN = S 五边形 ABNED +SADEM=S梯形ABCD=EF-AB

49、规彳t61.有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形例：已知，如图，直角梯形ABCD中，AD/BC,ABLAD于A,DE=EC=BC求证：/AEC=3/DAE证明：连结BE并延长交AD的延长线于N AD/BC：/3=/N又/1=/2ED=EC ADENACEB.BE=ENDN=BCAB±AD.AE=EN=BE./N=/DAE./AEB=/N+/DAE=2/DAEDE=BC.DE=DN./N=/1./1=/2BC=DN/N=/DAE：/2=/DAEAEB+Z2=2/DAE+/DAE即/AEC=3/DAE规彳t62.梯形有底的中点时，常过

50、中点做两腰的平行线例：已知，如图,求证：/证明：过梯形ABCD中，AD/BC,AD<BC,E、F分别是AD、BC的中点，且EFXBCB=/CE作EM/AB,EN/CD,交BC于M、N,贝U得匚ABME,匚NCDEAE=BM,AB/=EM,DE=CN,CD=NEAE=DEBM=CN又;BF=CFFM=FN又;EFXBCEM=EN：/1=/2.AB/EM,CD/ENZ1=/B/2=/CB=/C规彳t63.任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半例：已知，如图，梯形ABCD中，AD/BC,AC与BD交于O,且ACBD,AC=4,BD=3.4,求梯形ABCD的面积.解：AC

51、XBD1SAABD=AO,BD2SABCD=1C0-BD2：S梯形ABCD=SAABD+SABCD=1A0-BD+1C0-BD22'i/111=（AO+CO）BD2./,%I1即S梯形ABCD=1AC-BD=>4X3.422=6.8答：梯形ABCD面积为6.8.规彳t64.有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题例:已知：ABC中，D为AB中点，E为BC的三等分点，（BE>CE）AE、CD交于点F求证：F为CD的中点证明：过D作DN/AE交BC于N.D为AB中点 .BN=EN又丁E为BC的三等分点 .BN=EN=CE DN/AE,j .F为CD的中点

52、规彳t65.有下列情况时常作三角形中位线.有一边中点；有线段倍分关系；有两边（或两边以上）中点.例：如图，AE为正方形ABCD中/BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E,AC、BD相交于O求证：OF=CE2证明：取AE的中点N,连结ON,则ONACE的中位线.ON/CE,ON=1CE2 /6=/ONE 四边形ABCD为正方形 "3=/4=45o /5=/3+/1,/6=/4+/2/1=/2 /5=/6 /6=/ONEZONE=/5.ON=OFof=1ce2规彳t66.有下列情况时常构造梯形中位线有一腰中点有两腰中点涉及梯形上、下底和例1:已知，如图，梯形ABCD中，AD/BC,

53、/DAB=90o,E为CD的中点，连结AE、BE求证：AE=BE证明：取AB的中点F,连结EF,则EF/ADDAB=/EFB=90o EFLAB二EF为AB的中垂线AE=BE垂线 AA、BB、CC、DD ,例2:从aBCD的顶点ABCD向形外的任意直线MN引垂足分别为A'、B'、C、D求证：AA+CC=BB'+DD证明：连结AC、BD,它们交于点°,过。作OELMN于E,贝UAA/OE/CC四边形ABCD为平行四边形A°=CO：A'E=C'E：AA+CC=2OE同理可证：BB+DD=2OE：AA+CC=BB'+DD规彳t67.连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形规彳t68.连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形规彳t69.连结对角线互相垂直的四边形各边