第四节一阶线性微分方程7-4ppt课件

1、第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 教学内容教学内容 1 一阶线性方程的定义一阶线性方程的定义 2 一阶线性方程的解法一阶线性方程的解法教学重点教学重点 一阶线性方程的解法一阶线性方程的解法本节考研要求本节考研要求 掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程利方程)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当一、线性方程一、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy

2、, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法使用分离变量法)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐

3、次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换. .),()(xyxu原原未未知知函函数数新新未未知知函函数数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(

4、dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解即非齐次线性方程即非齐次线性方程).()(xQyxPdxdy 用常数变易法因变量代换）：用常数变易法因变量代换）： dxxPexuy)()(为非齐次线性方程的解为非齐次线性方程的解)()()()()()()()()(xQexuxPxPexuexudxxPdxxPdxxP 即即)()()(xQexudxxP dxxPexQxu)()()(CdxexQxudxxP )()()(. 0 sin1 的的特特解解满满足足求求 xyxxyxy,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxex

5、xeCxydxxdxx11sin);( Cdxexxexx|ln|ln|sin解解例例1 1 Cdxxxxx|sin|1 Cxdxxsin1 .cos1Cxx Cdxxxxx|sin|1由由所求特解所求特解 C cos101 C .cos11)(xxxy 2222 1 20sin 2 2dyxxyyydxdyxyxdxy例题 03 211xf xf tdtf xf x例题 设函数可微，且满足求由由题题设设，有有两边求导两边求导, 得得)(3)(2xfxxf 解解解此微分方程：解此微分方程：xyoxPQ3xy )(xfy )()(30 xfxdxxfx 23xyy 是是 )(xf的的解解。*例例

6、4 如下图，平行与如下图，平行与 y 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线y=f (x) 与与 y=x3 截下的线段截下的线段PQ 之长等于阴影部分之长等于阴影部分的面积的面积, 求曲线求曲线 y=f (x) .23xyy 解此微分方程：解此微分方程：);(CxyxCexx 6632, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyxxyoxPQ3xy )(xfy 23xyy Cdxexedxdx23伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方

7、程为非线性微分方程方程.二、伯努利方程二、伯努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程. .,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxd

8、xdz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解解，得得两两端端除除以以y例例 3例例4 4 解微分方解微分方程程.xexyyyx2222 解解变形为变形为,2)1(1yyz 令令,dxdyydxdz2 则则,xexzdxdzx22 原方程化为原方程化为 222Cdxexeezxdxxxdx 解解之之，得得所求通解为所求通解为).2(22Cxex 1221 yxexyyx方方程程）（Bernoulli).2(222Cxeyx 求解微分方程的基本方法：求解微分方程的基本方法：例例5 5*解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则原方程化为原方程化为，21udxdu ,arctanCxu 解解得得得得代代回回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 利用变量代换将所利用变量代换将所求微分方程化为会解的微分方程。求微分方程化为会解的微分方程。. )( 2的的通通解解求求yxdxdy *例例7 解微分方程解微分方程.)(sin12xyxyxdxdy 解解,xyz 令令, dxdyxydxdz 则则,)(sin1)(1 22xzzxxzdxdzx 原方程化为原方程化为,42sin2Cxzz 由分离变量法得由分离变量法得,代回代回将将xyz 得所求通解为得