2020高考理数(新课标版)总复习教学案第4章第2节平面向量的基本定理及坐标表示

1、1第二节 平面向量的基本定理及坐标表示考纲传真1.了解平面向量的基本定理及其意义 2 掌握平面向量的正交分 解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4 理解用坐标 表示的平面向量共线的条件.1. 平面向量基本定理(1) 定理：如果 e ei, e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任意向量a,有且只有一对实数 入，乩使a=_4土_芟.(2) 基底：不共线的向量 e ei, e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i i, j j 作 为基底，该平面内的

2、任一向量 a a 可表示成 a a = xi i + yj j,由于 a a 与数对(x, y)是一一 对应的，把有序数对(x, y)叫做向量 a a 的坐标，记作 a a= (x, y),其中 a a 在 x 轴上 的坐标是 x,a a 在 y 轴上的坐标是 y.3. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模设 a a= (X1, y1), b b= (X2, y2),贝 Ua a+ b b= (x1+ x2, y1+ y2), a a-b b= (x1-x2, V1-y2),=(入一x入y,|a a |=7x1+y2.(2) 向量坐标的求法1若向量的起点是坐标原点，则终点坐

3、标即为向量的坐标.2设 A(X1, y1),B(X2,y2),则 AB= (x? X1, yg y),_AB|=7(x2.4.平面向量共线的坐标表示课刖知识全通关夯实基础*拒除盲点2设 a= (xi, yi), b b=(X2, y2),其中O.a a, b b 共线？xiy2 X2yi= 0.常用结论1.若 a a 与 b b 不共线，且 2a+ b= 0,贝 U 匸尸 0.2.已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(xi, yi), B(X2, y2)，则 P 点坐标为基础自测1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 平面内的任何两个向量都可以作为一组基

4、底.()(2) 若 a a, b b 不共线，且2ia a+ 询=泅+比 b b,贝U入=力，小=肱()(3) 相等向量的坐标相同.()(4) 若 a a= (Xi, yi), b b= (X2, y2)，则 a a/ b b 的充要条件可以表示成三.()2 2答案(i)x V VX2.已知平面向量a a= (2, i), b b= (i,3)，那么|a a+ b b|等于()A.5B. i3C. , i7 D. i3B B 因为 a a+ b b= (2, i)+ (i,3) = (3,2),所以 |a a+ b b|=32+ 2 乞 i3.3.如图，在 ABC 中，BE 是边 AC 的中线

5、，O 是边 BE 的中点，若 AB = a a,AC= b b,贝 U AO=()1 1/X1+ X2I2、yi+ y22 ;已知 ABC 的顶点A(XI, yi), B(X2, y2), C(X3, y3),U ABC的重心 G 的坐标为fXi+ X2+ X3yi+ y2+ y33j3A.a a+ b bc 1 JBqa a+ 3b b4c 11C. &a a+ qb b1 1D. qa a+ 4b b 1 1 D D A0= AB+ B0= AB+ qBE = AB+q(AEAB)=AB+2AE=AB +4AC=2a a + 缶,故选 D.4._ (教材改编)已知 A( 2, 3)

6、, B(2,1), C(1,4), D( 7, t),若 AB 与 CD 共 线，则 t= . 4 4 AB= (4,4), CD = ( 8, t 4), 由 AB/ CD 得 4(t 4)= 32,解得 t=4.5.(教材改编)已知?ABCD 的顶点 A( 1, 2), B(3, 1), C(5,6)，则顶点D 的坐标为_ . (1,5)设 D(x, y),则由 AB= DC ,得(4,1) = (5 x,6 y),4= 5 x,x= 1,即解得1=6y,y=5.平面向量基本定理及其应1题型1丨用1.在下列向量组中，可以把向量 a a= (3,2)表示出来的是()A.e e1= (0,0)

7、, e e2= (1,2)B.e e1= ( 1,2), e e2= (5, 2)C. e e1= (3,5), e e2= (6,10)D. e e1= (2, 3), e e2= ( 2,3)B B 当 e e1与 e e2不共线时，可表示 a a.课堂题型全突破孝点全面5当 e ei= (- 1,2), e e2= (5, 2)时，(一 1)X(-2)丰5X2,因此 e ei与 e 不共线，故选 B.1 12. 在ABC 中, P, Q 分别是 AB, BC 的三等分点，且 AP = 3AB, BQ=3BC, 若 AB= a a, AC = b,b,则 PQ=()1 1A.a a+ 3b

8、 b11B.3a+3b1 tC3a3b1 vD.3a3b 2 1 2 11 1 A A 由题意知 PQ= PB+ BQ =3AB+BC = 3AB + 3(AC-AB) =3AB + AC= 1 13a a + 3b b.故选 A.C. e e1 3e e2C C 根据向量的减法和加法的三角形法则知 a a b b= e e1 3e e2,故选 C.规律方法平面向量基本定理应用的实质和一般思路1 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形 法则进行向量的加、减或数乘运算.2 用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底 将条件和结论表示成向量的形式，再通过

9、向量的运算来解决.3.如图，向量 a a- b b 等于（A. 4e e12e e2D. 3e e1 e e26易错警示：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.7平面向量的坐标运1 题型 2in算(1)已知 a a= (5，-2), b b= (-4, 3),若 a a 2b b+ 3c c= 0,则 c c 等(2)已知向量 a a= (2,1), b b= (1, 2).若 ma a+ nb b= (9, 8)(m, n R R)，则 mn 的值为_.(3) 平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0), B(0,1), C( 1,

10、 c), (c0),且|OC 匸 2,若 OC= QA+ QB,则实数 +卩的值为_.(1 1)D D (2 2) 3 3 (3 3) 3 3 1 1(1)由已知 3c c= a a + 2b b二(5,2)+ ( 8, 6)= ( 13, 4).所以c=詈，4-(2)由向量 a a= (2,1), b b= (1, 2),得 ma a+ nb b= (2m+ n, m 2n) = (9, 8),2m+ n = 9.则m 2n= 8,im=2, 解得n = 5, (3) 因为 O C 匸 2,所以|OCf= 1 + c2= 4,因为 c 0,所以 c= . 3因为 OC= QA+ QB,所以(

11、1, .3)= %1,0) +(J(0,1),所以入=1,尸习 3,所以 + 尸.31.【例1】A. 1,C.普,4故 m n= 3.8规律方法平面向量坐标运算的技巧1 利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点 的坐标，则应先求向量的坐标.2 解题过程中，常利用“向量相等，贝 U U 坐标相同”这一结论，由此可列方 程组进行求解 跟踪练习 已知 A( 2,4), B(3, 1)，C( 3, 4).设 AB = a a，BC= b b，CA =c,c,且 CM = 3c c，CN= 2b,b,(1) 求 3a a+ b b 3c c；(2) 求满足 a a= mb b+ n

12、c c 的实数 m, n；求 M , N 的坐标及向量 MN 的坐标.解由已知得 a a= (5, 5), b b= ( 6, 3), c c= (1,8).(1)3a a+ b b 3c c= 3(5, 5)+ ( 6, 3) 3(1,8)=(15 6 3, 15 3 24)= (6, 42).(2)vmb b+nc c=(6m+n,3m+8n),6m+ n = 5,m= 1,f解得 i3m+ 8n = 5,n = 1. 设 O 为坐标原点.vCM = OM OC = 3c c, OM = 3c c+ OC= (3,24)+ ( 3, 4) = (0,20). M(0,20). 又vCN=

13、ON OC= 2b b, ON= 2b b+ OC= (12,6)+ ( 3, 4) =(9,2), N(9,2),二 MN = (9, 18).91題型3|平面向量共线的坐标表示【例 2】 已知 a a= (1,0), b b= (2,1).当 k 为何值时，ka a b b 与 a a+ 2b b 共线？ 若 AB= 2a a + 3b b, BC = a a+ mb b 且 A, B, C 三点共线，求 m 的值.解(1)ka a b b= k(1,0) (2,1)= (k 2, 1),a a + 2b b= (1,0)+ 2(2,1)= (5,2). ka a b b 与 a a+ 2

14、b b 共线，二 2(k 2) ( 1)x5 = 0, 即卩 2k4+ 5= 0,得 k=1-2. (2)法一：A, B, C 三点共线，二 AB=；BC,2=入即 2a a + 3b b=2(a a+ mb b),3= m 入3 解得 m=法二：AB= 2a a + 3b b= 2(1,0)+ 3(2,1) = (8,3),BC = a a+ mb b= (1,0)+ m(2,1)= (2m + 1, m). A, B, C 三点共线，-AB/ BC.-8m 3(2m+ 1)= 0, 即卩 2m 3 = 0,3-m=夕规律方法平面向量共线的坐标表示冋题的常见类型及解题策略1 利用两向量共线求

15、参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a a= x1, y1, b b= x2, y2，则 a a / b b 的充要条件是 X1y2= X2y1”解题比较方便102 利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量 a a 共线的向量时，可设所求向量为恥R)，然后结合其他条件列出关于 入的方程，求 出入的值后代入即可得到所求的向量.1. (2015 全国卷I)已知点 A(0,1), B(3,2),向量 AC= ( 4, 3),则向量 BC二()A. ( 7, 4)B. (7,4)跟踪练习(1)(2019 沈阳模拟)已知平面向量a a= (1，m)，b b= (-3

16、,1)且(2a a+b b)/ b,b,则实数 m 的值为()A1c1(2)已知向量 OA= (1， 3)， OB= (2，- 1)，OC = (k+ 1，k 2)，若 A，B，C 三点能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是 _.(1 1)B B (2 2 沐工 1 (1)2 a a+ b b= ( 1,2m+ 1),由题意知13(2m+ 1)= 1,解得 m= 3,故选 B.(2)若点 A，B，C 能构成三角形,则向量 AB, AC 不共线. 因为 AB= OB OA= (2, 1) (1, 3)= (1,2), AC = OC OA= (k+ 1, k2) (1, 3) = (k, k+ 1),所以 1X(k+ 1) 2k0,解得 kM1.真题自主验效果近年哮題感悟规律11C. ( 1,4)D. (1,4)A A 法一：设 C(x, y),则 AC= (x, y 1)= (-4, 3),x= 4,T所以 S从而 BC= ( 4, 2) (3,2)= ( 7, 4) 故选 A.尸-2,法二：AB= (3,2) (0,1)= (3,1),T T TBC=ACAB=(4,3)(3,1)=(7,4)