根据系统的输入输出关系建立状态空间模型ppt课件

1、Ch.2 Ch.2 控制系统的状态空间控制系统的状态空间模型模型目录(1/1)目目 录录概述概述2.1 状态和状态空间模型状态和状态空间模型2.2 根据系统机理建立状态空间模型根据系统机理建立状态空间模型2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空根据系统的输入输出关系建立状态空间模型间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范状态空间模型的线性变换和约旦规范型型2.5 传递函数阵传递函数阵2.6 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题问题 本章小结本章小结根据系统的输入输出关系建立状态空间模型根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(1/2)(1/2)2

2、.3 根据系统的输入输出关系建立状态空根据系统的输入输出关系建立状态空间模型间模型本节讨论由描述线性定常系统输入输出本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶常微分方程与传递间动态特性的高阶常微分方程与传递函数函数,通过选择适当的状态变量分别建通过选择适当的状态变量分别建立系统的状态空间模型。立系统的状态空间模型。这样的问题称为系统的实现问题。这样的问题称为系统的实现问题。这种变换过程的原则是这种变换过程的原则是,不管状态变量如不管状态变量如何选择何选择,应保持系统输入输出间的动态应保持系统输入输出间的动态和静态关系不变。和静态关系不变。 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型根据系统

3、的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)(2/2)q 本节的内容为：本节的内容为：q 由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型q 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型q 多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统q 非线性系统非线性系统由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1)2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论分别讨论由不含输入量导数项和由

4、不含输入量导数项和由含输入量导数项的由含输入量导数项的微分方程建立状态空间模型。微分方程建立状态空间模型。本节关键问题本节关键问题:如何选择状态变量如何选择状态变量保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变关键喔关键喔!微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)1. 微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为方程为y(n)+a1y(n

5、-1)+any=bu其中其中y和和u分别为系统的输出和输入分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。为系统的阶次。这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型状态空间模型ABCDxxuyxu 本节问题的关键是如何选择状态变量。本节问题的关键是如何选择状态变量。微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(2/9)q 由微分方程理论知由微分方程理论知,若初始时刻若初始时刻t0的初值的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0)知知,则对给定的输入则对给定的输入u(t),

6、微分方程微分方程(2-6)有唯一解有唯一解,也即系统在也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯的任何瞬时的动态都被唯一确定。一确定。q 因此因此,选择状态变量为如下相变量选择状态变量为如下相变量q x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)q 可完全刻划系统的动态特性。可完全刻划系统的动态特性。q 取输出取输出y和和y的各阶导数的各阶导数(也称相变量也称相变量)为状态变量为状态变量,物理意义物理意义明确明确,易于接受。易于接受。微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)q 将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程将上述选择的

7、状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下有如下状态方程状态方程12111.nnnnnxxxxxa xa xbu和输出方程和输出方程y=x1y=x1微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)q 将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有12101000001000000101000nnnaaaab xxuyx12. , nx xxuyxuy其中和。微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)q 该状态空间模型可简记为该状态空间模型可简记为: :其中其中ABCxxuyx0.01 0.0-.-1.00.0.101

8、1CbBaaaAnn微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)q 上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方与微分方程程(2-6)中的系数中的系数a1, a2, an之间之间,输入矩阵输入矩阵B与方程与方程(2-6)中中系数系数b之间的对应关系。之间的对应关系。q 通常将上述取输出通常将上述取输出y和和y的各阶导数为状态变量称为相变量。的各阶导数为状态变量称为相变量。q 上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最该矩阵的最后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系后一行与

9、其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前前n-1行为行为1个个n-1维的零向量与维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。的单位矩阵。q 该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间分析方法中是一类重要的矩阵分析方法中是一类重要的矩阵,这在后面的章节中可以看到。这在后面的章节中可以看到。微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(7/9)q 上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示 b u -a1 1 -a22 -an-1 -an nx u xn xn-1 x2 x1 y 微分方

10、程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)-例例2-1q 例例2-1 2-1 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型q y”+6y”+11y+6y=6uy”+6y”+11y+6y=6uq 解解 本例中本例中q a1=6 a2=11 a3=6 b=6a1=6 a2=11 a3=6 b=6q 因此因此, ,当选择输出当选择输出y y及其及其1 1阶与阶与2 2阶导数等相变量为状态变量时阶导数等相变量为状态变量时, ,由式由式(2-11)(2-11)和和(2-12)(2-12)可得状态空间模型如下可得状态空间模型如下 010000106

11、1166100 xxuyx微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)-例例2-1其系统结构图如下所示其系统结构图如下所示 6 -6 1 -112 -6 3x u x3 x2 x1 y 微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(1/11)2. 微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为微分方程的一般表达式为y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态本小节所要研究的是建

12、立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型状态空间模型ABCDxxuyxu 建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(2/11)q 若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量, ,即即q x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)q 则可得如下状态方程则可得如下状态方程121( )110

13、.nnnnnnnxxxxxa xa xb ub u 根据微分方程解的存在性和唯一性条件根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入要求输入u(t)为为分段连续分段连续,而上述状态方程中输入而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连的各阶导数可能不连续续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。 因此因此,状态方程中不应有输入状态方程中不应有输入u的导数项出现的导数项出现,即不能直接即不能直接将输出将输出y的各阶导数项取作状态变量。的各阶导数项取作状态变量。微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(3/11)q 为避免状态方程中显

14、示地出现输入的导数为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常通常,q 可利用输出可利用输出y和输入和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量态变量,其原则是其原则是:q 使状态方程中不显含输出使状态方程中不显含输出u的各阶导数。的各阶导数。q 基于这种思路选择状态变量的方法很多基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一种下面先介绍一种,其其他的方法将在后续章节中陆续介绍。他的方法将在后续章节中陆续介绍。微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(4/11)q 根据上述原则根据上述原则, ,选择状态变量如下选择状态变量如下)1(021)1(

15、012301201nnnnnuuuyxuuuyxuuyxuyx 其中其中i(i=0,1,n)i(i=0,1,n)为待定系数。为待定系数。微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(5/11) 因此因此,有有102121032(1)(1)12301( )( )120(1)( )(1)101( )120nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyuxuxyuuxuxyuuuxuxyuuua ya yb ubub uuuu 微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(6/11) 若待定系数若待定系数i(i=0,1,n)满足如下关系式满足如下关系式0=b01=b1-a102

16、=b2-a11-a20 n =bn-a1n-1-an0 即即i(i=0,1,n)满足如下方程组满足如下方程组nnnnnbbbbaaaaaa210210211211010010001微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(7/11)121121001000010000011000nnnnnaaaaxxuyxu12. , nx xxuyxuy其中和。则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的状态空间模型状态空间模型微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(8/11)q 上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图

17、所示上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示 u -a1 -an-1 -an nx xn x1 n u n-1 1 1nx x2 y 0 1x 微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(9/11)-例例2-2q 例例2-2 2-2 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型q y”+5y”+8y+4y=2u”+14u+24uy”+5y”+8y+4y=2u”+14u+24uq 解解 本例中本例中q a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24

18、q 因此因此, ,有有q0=b0=00=b0=0q1=b1-a11=b1-a10=20=2q2=b2-a12=b2-a11-a21-a20 =40 =4q3=b3-a13=b3-a12-a22-a21-a31-a30 =-120 =-12微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(10/11)-例例2-2 因此因此,当选择状态变量如下时当选择状态变量如下时0102001448512100 xxuyx即得系统的状态空间模型为即得系统的状态空间模型为uuyuuuyxuyuuyxyuyx 242012301201微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项(11/11)-例

19、例2-2 其系统结构图如下所示其系统结构图如下所示 u -5 -8 -4 3x x3 x1 -12 u 4 2 2x x2 y 1x 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(1/6)2.3.2 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的状态空间模型。建立系统的状态空间模型。关键问题关键问题: 1. 如何选择状态变量如何选择状态变量2. 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变变喔喔,关键关键!线性定常微分方程由传递函数建立状态空间模型由传递函数

20、建立状态空间模型(2/6)q 由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系,故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。q 类似地类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法亦本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法亦适用于对微分方程建立状态空间模型。适用于对微分方程建立状态空间模型。传递函数机理方法流程图、公式建立状态空间模型方法对线性定常系统拉氏变换由传递函数建立状态空间模型由传递

21、函数建立状态空间模型(3/6)q 实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母多项式阶次多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。此时称该传递函数为真有理传递函数。q 而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真有则称为严格真有理传递函数。理传递函数。q 本节讨论描述单输入单输出本节讨论描述单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动线性系统的输入输出间动态行为的如下传递函数态行为的如下传递函数1010101.( )(0).nnnnnnb sb sbG saa sa sa由传递函数建立状

22、态空间模型由传递函数建立状态空间模型(4/6) 对上述传递函数对上述传递函数,由长除法由长除法,有有101101111000001010.( )././.( )nnnnnnnnnnnnb sb sbG sa sa saba b asba b aba sa saaG sd其中其中000001111.)(aabbbaaaabdasasbsbsGiiiiinnnnn由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(5/6) 本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型状态空间模型(A,B,C,D)(A,B,C,D)。 上述常数项上述

23、常数项d d即为状态空间模型即为状态空间模型(A,B,C,D)(A,B,C,D)中的直联矩中的直联矩阵阵D;D; 严格真有理传递函数严格真有理传递函数G(s)G(s)对应可建立对应可建立(A,B,C,D)(A,B,C,D)中的中的(A,B,C)(A,B,C)。 即即 S G(s) (A,B,C) d D 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(6/6)q 下面分传递函数下面分传递函数q 极点互异和极点互异和q 有重极点有重极点q 两种情况讨论如何建立状态空间模型。两种情况讨论如何建立状态空间模型。传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(1/8)1. 传递函数中极点互

24、异时的变换传递函数中极点互异时的变换对于传递函数对于传递函数G(s),其特征方程为其特征方程为sn+a1sn-1+an=0若其特征方程的若其特征方程的n个特征根个特征根s1,s2,sn互异互异,则用部分则用部分分式法可将分式法可将G(s)表示为如下并联分解表示为如下并联分解 其中其中k1,k2,kn为待定系数为待定系数,其计算公式为其计算公式为11121212.( ).( - )( - ).( - )-nnnnnb sbkkkG ss ss ss ss ss ss sissiisssGk)-)(自己推导自己推导一下一下,行吗行吗?传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(2/8)q

25、 下面以下面以k1计算式的推导过程为例说明的计算式的推导过程为例说明的ki的计算式。的计算式。q 将将G(s)的乘以的乘以s-s1,有有因此因此,由于特征根由于特征根s1,s2,sn互异，有互异，有)-(-.-)-)(12211ssssksskksssGnn1)-)(11sssssGkq 下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。第第2项将项将s1代入为代入为0。传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(3/8)q 考虑到考虑到, ,输出输出y(t)y(t)和输入和输入u(t)u(t)的拉氏变换满足的拉氏变换满足因此因此, ,若

26、选择状态变量若选择状态变量xi(t)xi(t)使其拉氏变换满足使其拉氏变换满足那么那么,经反变换可得系统状态方程为经反变换可得系统状态方程为)(-.)(-)(-)()()(2211sUssksUssksUssksUsGsYnnnisUsssXii,.,2 , 1)(-1)(1,2,.,iiixs xuin传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(4/8)q 相应地相应地, ,系统输出系统输出y(t)y(t)的拉氏变换为的拉氏变换为q Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)q 因此因此, ,经拉氏反变换可得如下

27、输出方程经拉氏反变换可得如下输出方程q y=k1x1+k2x2+knxny=k1x1+k2x2+knxnq 整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型12120.010.01.00.1.nnssskkk xxuyx传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(5/8)q 上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征重要特征,即即A为对角线矩阵。为对角线矩阵。 u xn x1 k1 k2 kn y x2 1 s-s1 1 s-s2 1 s-sn 系统矩阵系统矩阵A具有上述

28、对角线具有上述对角线形式的状态空间模型即为形式的状态空间模型即为下一节将详细讨论的所谓下一节将详细讨论的所谓对角线规范形。对角线规范形。 事实上事实上,由推导可知由推导可知,对角线对角线规范形其实是将系统转换规范形其实是将系统转换为为n个一阶子系统个一阶子系统(惯性环惯性环节节)的并联的并联,如右图所示。如右图所示。图图2-11 对角线规范形的结构图对角线规范形的结构图传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(6/8)-例例2-3q 例例2-3 2-3 用部分分式法将例用部分分式法将例2-12-1中微分方程对应的下述传递函中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型数变换为状态空

29、间模型322( )6116G ssss传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(7/8)q 解解 由系统特征多项式由系统特征多项式q s3+6s2+11s+6q 可求得系统极点为可求得系统极点为q s1=-1 s2=-2 s3=-3q 于是有于是有332211)(ssksskssksG其中其中112233 ( )(1)1 ( )(2)2 ( )(3)1ssskG s skG s skG s s 传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换(8/8)q 故当选择状态变量为故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出的输出, 可得

30、如下状态空间模型可得如下状态空间模型100102010031 121 xxuyxq 将上述结果与例将上述结果与例2-1的结果相比较可知的结果相比较可知,即使对同一个系统即使对同一个系统,采采用不同的建立状态空间模型的方法用不同的建立状态空间模型的方法,将得到不同的状态空间模将得到不同的状态空间模型。型。q 即即,状态空间模型不具有唯一性。状态空间模型不具有唯一性。传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(1/13)2. 传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换当系统特征方程有重根时当系统特征方程有重根时,传递函数不能分解成如式传递函数不能分解成如式nnssksskssk

31、sG-.-)(2211的情况的情况,亦得不到如式亦得不到如式(2-26)所示的状态方程。所示的状态方程。不失一般性不失一般性,为清楚地叙述变换方法为清楚地叙述变换方法,以下设系统特征方程有以下设系统特征方程有6个根个根,其值分别为其值分别为s1,s1,s1,s4,s5,s5,即即s1为为3重极点重极点,s5为为2重极点。重极点。相应地相应地,用部分分式法可将所对应的传递函数表示为用部分分式法可将所对应的传递函数表示为传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(2/13)其中其中kijkij为待定系数为待定系数, ,其计算公式为其计算公式为55225514411132112311125

32、4315451-)-(-)-()-()-)(-()-(.)(ssksskssksskssksskssssssbsbsbsGljsssGsjkisslijjij,.,2 , 1)-)(dd)!1-(11 -1 -会推导吗会推导吗?尝试一下尝试一下其中其中l l为极点为极点si si的重数。的重数。传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(3/13)q 下面以系数下面以系数k13k13的计算公式的推导为例来说明的计算公式的推导为例来说明kijkij的计算式的计算式q 将将G(s)G(s)的乘以的乘以(s-s1)3 ,(s-s1)3 ,有有32111121131351524112455(

33、 )( - )( - )( - )( - )-( - )-G s s skks sks skkks ss ss ss s12313121 d ( )( - ) 2!ds skG s s ss第第2项将项将s1代入为代入为0。 对等式两边求对等式两边求2次导数后次导数后22335152411131222455dd( )( - )2( - )dd-( - )-kkkG s s sks ssss ss ss s 因此，有因此，有传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(4/13)q 下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。q 如何选

34、择状态变量如何选择状态变量?q 考虑到考虑到,输出输出y(t)和输入和输入u(t)的拉氏变换满足的拉氏变换满足)(-)()-()(-)(-)()-()()-()()()(552255144111321123111sUssksUssksUssksUssksUssksUssksUsGsY传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(5/13)q 选择状态变量选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足使其拉氏变换满足)(-1)()()-(1)()(-1)()(-1)()()-(1)()()-(1)(562554413212311sUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUsssXsUss

35、sX 则有则有)(-1)()-(1-1)(212111sXsssUsssssX传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(6/13)即有即有 则经反变换可得系统状态方程为则经反变换可得系统状态方程为122331114456655111( )( )( )( )( )( )-1( )( )-11( )( )( )( )-X sXsXsXsXsU ss ss ss sXsU ss sXsXsXsU ss ss s111221233134445556656xs xxxs xxxs xuxs xuxs xxxs xu传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(7/13)q 相应地相应

36、地, ,系统输出系统输出y(t)y(t)的拉氏变换为的拉氏变换为q Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k5Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)2X6(s)q 经拉氏反变换可得如下输出方程经拉氏反变换可得如下输出方程q y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(8/13)q 因此因此, ,整理可

37、得如下矩阵描述的状态空间模型整理可得如下矩阵描述的状态空间模型111455111213415152101011101sssssskkkkkk xxuyx传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(9/13)q 上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征重要特征,即即A为块对角矩阵为块对角矩阵,且每个矩阵方块为只有一个重且每个矩阵方块为只有一个重特征值的特定矩阵块特征值的特定矩阵块(约旦块约旦块)。q 系统矩阵系统矩阵A具有上述特定块对角形式的状态空间模型即为下具有上述特定块对角形式的状态空间模型即为下一节将详细讨论

38、的所谓约旦规范形。一节将详细讨论的所谓约旦规范形。q 事实上事实上, 约旦规范形是将系统转换为多个子系统约旦规范形是将系统转换为多个子系统(惯性环节惯性环节)的的串串-并联。并联。q 如下图所示。如下图所示。传递函数中有重极点时的变换(10/13) 1 s-s1 x3 x6 x5 x4 x2 x1 k11 k12 k13 k41 k52 k51 u y 1 s-s5 1 s-s5 1 s-s4 1 s-s1 1 s-s1 传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(11/13)-例例2-4q 例例2-4 用部分分式法将例用部分分式法将例2-2中微分方程对应的下述传递函数中微分方程对应

39、的下述传递函数变换为状态空间模型变换为状态空间模型48524142)(232ssssssG传递函数中有重极点时的变换(12/13)q 解解 由系统特征多项式由系统特征多项式q s3+5s2+8s+4s3+5s2+8s+4q 可求得系统有二重极点可求得系统有二重极点s1=-2s1=-2和单极点和单极点s2=-1,s2=-1,于是有于是有3311122111)()(ssksskssksG其中12)1)(10)2)(dd4)2)ssssGkssGskssGk传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换(13/13)q 故当选择状态变量为故当选择状态变量为G(s)G(

40、s)分式串分式串- -并联分解的各个一阶惯性并联分解的各个一阶惯性环节的输出环节的输出, ,可得如下状态空间模型可得如下状态空间模型q 将上述结果与例将上述结果与例2-2的结果相比较可知的结果相比较可知,可再次验证可再次验证“状态空状态空间模型不具有唯一性间模型不具有唯一性”。210002010011 41012 xxuyx多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(1/5)2.3.3 多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统下面下面,以双输入双输出的三阶系统为例介绍由以双输入双输出的三阶系统为例介绍由描述描述MIMO系统的高阶微分方程组如何建立系统的高阶微分方程组如何建立状态空间模型。状态空间

41、模型。设描述系统的微分方程为设描述系统的微分方程为 241423223121122111ubyayayubububyayay q 同同SISO系统一样系统一样,该系统的实现也是非唯一的。该系统的实现也是非唯一的。q 下面采用模拟结构图的方法下面采用模拟结构图的方法,按高阶导数项求解方法来建立按高阶导数项求解方法来建立状态空间模型。状态空间模型。多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(2/5) 因此因此,该系统的方程也可表示为该系统的方程也可表示为241423223121122111ubyayayubububyayay 对每一个方程积分对每一个方程积分,直至消除导数符号为止。直至消除导数符号为

42、止。 为此为此,有有21111 12221322111 12132222324142()d()d()d()ya ybua yb ub uta ybutb ub ua ytya ya yb u dt多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(3/5) 故可得模拟结构图故可得模拟结构图,如图如图2-13所示。所示。图图2-13 系统模拟结构图系统模拟结构图多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(4/5) 取每个积分器的输出为一个状态变量取每个积分器的输出为一个状态变量,如图如图2-13所示。所示。则式则式(2-33)的一种状态空间实现为的一种状态空间实现为相应地输出方程为相应地输出方程为24331

43、432312322112111ubxaxaxububxaxubxxax1123yxyx多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(5/5) 因此因此,该双输入双输出系统的矩阵形式状态空间模型为该双输入双输出系统的矩阵形式状态空间模型为1111122223234334112231000000100001xaxbuxaxbbuxaaxbxyxyx非线性系统非线性系统(1/10)2.3.4 非线性系统非线性系统倒立摆系统是一个多变量、存在严重非线性的倒立摆系统是一个多变量、存在严重非线性的非自治不稳定性系统非自治不稳定性系统,经常被用来研究和比较经常被用来研究和比较各种控制方法的性能。各种控制方法的性

44、能。其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处运动等有很多相似之处,因而对倒立摆系统平因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途泛的用途,人们对倒立摆控制的研究也越来越人们对倒立摆控制的研究也越来越感兴趣。感兴趣。下面通过一个一级倒立摆的例子下面通过一个一级倒立摆的例子,来简述对非线来简述对非线性系统来说性系统来说,如何通过描述其动力学模型的常如何通过描述其动力学模型的常微分方程建立状态空间模型。微分方程建立状态空间模型。非线性系统非线性系统(2/10)q 图图2-14为某一级

45、倒立摆结构示意图。为某一级倒立摆结构示意图。图图2-14 一级倒立摆示意图一级倒立摆示意图非线性系统非线性系统(3/10) 图中所示的带轮小车可以前图中所示的带轮小车可以前后移动来平衡一根杆后移动来平衡一根杆,此杆此杆由其底部的一个支点来支撑。由其底部的一个支点来支撑。 该系统中还有一个电机该系统中还有一个电机,一一根连接电机与小车的皮带和根连接电机与小车的皮带和一些滑轮。一些滑轮。 还有一些传感器还有一些传感器,用来测量小车的速度、位置、杆底部与用来测量小车的速度、位置、杆底部与铅垂线所成的角度及其微分。铅垂线所成的角度及其微分。 其控制任务是由电机通过皮带施加合适的力其控制任务是由电机通过皮带施加合适的力f给小车从而给小车从而使杆不倒使杆不倒,并使小车不超过左右边界。并使小车不超过左右边界。 一级倒立摆有两个运动自由度一级倒立摆有两个运动自由度,一个沿水平方向运动一个沿水平方向运动,另另一个绕轴转动。一个绕轴转动。非线性系统非线性系统(4/10)q 解解 通过对滑轮小车和摆竿的受通过对滑轮小车和摆竿的受力分析和推导力分析和推导,且忽略交流电机且忽略交流电机的动特性并且假设交流电机由的动特性并且假设交流电机由u到到f的静态增益为的静态增益为1,得到倒立摆得到倒立摆系统的动力学描述如下系