独立性与贝努里概型ppt课件

1、第第 一一 章章事 件 与 概 率1.6 独立性主要内容主要内容一、独立性的概念 二、独立性的性质二、独立性的性质三、独立性的运用三、独立性的运用1、独立性的概念 引例 设袋中有五个球三绿两红每次从中取一个，有放回地取两次，记A=第一次获得绿球， B=第二次获得绿球求：解解 显然 ( )P A ( )P B ()P B A ()( )(),P B AP BP B A( ), ( ), (), ().P A P B P B A P B A一、事件的独立性()P B A ()( ) ()( ) ( ).P ABP A P B AP A P B3,53,53,53,5 事件 B 发生与否不受事件 A

2、能否发生的影响，可视为事件A 与 B 相互独立()( ) ( )P ABP A P B定义定义 那么称事件对恣意的两个事件A，B，假设()( ) ( ),P ABP A P B 由于必然事件与不能够事件的发生与否，确实不受任何事件的影响，也不影响其它事件能否发生,A B是相互独立的，简称为独立的 注 必然事件、不能够事件与任何事件都相互独立的.2 独立与互不相容的关系独立与互不相容的关系两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互不相容两事件互不相容 AB二者之间没二者之间没有必然联络有必然联络两事件相互独立两事件相互独立两事件互不相容两事件互不相容. .两事件相互独立两事

3、件相互独立. .两事件互不相容两事件互不相容普通地， 例2 分别掷甲乙两枚均匀的硬币，记A=硬币甲出现正面, B=硬币乙出现正面 ,验证事件A，B是相互独立的证证 现实上，分别掷两枚硬币，硬币甲出现正面与否和硬币乙出现正面与否，相互之间没有影响，因此它们是相互独立的正、正，正、反，A B 反、正，正、正，故 正、正，正、反，反、正，(反、反 ，是相互独立的BA,AB 正、正，11( )( ),()( ) ( ).24P AP BP ABP A P B在实践问题中，人们常用直觉来判别事件间的“相互独立性由于所以A B 例例3 3 一个家庭中有男孩，又有女孩，假定生男孩和生女孩一个家庭中有男孩，又

4、有女孩，假定生男孩和生女孩是等能够的，令是等能够的，令一个家庭中有男孩，又有女孩， 一个家庭中最多有一个女孩 对下述两种情形，讨论A和B的独立性1家庭中有两个小孩 ；2家庭中有三个小孩 解 1有两个小孩的家庭，这时样本空间为： A男,女,女,男，男,女,女.男， B 男,男,男,女,女,男， AB于是P A 由此可知 .P ABP A P B所以 ,A B 不独立=男,男,男,女,女,男 ,女,女，1,2 P B 3,4P AB1.2男,女,女,女,女,男,女,男,女,女,女,女， 2有三个小孩的家庭，样本空间 =男,男,男,男,男,女,男,女,男,女,男,男,.PA BPAPB BPAPAB

5、P,A B显然 ，从而相互独立A 男,男,女,男,女,男,女,男,男,男,女,女,女,女,男,女,男,女， B 男,男,男,男,男,女,男,女,男,女,男,男，AB男,男,女,男,女,男,女,男,男，38638441822) 关系式(1) (2)不能相互推出 ()()(),()()(),()()(),P ABP A P BP ACP A P CP BCP B P C(1)()()()().P ABCP A P B P C(2)2、多个事件的独立性定义2 CBA,设三个事件满足CBA,称相互独立注：1) 仅满足(1)式时,称 两两独立 CBA,CBA,相互独立CBA, 两两独立 ，反之不成立PA

6、PBPC例一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，第四面上同时染上红、黑、白三色，以分别记投一次四面体，出现红、白、黑颜色的事件，CBA,那么P ABP BCP CAP ABP BCP CA故两两独立CBA,但 .P ABCP A P B P CCBA,CBA,本例阐明 不能由关系式1推出关系式2，两两相互独立相互独立即不能由 21,42= =1,41.4定义定义3 3 1ijkn ()() (),ijijP A AP A P A()() () (),ijkijkP A A AP A P A P A1212()() ()().nnP A AAP A P AP A1

7、2nn个事件相互独立，那么必需满足n对个事件假设对于一切能够的组合,21nAAA，有 那么称12,nA AA相互独立n个等式n(2)mmn显然个事件相互独立，那么它们中的恣意个事件也相互独立常由实践问题的意义常由实践问题的意义 判别事件的独立性判别事件的独立性.12)11(1032个式子个式子共共nCCCCCnnnnnnnn 2、独立性的性质、独立性的性质定理定理1 1 四对事件 ,A BA BA BA B那么其它三对也相互独立中有一对相互独立，现实上，()P AB ( ) 1( )P AP B)()()(BPAPAP试证其一BA,BA,独立独立( ()P AB()P AAB( )()P AP

8、 AB( ) ( ).P A P B定理定理2 2 nAAA,21 m1mnn12,nA AA12,nA AA设相互独立，那么将其中恣意个换成其对立事件，那么所得 个事件也相互独立相互独立，那么也相互独立特别地，假设三、独立性的运用三、独立性的运用1、相互独立事件至少发生其一的概率的计算 12()nP AAA121()nP A AA 假设nAAA 21,相互独立，那么)(1niiAP111( ()1(1()nniiiiP AP A 111.niiP A )(1niiAP121()nP AAA 121() ()()nP A P AP A 例张、王、赵三同窗各自独立地去解一道难题，他们的解出的概率

9、为1/5，1/3，1/4，试求1恰有一人解出的概率；2难题被解出的概率解解iA设 i=1，2，3分别表示张、王、赵三同窗解出难题这三个事件, 321,AAA由题设知 相互独立 (1)令A=三人中恰有一人解出难题，那么123123123,AA A AA A AA A A)()()()(321321321AAAPAAAPAAAPAP)()()()()()()()()(321321321APAPAPAPAPAPAPAPAP11111111113(1)(1)(1)(1)(1)(1).53453453430(2)令B=难题解出，那么)()()(1)()(321321APAPAPAAAPBP11131 (

10、1)(1)(1).5345 例假假设每个人血清中含有肝炎病的概率为例假假设每个人血清中含有肝炎病的概率为0.4%0.4%，混合混合100100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？解解iA设 =第i个人血清中含有肝炎病毒)(10021AAAP )()()(110021APAPAP 10010.9960.33. 虽然每个人有病毒的概率都是很小，但是混合后，那么有很大的概率，在实践任务中，这类效应值得充分注重,1,2,100,i 10021,AAA 相互独立，那么所求的概率为可以以为例1奖券中有一半会中奖，为了确信至少一张奖券能以大于95%的概率中奖，

11、应该购买多少张奖卷？“至少一张奖券中奖，那么 nAAA,21是相互独立的，但是可以相容的 121nP AAA 1111110.95,2222n 110.05,220n5.n 即最少购买5张奖券可确保至少一张奖券能以大于95%的概率中奖 niA1, 2,in解设应该购买解设应该购买张奖券，“第i张奖券中奖，A12,nAAAA 12nP AP AAA显然，121nP AAA 121nP A P AP A 2、在可靠性实际中的运用 对于一个电子元件，它能正常任务的概率，称为它的可靠性；元件组成系统，系统正常任务的概率称为该系统的可靠性随着近代电子技术的迅猛开展，关于元件和系统可靠性的研讨已开展成为一

12、门新的学科可靠性实际.概率论是研讨可靠性实际的重要工具 系统由元件组成，常见的元件衔接方式：串联并联2112例1 1 假设构成系统的每个元件的可靠性均为r,0r1,且各元件能否正常任务是相互独立的,试求下面两种系统的可靠性图 1图 212n12n12n12n解1系统有两条通路，分别记这两条通路的可靠性为12n12n1,R我们知道系统要能正常任务，上下两条通路至少有一条要能正常任务，故系统的可靠性为：,1R2R2,RsR nrnrnnnnrrr r2.nnrrsR 2n (2)2,nnrr而整个系统由n对并联元件串联而成，故其可靠性为利用数学归纳法可以证明时，R .ssRR所以虽然上面两个系统同

13、样由2n个元件构成作用也一样，但是第二种构成方式比第一种方式可靠性来得大，寻觅可靠性较大的构成方式也是可靠实际的研讨课题之一12n12n系统，先求每个并联的小节的可靠性，有独立性知可靠性为rrr r 2,rr()nR(2) .nnrr二、贝努里概型1、实验的独立性、实验的独立性 假设两次实验的结果是相互独立的，称两次实验是相互独立的。 当然，两次实验是相互独立的，由此产生的事件也是相互独立。二、贝努里概型二、贝努里概型1、贝努里实验A假设实验E只需两个能够的结果：A及 ，称这个实验为贝努里实验 。2、贝努里概型设随机实验E具有如下特征：1每次实验是相互独立的 ；2每次实验有且仅有两种结果：事件

14、A和事件 A3每次实验的结果发生的概率一样即PA=p， P =1-p=q 。A称实验E表示的数学模型为贝努里概型。假设将实验做了n次，那么这个实验也称为n重贝努里实验。记为 。nE； 由此可知“一次抛掷n枚一样的硬币的实验可以看作是一个 n重贝努里实验。 一个贝努里实验的结果可以记作),(21n其中 i)1 (ni 或者为A 或者为 A因此这样的 共有 n2个,它们的全体就是贝努里实验的样本空间 假设 i)1 (ni 中有 k个A，那么必有n-k个 A于是由独立性即得 knkqpP)(例1设某人打靶，命中率为0.8 1现独立地反复射击两次，求恰好命中一次的概率 2现独立地反复射击三次，求恰好命

15、中一次的概率 解： 2A1A设 =“第一次命中， =“第二次命中 1P两次恰好命中一次 21212121APAPAPAPAAAAP8 . 02 . 028 . 02 . 02 . 08 . 0 pqCC12122 . 08 . 02P三次恰好命中一次 321321321AAAAAAAAAP8 . 02 . 02 . 02 . 08 . 02 . 02 . 02 . 08 . 013132132.08.0pqCC类似P三次恰好命中二次 232232232 . 08 . 0qpCCPn次恰好命中k次 knkknqpC推行到普通情形： 对于伯努利概型，假设要求“n重贝努里实验中事件A出现k次这一事件

16、的概率 记 n重贝努里实验中事件A出现k次 kBknkknBkqpCPBPk)()(事件A在n次实验中发生k次的概率为 knkknnqpCkP)(nk0这个概率常称为二项概率，记为 pnkb,;即： knkknqpCpnkb),(k=0，1，2，n 在n贝努里实验。事件A至少发生一次的概率为 nq1例2知100个产品中有5个次品，现从中每次任取一个，有放回地取3次，求在所取的3个中恰有2个次品的概率。解： 设A=“取到次品，B=“3个中恰有2个次品 05. 01005AP 007125. 095. 005. 0223223CqpCBP2P4到6次朝上=P4次朝上+ P5次朝上+ P6次朝上 例

17、3把一枚硬币恣意掷10次，求正面朝上： 15次；24到6次的概率。解： 1这里最容易犯的错误是以为掷10次硬币得到5次正面朝上的概率为0.5，其实不然。 P5次朝上 246. 0211215551055510CqpC46610555564410qpCqpCqpC65625. 021212121212146610555564410CCC主要内容:一、概率的概念事件的有关关系和运算;概率的定义.1描画性定义；2统计定义；3公理化定义.二、概率的性质三、三种特殊概率：古典概型、几何概型、贝努里概型四、有关条件概率的计算公式五、独立性第一章第一章 习题课习题课 1设 CAB . ACAB .BCA C

18、B CBA.DCACB 且C或那么( ) 答案2某人射击时，每次中靶的概率为 ,41假设射击到中靶为止，那么射击次数为3的概率为 . A3)41(.B41432.C43412.D343 答案 3.设. 0)(, 0)(BPAPBA,互不相容,那么一定成立的是 .A)(1)(BPAP.B0)(BAP.C1)(BAP.D0)(ABP 4设 BA,是恣意两个事件，那么 )(BAP . A)()(BPAP.B)()()(ABPBPAP.C)()(ABPAP.D)()()(ABPBPAP 答案 答案 例17.填空题1设 BA,是两个事件， , 3 . 0)(, 7 . 0)(BAPBP那么 )(BAP2

19、某市有50% 的住户订日报，65% 的住户订晚报， 85% 的住户至少订这两种报纸中的一种.那么同时订这 两种报纸的住户占 那么 30% 0.6 3三人独立破译一密码，能单独译出的概率分别 为.41,31,51那么此密码能被译出的概率为 4设 BA,是两个事件， , 2 . 0)(, 5 . 0)(BAPAP那么 )(ABP5设 BA,是随机事件， ,85. 0)(,93. 0)(,92. 0)(ABPBPAP那么 )(BAP)(BAP0.6 0.70.8290.988例4某类电灯泡运用时数在1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在运用1000小时以后最多只需一个坏的概率。解： =P三个都

20、好+恰有两个好 104. 08 . 02 . 02 . 0223333CC例5金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电功率为10千瓦，知每台机床任务时，平均每小时实践开动12分钟，且开动与否是相互独立的，现因当地电力供紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床。问这10台机床可以正常任务的概率为多大？( )P A解： 于是同时开动着的机床台数不超越5台的概率为 50千瓦电力可用时供应5台机床开动，因此10台机床中同时开动的台数为不超越5台时都可以正常任务，而每台机床只需“开动与“不开动的两种情况，且开动的概率为12/60=1/5。不开动的概率为4/5。设10台机床中正在开动着的机床台数为 ，那么 kkkCkP1010)54(