高等数学1-2定ppt课件

1、高等数学 第一章 第二节 幻灯片02-02高等数学 第一章 第二节 幻灯片02-03高等数学 第一章 第三节 幻灯片02-18高等数学 第一章 第三节 幻灯片02-19高等数学 第一章 第三节 幻灯片02-202. 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系证证,)(lim0Axfxx 设设Axfx )()( 令令, 0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 定理定理1 1Axfxx )(lim0.)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx ),()(xAxf , 0 , 0 ,|00 xx当当恒有恒有 |)(|Axf也即也即 | )(|x无穷小与无穷大无穷小与无穷大),()(

2、xAxf 设设,是是常常数数其其中中A,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当xxx Axfxx )(lim0.)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx ),()(xAxf 于是于是| )(|)(|xAxf , 0 , 0 ,|00 xx当当恒有恒有 | )(|x即即.|)(| Axf.)(lim0Axfxx 类似可证明类似可证明 的情形的情形. x定理定理1 1无穷小与无穷大无穷小与无穷大意义意义（1将一般极限问题转化为特殊极限将一般极限问题转化为特殊极限 问题问题(无穷小无穷小);02( )( ),( ).f xxf xAx（）给出了函数在附近的近似表达式误差为3、无穷小的运算性质、无

3、穷小的运算性质:定理定理1.2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的有限个无穷小的代数和仍是无穷小代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小穷小. .1,nn 例如时是无穷小，11.nn但 个 之和为 不是无穷小定理定理1.3 有界函数与无穷小的乘积是无有界函数与无穷小的乘积是无穷小穷小.推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.211,0,sin,arctanxxxxx例 如 当时都是无穷小都是无穷小xxxsinlim高等数学 第一章 第三节 幻灯

4、片02-23解：sin1limlimsinxxxxxx1sinsin1)xxxx 又当时，为无穷小量，为有界变量(,sinlim0 xxx绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大00lim( )(lim( )()()f xf xxxxxxx或注意注意 （1无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.02lim( ).f xxx（ ）切勿将认为极限存在00:lim( ),( ).f xxxxx

5、yf x 若则称直线是曲线的一条铅直渐近线定义高等数学 第一章 第三节 幻灯片02-29lim( )f xAlim( )g xB(1)lim ( )( )lim ( ) lim ( )f xg xf xg xA B二、极限运算法则(2)lim ( )( )lim ( ) lim ( )f xg xf xg xA B( )lim( )(3)lim(0)( )lim( )f xf xABg xg xBlim( )lim ( )Cf xCf xlim ( )lim ( )nnf xf x高等数学 第一章 第二节 幻灯片02-053221lim53xxxx高等数学 第一章 第二节 幻灯片02-06解：

6、原式=3222lim(1)lim(53)xxxxx73 322125 23 22134lim54xxxxx解：原式=2121lim(34)lim(54)xxxxxx53 00解：原式=1(1)(4)lim(1)(4)xxxxx14lim4xxx512lim5xxx 解：原式=5(12)(12)lim(5)(12)xxxxx 51lim12xx 51 4lim(5)(12)xxxx （要先变形）142lim ()xxxx解：原式=2limlimxxxxx 解：原式=222()()lim()xxxxxxxxxx222limxxxxxxx2limxxxxx1lim111xx12(分子有理化)223l

7、im235xxxxx高等数学 第一章 第二节 幻灯片02-07213lim352xxxx解：原式=21lim(3)35lim(2)xxxxx32232321lim25xxxxx233321lim152xxxxxx解：原式=233321lim()15lim(2)xxxxxxx02032225lim321xxxxx323152lim321xxxxxx解：原式= （不存在）11101110lim 0, , (0,0) , mmmmnnnnmmnnxa xaxa xab xbxb xbmnamnabbmn高等数学 第一章 第二节 幻灯片02-08高等数学 第一章 第二节 幻灯片02-0900例例).2

8、1(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.高等数学 第一章 第二节 幻灯片02-090sin(1)lim1xxx1(2)lim(1)xxex0sin(1)lim1xxx高等数学 第一章 第二节 幻灯片02-10)()()(xhxfxgAxgxx)(lim0Axhxx)(lim0Axfxx)(lim0高等数学 第一章 第二节 幻灯片02-12例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,1111222

9、2 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnAC一、第一重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 x01 cosx 2sin22x 2)2(

10、2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例1. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim00sin1limcosxxxxxxxsinlim0 xxcos1lim01例例2. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 那么,sintx 因而原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx

11、2121 .21 练习练习30tansinlim.xxxx求解解30sin (1 cos )limcosxxxxx原式0sinlimxxx11121 12201 coslimxxx01limcosxx1(2)lim(1)xxex1(1)xx101lim(1) lim(1)xxxxexex或或 高等数学 第一章 第二节 幻灯片02-15高等数学 第一章 第二节 幻灯片02-16x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:AM例例4 4.)11

12、(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原原式式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解原式.2e 2 2411lim(1) lim(1)22xxxxx21lim(1)2xxx=2(2) 41lim(1).2xxx=(或)原式21lim(1)2xxx=2221lim(1)2xxxxx=.2e 2. 两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim) 2 (或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式代表相同的表达式推广：推广：16.lim1xxxx解： 原式sec/27. lim(1 2cos )xxx解： 原式2lim 11xxx21122

13、lim11xxxxx2e1cos/2lim (1 2cos )xxx2e212cos/2lim (1 2cos )xxxlim0limClim1三、无穷小量的阶三、无穷小量的阶., 0, 0lim)4(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCk ，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比时时，当当xxx ).0()3(2 xxox即即是是等等价价无无穷穷小小与与时时，当当xxxsin0).0(sinxxx即即例如，例如，222sin (0)tan (0)sin(0)arcsin(0)arctan(0)ln(1) (0)11cos(0)1

14、(0)2xxxxxxxxxxxx xxx xxxxxxxexx定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ),lim,limlim. 设且存在 则证证 lim)lim( limlimlim.lim 解 当x0时 tan 2x2x sin 5x5x 所以 解 当x0时sinxx 无穷小x3+3x与它本身显然是等价的 所以 若 且lim存在 则limlim 例例7 例例 求xxx5sin2tanlim0 xxx5sin2tanlim05252lim0 xxx 例例8 例例 求xxxx3sinlim30 xxx5sin2tanlim05252lim0 xxxxxx5sin2tanlim05

15、252lim0 xxx 3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx3lim03xxxx201lim3xx13练习练习.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 小小 结结0sin01.lim10 xxx 为型不定式，使用时注意条件是否成立。12.lim 111xxex为 型不定式，使用时需对表达式进行变形，首先将指数变为底数里面 后面所有项

16、的倒数，再乘以一个代数式以使指数不变。高等数学 第一章 第四节 幻灯片02-30高等数学 第一章 第四节 幻灯片02-31x0高等数学 第一章 第四节 幻灯片02-33高等数学 第一章 第四节 幻灯片02-340000limlim ()()0 xxyf xxf x ,00 xxx 就就是是).()(00 xfxfy 就就是是,0 xxx 设设),()(0 xfxfy 00lim( )()xxf xf x高等数学 第一章 第四节 幻灯片02-360lim( )xxf x00lim( )()xxf xf x高等数学 第一章 第四节 幻灯片02-37高等数学 第一章 第四节 幻灯片02-38)0()

17、()(lim000 xfxfxfxx)0()()(lim000 xfxfxfxx)() 0() 0()()(lim00000 xfxfxfxfxfxx高等数学 第一章 第四节 幻灯片02-39高等数学 第一章 第四节 幻灯片02-40例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf证证01lim sin0,xxx又(0)0,f由定义知由定义知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf0lim( )(0),xf xf例例2 2.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin

18、2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个

19、不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx1.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例1 1.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f11lim( )lim22,xxf xx11lim( )lim(1)2,xxf xx2)(lim1 xfx),1(

20、f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义处函数的定义, , 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. .如例如例1中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy1122.跳跃间断点跳跃间断点0000( ),lim( )lim( ),( ).xxxxf xxf xf xxf x如果在点处左 右极限都存在 但则称点 为函数的跳跃间断点例例2 2.0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解00lim( )lim()0,xx

21、f xx00lim( )lim(1)1,xxf xx00lim( )lim( ),xxf xf x.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 x3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的的第第二二类类间间断断点点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果xfxxxf例例3 3.0, 0, 0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解oxy00lim( )

22、lim0,xxf xx001lim( )lim,xxf xx .1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间例例4 4.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振荡荡间间可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x高等数学 第一章 第四节 幻灯片02-43)()()(lim)(lim0000 xfufufxfuuxx高等数学 第一章 第四节