椭圆及其标准方程的教学设计

1、教学设计单位:宝应县曹甸高级中学姓名: 陈莉霞所用教材版本 : 苏教版学科: 高中数学年级: 高二椭圆及其标准方程一、 教学内容分析椭圆及其标准方程是苏教版教科书（选修）数学 1-1 第 2 章圆锥曲线与方程 第二节内容。 本节在教材中的地位和作用： 椭圆及其标准方程在本章节是非常重要的部分， 起着总领全章的作用。 而圆锥曲线是高考的重点， 也是教学的重点。 而且本章节的内容和生活实践的联系也比较紧密， 是培养学生把数学知识应用到实际生活的能力的重要章节。 本章节的教学还有利于培养学生的数形结合的能力。 因为椭圆， 双曲线以及抛物线有相类似的性质， 教学中只要真正的把椭圆的性质讲透了，那其它两

2、部分的教学也就事半功倍了。二、学生学习情况分析我们班是一个体艺班, 班上的大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性， 且学习的信心不足， 对数学存在或多或少的恐惧感。 所以教师在讲解得时候应该尽量地要带动起学生， 激起他们对数学学习的兴趣和热爱。 教师应该特别注意提问的方式, 要结合学生们所掌握的知识水平的程度, 来有针对性地提问。三、设计思想为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景， 激发学生学习的兴趣； 围绕教材的重难点， 比如本节的“椭圆的标准方程及其推导”

3、 ，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系， 提高获取知识的能力， 尝试合作学习的快乐， 体验成功的喜悦。四、教学目标建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程；能根据已知条件求椭圆的标准方程，和焦点坐标；进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合的数学思想。让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力 培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力；提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。亲身经历椭圆标准方

4、程的获得过程，感受数学美的熏陶；通过主动探索， 合作交流， 感受探索的乐趣和成功的体验， 体会数学的理性和严谨 ;养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神， 形成学习数学知识的积极态度。五、教学重点和难点教学重点 : 椭圆的定义及其标准方程的推导。 通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点。教学难点：椭圆的标准方程的推导过程。六、教学过程设计教学流程：问题情境-建构数学一例题解析一课堂小结一作业布置1 问题情境：情境 生活中存在着大量的椭圆，比如：餐桌的外轮廓线，汽车的贮油罐的横截面的外轮廓线等等。 （教师用幻灯片投影给学生看）问题1 同学们还能举出些椭圆的例子吗？问题2 怎样才

5、能设计出椭圆的形状呢？【设计意图】问题情境的创设应有利于激发学生的求知欲。为了复习椭圆的定义，我设计了上面的情境和问题 1，让学生感受到椭圆的存在非常普遍。小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天体的运行轨道。通过问题 2 让学生主动思考如何画椭圆及椭圆的定义。提问：椭圆的定义用语言是怎样阐述的？学生1:平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于| F1F2|）的点的 轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。教师：好，这位同学回答得非常正确。那么下面请再思考一个问题：前面我们讲过圆的标准方程，请同学们回顾一下求圆的标准方程的基本步骤有哪些？2 建构数学学生2：建立直角

6、坐标系、设点、寻找等量关系、代入坐标、化简。【设计意图】在学生复习圆的方程的建立过程的基础上，让学生讨论思考如 何选择适当的 坐标系来建立椭圆的方程，我想学生通过这些活动能够建立几种 常见的坐标系，并列出相应的代数方程。我认为这样有利于培养学生的动手实 验，分析比较，相互协作等能力。让学生体验到知识的产生过程。教师：很好。那么在求曲线方程的第一步，也就是建立直角坐标系时，我们应该注意些什么问题呢？学生3:要充分利用图形的对称性，以及一些关键点的坐标，建立坐标系要遵 守简单和谐化的原则。教师：好，说得很精彩。那么就请同学们互相讨论一下，看看到底应该怎样建立直角坐标系，才能使我们这道题目化简地更加

7、容易呢？学生：讨论。学生：大多数同学一致认同这种建系的方法：以过点 F1、F2的直线为x轴， 以线段F1F2的垂直平分线为y轴。因为这样作出的图形是一个对称的图形， 非教师：现在请同学们动手求出椭圆的标准方程。(教师巡视)发现得到这样一个式子后， Jx c2 y2 J x c2 y2 2a,大部分学生就不会往下做了。还有极少数同学知道通过两边同时平方去根号， 但是化简了一 步，就无法再进行下去了，过程太复杂了。【设计意图】 我选择放手让学生化简，让学生体验化简方程的艰辛，同时 注意化简的技巧，注意考虑问题要有多种视角，不要一条胡同走到黑。教师：提示，显然两边直接平的效果并不好，那是否有更好的方

8、法呢？学生：可以尝试将根式中的一项移项后，再平方。教师：好，请同学们继续化简。设M(x,y)为椭圆上的任意一点，设MF+MF=2a, FiF2=2c,(m >n>0)则 Fi -c0、F2 c ,0 .由 MF+MF=2a 得 /x 移项得 x c 2 y2 平J 2j 2x c y 4a 4a x c y整理得 4cx 4a24a x c 2 y2再平方得 a2 x2 2cx c2 y2 a4 2a2xc x2c2再整理得 a2 - c2 x2 a2y2 a2 a2 c2教师：我们知道这里a c,再注意观察一下x2,y2的系数之间有什么关系？学生：它们的乘积刚好等于右边的常数。教

9、师：同学们的观察还是非常仔细的。好，既然a c,那我们不妨令b2 a2 c222如果我们再将不等式的两边同时除以a2b2,得、4 1(a b 0)22a b这就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程请同学思考：这里a,b的大小关系如何？再考虑一下它们的大小与焦点所在的位置有什么关系？学生：显然，a b,且焦点在轴x上。所以应该是哪个分母大，焦点就在哪 个轴上【设计意图】让学生自己观察，分析，得出结论，这样不仅能够使他们树立 起对自己的信心，更重要的是在潜移默化中，使他们解决数学问题的能力得到 了提高。教师：请问，焦点在y轴上的椭圆的标准方程的形式应该是怎样的呢？22学生：4f1(a b 0)a2 b2

10、教师：非常棒。下面我们来对比一下椭圆的两种标准方程，看看有什么相同点和不同点：(1)相同点方程中x, y表示椭圆上任意一点的坐标；关于x, y的二元二次方程；方程右边是常数1,左边是平方和的形式；a是椭圆上的点到两焦点距离和的一半，b2= a2-c2, c是焦距的一半；a2=b2+c2, a>b>0, a>c>0,b 与 c 大小不定焦点位置的判定：焦点在较大分母对应的变量的坐标轴上(2)不同点标准方 程1 a b 02b2 1a隹声坐八 、八、一I-标与坐标 轴交点Fi(-c,0 ), F2(c,0 )Fi(0,c ), F2(0,-c )Ai (-a , 0)A2

11、(a, 0)Bi (0, -b)B2 (0, b)Ai (0, a) A2 (0, -a)Bi (-b , 0)B2 (b, 0)【设计意图】让学生通过数形结合的这种方式来熟练地掌握椭圆的有关性质。特别要强调学生注意观察，会区分上面的两个图形的相同点和不同点3例题解析例1已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为，外轮廓线上的一点到两个焦点距离的和为 3米，求这个椭圆的标准方程。【设计意图】设计此题的目的是为了巩固椭圆的标准方程中的量的关系和用对称法建立直角坐标系。学生：以两焦点Fi,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建 立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为22x

12、 y-r 1(a b 0) a b根据题意得，2a=3,2cb2 a2 c21.52 1.22 0.81222.25 0.81因此这个椭圆的标准方程为I 1例2将圆x2 y2 4上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线。【设计意图】设计的目的有两个：（1）对求动点的轨迹的方法进行再巩固；（2）让学生把椭圆的方程与圆的方程来类比，巩固椭圆的标准方程列出等式，再化简。y2 4上的对应点的学生：设所得曲线上任何一点M的坐标为（x,y）,圆x2教师：点拨：设点，然后寻找未知点与已知点之间的关系,x2y坐标P（x, y ）,由题意可知y因为 x2 y2 4,所以 x

13、2 4y2 4 ,求解这类题目的一般方法?教师：能不能用自己的语言来总结一下, 学生：设出已知点和未知点的坐标；找出它们坐标之间的等量关系，并且用未知量的代数式表示已知量;利用已知点所满足的关系，解出未知点所满足的关系。4课堂小结（让学生自己总结这节课所学的内容）2.椭圆两种标准方程的比较3椭圆的标准方程的基本求法及应用【设计意图】为了让学生建构自己的知识体系，我让学生自己概括所学的内 容。我认为这样既能培养了学生的概括能力，又能营造民主和谐的师生关系。5作业布置1基础训练题：课本第28页1,2,32课后思考题：有关资料显示：神舟六号”飞船的运行轨道是以地球的中心F2位一个焦点的椭圆。已知它的

14、近地点 A（离地面最近的点）距地面200公里，远地点B （离地面最远的 点）距地面347公里，并且在F2、A、B同一直线上，地球半径约为6371km。你能计算出 神 舟六号”飞船的轨道方程吗？（精确到km）【设计意图】为了进一步巩固椭圆的标准方程，让学生能够灵活利用椭圆的性质来求解其方程，于是我布置了上面的作业.七、评价设计1、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，充分利用教具演示，并运用“实验猜想推导应用” 的思想方法， 逐步由感性到理性地认识定理。 我认为这样安排符合学生的认识规律， 揭示了知识的发生、 发展过程； 也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点

15、。2、在教学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识， 并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题， 产生学习数学的浓厚兴趣。3、在创设情境、推导椭圆的标准方程的过程中，培养学生的实验、归纳能力，在辨析几种建系方法所得到方程的繁简， 比较两个标准方程的特点过程中培养学生的分析、 判别能力， 在运用标准方程中， 培养学生解决实际问题的能力； 另外，通过学法指导， 引导学生思维向更深更广发展， 以培养学生良好的思维品质， 并为以后进一步学习双曲线和抛物线作好辅垫。椭圆及其标准方程（第一课时） （ 说课

16、稿 ）南山外国语学校 张玉军一、教材分析1、教材的地位及作用江苏教育版（选修2 1）第二章圆锥曲线是高考重点考查章节。 “椭圆及其标准方程”是圆锥曲线第一节的内容, 是继学习圆以后运用 “曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。2、 教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理

17、特征，制定如下教学目标：（ 1） 、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。（ 2） 、能力目标：让学生通过自我探究、操作、数学思想（待定系数法）的运用等，从而提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。（ 3） 、情感目标：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。3、教学重点、难点教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。在学习本课椭圆及其标准方程前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，

18、用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，学生对坐标法解决几何问题掌握还不够。另外，学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难 点的直 接原因。据以上对教材及学情的分析，确定椭圆的定义及其标准方程为本课的教学重点；椭圆标准方程的推导为本课的难点。4、教材处理根据新大纲要求， 本节课的内容特点以及结合我校学生的实际情况， 我把本节内容分 2 个课时进行教学。第一课时，主要研究椭圆的定义、标准方程的推导。第二课时，运用椭圆的定义求曲线的轨迹方程。二、教学方法和教学手段课堂教学中创设问题的情境

19、， 激发学生主动的发现问题解决问题， 充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则 。根据这样的原则及所要完成的教学目标 ，我采用如下的教学方法和手段：教学方法 ： 我采用的是引导发现法、探索讨论法等。1、引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义。2、探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性。引导发现法和探索讨论法是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性。教学

20、手段：利用多媒体课件教学，化抽象为具体，降底学生学习难度，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量。三、学法指导“授人以鱼，不如授人以渔.”教会学生：1、动手尝试；2、仔细观察；3分析讨论；4、抽象出概念，推出方程。这样 有利于学生发挥学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造” 过程.四、教学程序教学流程设计：认识椭圆一画椭圆一定义椭圆-推导椭圆方程一椭圆方程知识讲解一椭圆方程知识运用一本课小结一作业布置教学环节教学程序(师生双边活动)设计意图认 识 椭 圆图片展示：椭圆就在我们身边。(1)、从学生所关心的 实际问题引入，使学生 了解数学来源于实际。(2)、展示图片，使学

21、生更好的掌握椭圆形 状，更直观、形象地了 解后面要学的内容；k 1、画一画(画椭圆)：回(1)、请学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔, 椭同桌一起合作画椭圆。(2)、课件动态演示椭圆的形成过程： 圆接着指出：这就是我们要学习的一类新的封闭曲线一一椭圆。士 7E义椭圆2、议一议(椭圆的定义及有关概念)(1)、由学生画图及教师演示椭圆的形成过程，引导学生归纳定义。定义：在平面内，到两定点Fi, F2的距离之和等 于常数2a(2a> I FiF21)的点的轨迹叫做 椭 圆。这两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距，记I F1F2 |=2c.(2)、椭圆定义的再认识。问题：为什

22、么要满足2a>2c呢？(1)当2a=2c 时，轨迹是什么？ ( 2)当2a<2c时，轨迹 又是什么？结论：(1)、当2a>尸什2|时，是椭圆；(2)、当2a=|F1F2|时，是线段；(1)、通过画图给学生 提供一个动手操作、合 作学习的机会；调动学 生学习的积极性(2)、多媒体演示向学 生说明椭圆的具体画 法，更直观形象。让学生通过反思画图， 归纳定义，理解定义， 利用动画演示，深刻地 理解椭圆定义条件，突 破了重点。(3)、当2a<尸什2|轨迹不存在。3、求一求：（椭圆标准方程的推导）（教师引导）设问1：求曲线方程的一般方法样？ （建系、设点、列式、化简）设问2:本题

23、中可以怎样建立直角坐 标系？（让学生根据自已的经 验来确定）方案1:（如图1）以Fi、F2所在的直线为x轴，F1F2 的中点为原点建立直角坐标系：推 导 椭 圆 方 程方案2:（如图2）以Fi、F2所在的直线为y轴,FlF2的中点为原点建立直角坐标系让学生自己去推导椭 圆的标准方程，给学生 较多的思考问题的时 间和空间，变“被动” 为“主动”，变“灌输” 为“发现”。教师结合 猜想加以引导。图21(a b 0)说明：a b 0 ； a2 b2 c2股定理c2问题占八、拨通过精心设问突破了 椭圆方程推导的难点， 深化了学生的探索活 动。允许和鼓励学生提 问，让学生从“不问” 到“敢问、善问”是培

24、 养学习能力的重要一 环。图12222方程：吃1(a b 0)和2三a2b2a2b2请学生观察归纳二个方程的特征，从而区别焦 点在不同坐标轴上的椭圆标方程；令 b2 a2 c2 要渗透数学对称美教学。（要区别与习惯思维下的勾 2, 2 .a b ）;4、问一问：问题1 :在探索中得到了椭圆方程：丫晨一了一y2 （!（x c）2 y2 2a但不会化简。问题2:化简后得到的方程好象没有猜想简洁、漂亮，与课本上的标准方程也有一点距离。设问：教师问：化简含有根号的式子时，我们通 常有什么方法？学生回答：可以两边平方。教师问：对于本式是直接平方好呢，还是 恰当整理后再平方？学生通过实践，发现对于这个 方

25、程，直接平方不利于化简，而整理后再平方，最 后能得到圆满的结果。椭圆方程知识讲解5、用一用(讲解知识)例1:判断卜列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。2222(1)之上1上134422(3) 3x2 4y2 1(4) x2 y- 14例2:求适合下列条件的椭圆标准方程(1)两个焦点的坐标分别为(4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10(2)两个焦点的坐标分别为(0, 2),(0,2),并且椭 圆经过点(3,5)2 2(1)、掌握椭圆方程中 a,b,c三者之间的关系 (2)、掌握运用椭圆定 义法、待定系数法求椭 圆的标准方程。运用定 义法时要强化根式化 简计算；运用待定系

26、数 法时强调“二定”即定 位定量；(3)、培养学生运用知 识解决问题的能力。椭圆方程知识运用6、练一练(运用知识)221、已知F1、F2是椭圆人 L 1的两个焦点，过259F1的直线交椭圆于 M N两点，则 MNF2的周长 为。2、平面内两定点跑离之和等于8, 一个动点到这两 个定点的跑离之和等于10,建立适当坐标系写出动 点的轨迹方程。通过课堂练习，使学生 进一步巩固知识，运用 知识小结小结：(一、二、二、三)1、一个定义：(椭圆的定义)、2、二类方程：(焦点分别在x轴、y轴的上的两个 标准方程)、3、二种方法：(去根号的方法、彳寺定系数系法)4、三个意识：(求美意识，求简意识，猜想意识)归

27、纳小结，突出重点， 巩固新知，形成知识网 络。作业布置1、写出适合卜列条件的椭圆标准方程：(1) a=4,b=1,焦点在 x 轴上。(2) a=4,c=3,2、运用椭圆的定义Vx2 6x 13 Jx2 6x 13 103.研究性题：反思画图，观察椭圆上的点到焦点的距离最大 最小的点是哪个点？并用数学方法加以证明。(1)、巩固知识发现和 弥补教学中的不足。(2)、强化学生的基本 技能的训练，提高学生 运用新知识的熟练程 度五、板书设计课题1、椭圆的定义2、肩关概念3、标准方程(1)、焦点在x轴上(2)、焦点在y轴上椭圆标准方程的推导过程 书写例1:(写要点)例2:(1)详写(2)写关键步骤六、教

28、学评价1、这节课围绕“认识椭圆一画椭圆一定义椭圆-推导椭圆方程一 椭圆方程知识讲解一椭圆方程知识运用”这一主线展开。2、教学中学生通过观看动画、动手实践，自己总结出椭圆定义， 符合从感性上升为理性的认识规律。3、在整个教学过程中，采用引导发现法、探索讨论法等教学方法, 注重数形结合等数学思想的渗透。培养学生勇于探索、勇于创新的精 神。_清华等五校联考(华约)自主招生数学试卷n N*, n 15.集合A、B都是I 1,2, ,n的真子集，aA B , AU B I.证明:集合A或B中，必有两个不同的数，它们的和为完全平方数21f x ax bx x(a 0),万程f x x的两个根是x1和X2,

29、且为 0 , x2 x1 一，又0 tXi.试比较f t与Xi的大小.f x max x 1 , x2 5的最小值，并求出相应的 x的值.f x是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a,b R,有f ab af b bf a .(1)求f 0 , f 1的值；(2)判定函数f x的奇偶性，并证明你的结论；什f 2 n*(3)右f 22, un n N ,求数列un的前n项和Sn.n，22 ，2,一一一-".-x的方程ax 1 a 1 x , a 1.证明方程的正跟比1小，负根比 1大.a , b是两个正数，且 a b.当x a,b时，y x2 4x 6的最小值为a ,最大值为b

30、, 求a, b彳t.m2的长方形围栏，围栏一边靠墙 .现有铁丝网50 m,筑成这样的围栏最少要多少铁丝网？ 已有的墙最多利用多长？最少利用多长？ABCD中，过一个顶点D作对角线CA的平行线DE ,若CE CA ,且CE交边DA于点F .求证：AE AF .10.设ABC的重心为G,外心为O,外接圆半径为r , OG d , |BC a, |CA b,222_ 22AB c.求证：a b c 9rd11.设圆满足：截 y轴所得弦长为 2；被x轴分成两段弧，其弧长比为 3:1 ,在满足上述条件的圆中，求圆心到直线x 2y 0的距离最小的圆的方程.A为圆心，以2cos (0-)为半径的圆外有一点 B

31、 .已知AB 2sin，设过B且与圆A外切于点C的圆的圆心为(1)当取某个值时，说明点M .M的轨迹P是什么曲线?(2)点M是轨迹P上的动点,点N是圆A上的动点，记MN的最小值为.求f 的取值范围.，-Snan的前n项和为Sn,点(n, )(n N n)均在函数y 3x2的图像上.(1)求数列 an的通项公式;(2)设 bnbn的前n项和，求最小正整数m，使彳导Tn都成立.an an 1m20对所有n Nf x 2x 4 , Snf(-)nf(-)nf(n), n 1,2,.若不等式n 1a恒成立,Sn1求实数a的取值范围.华约试题解析、选择题(1)设复数z满足忆|<1且|Za5解：由|

32、 zB3411 zC23契|z|21 , 5一| 二则忆| 二()z 2D 121 5 |z| ,已经转化为一个实数的方程。2解得|z| 二2(舍去)，(2)在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为 J2。则异面直线DM与AN所成角的余弦为()A13b16C-8d112分析本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知(不妨设为2),利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。解法一：

33、如图，设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为J2得高为J2。如图建立坐标系，则 A(1, -1, 0), B(1, 1, 0), C(-1, 1, 0), D(-1, -1, 0), P(0, 0, M),一 11,211.231. 2132则 M(一, ,), N (, - ,) , DM ( , ,), AN (,-,)。设所成的角为2222 222222 22DM ANDM -AN解法二：如图，设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为J2得高为V2 °平移DM与AN在一起。即M移到N, D移到CD的中点 Q。于是QN = DM = AN。而FA = PB 1=

34、AB = 2,所以QN = AN = J3 ,而AQ = J5 ,容易算出等腰A AQN的顶角COS ANQ 一。6解法三：也可以平移 AN与DM在一起。即 A移到M, N移到PN的中点Q。以下略。过点（-1,1）的直线l与曲线相切，且（-1,1）不是切点，则直线l的斜率为（）A2 B1 C 1 D 2此题有误，原题丢了，待重新找找。(4)若 A B232 .2 一则cos A cos B的最小值和最大值分别为（）3 3A1 -1 3B-,- C12 2D1 12D - ,1 22分析首先尽可能化简结论中的表达式2 A cos A2cos B ,沿着两个万向：降次:把三角函数的平方去掉；去角：

35、原来含两个角，去掉一个。2 A 2-1 cos 2 A 1 cos2B 解：cos A cos B , 1 ,1 万(cos2 A cos 2 B)1，八 1 cos(A B)cos(A B) 1 5cos(A B),可见答案是 b（5）如黑，已和e仇外切J点C, e O,匕0? 乂都和e。内切，同点分别为小乩A cos ft - 0B sin/?-cos= 0C sin2/? + sincr = 0D sin 2/7: 0分析题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：A0 Oi O2边Oi O2上一点C, O Oi、0 02延长线上分别一

36、点A、B,使得 O1A = O1C,O2B = O2C。O1O2 , C 在O1O2 上,00102OO2O1O1AC01cAOiCAO2CB1 00102 ,21 (OO1O2202BC02CB1一00201 ,故 2OO2Q)(O1CA02cB) , sin cos。22解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则0010200201-101CAO?CB- 001。2(QCA02CB) , sincos一。22(6)已知异面直线a, b成60°角。A为空间一点则过 A与a, b都成45°角的平面(A有且只有一个B

37、有且只有两个C有且只有三个D有且只有四个分析已知平面过A,再知道它的方向，就可以确定该平面了。 因为涉及到平面的方向, 我们考虑它的法线，并且假设 a, b为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a, b成60°角，求空间中过交点与 a, b都成45°角的直线。答案是 4个。.31(,-),xa yb zc (1,1)则2231 一已知向重 a (0,1), b ( , ), c22222.一x y z的最小值为()4- 3A1 B -C -D232解：由 xa yb zc (1,1)得由于x2 3(y22z) (y z)2,可以用换元法的思想，看成关于x, y

38、 +2 y zz, y - z三个变量，变形V3，代入y z 2(x 1)2 (y z)282 24 入3x24x 3(x -)2一,答案 B (y z)2x 2_2x2 2(x 1)22解法一：焦点F (1AB方程0)y = x T,与抛物线方程y2 = 4x联立,0), C (-1,EFDF解：SBDFDES BDEzS bde，S BDEBDABS ABE(1 X)S abe ,S ABEACyS ABC ,S bdf (1 x) yzS abc 2(1 x) yz 。 将A 2 2 B4-2- 54.22.2C D 33解得A 2 2tan ACBkCA2 2二 22 2222一 2

39、u-r= -，kCB2 22kCAkCB1kCAkCBABCD 中，/BAD = 45° ,A解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形EF/DA EF= 2 , AF = AD, BF = BC,求 / AEB。DGAtanBEFtanAEB2a B2J2),于是2。类似的，有2tanEBC22AEB AEF BEF2 AEF ,tan 2AEF2 J2 ,答案ACBGFAFtanAEFtanEADDEAD如图，己知的面积为2. ZX E分别为边抽，边/C上的点,Jly + z-工=1 ,则她W面积的最大值为()的F为线段DEE一点，没=彳，二户AB ACAES AB

40、Cy z x 1,变形为y z x 1,暂时将 x看成常数，欲使 yz取得最大值必须x 111y z ，于是S bdf （1 x）（x 1）,解这个一元函数的极值问题，x 时223取极大值16 。27（10）将一个正11边形用对角线划分为 9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相 交，则（）A存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设AABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形A

41、DEF（不妨设在AC的另一边）的（其中的边EF有可能与AC重合）的/ D 一定是钝角。事实上，Z D > /ADC,而四边形 ABCD是圆内接四边形，所以/ ADC = 180° -/B,所以/ D为钝角。这样就排除了 B, CoC卜面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。假设A ABC中/ B是钝角，在 AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻（指有公共边AC） AACD,则/ D = 180° -/B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同 样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D。二、解答题(11)已知不足兑珀一篇形.(I)

42、证喟占 tanJ4tan+tanC = tanJ4taiiJ£ftaiiC：CIO 茅 g tan C-1 = 33 +1alic * JI sin 2Af sin 2, sin 2c 的倒数成等差效列. tan A求cosX_C的值.2解：(I) tanC tan(A B) tan A tan B ,整理得tan A tan B 1tanAtan BtanC tan A tan B tanC(II)由已知 J3tanAtanC tan A tan B tanC，与(I)比较知 tan B J3 B二一。3又 11224sin 2 A sin2C 4sin2A sin2C sin2B .n 273' sin2Asin 2c 73'sin3sin(A C)cos(A C) 13 ，而 sin(A C) sin B ,cos2(A C) cos2( A C) ,32一 一 一 1 一一cos2(A C) cos2B -，代入得 2cos