向心加速度导学

1、第六节向心加速度【知能准备】1 加速度是表示 的物理量，它等于 的比值。在直线运动中，V0表示初速度，V表示末速度，则速度变化量 Av=。加速度公式a=，其方向与速度变化量方向 。2 .在直线运动中，取初速度vo方向为正方向，如果速度增大，末速v大于初速度v0,则Av=v v00(填“>或“<”其方向与初速度方向 ;如果速度减小，Av=v v00,其方向与初速度方向 。3 .在曲线运动中，速度变化量Av与始末两个速度 vo、v的关系： 。4 .在圆周运动中，线速度、角速度的关系是 。【同步导学】1.研究匀速圆周运动向心加速度的方法(1) 观察分析自然现象以及日常生活中的匀速圆周运动

2、实例，研究做匀速圆周运动的物体的受力情况，将牛顿第二定律迁移到匀速圆周运动这一曲线运动中来，获得向心加速度的大小和方向。(2) 根据加速度的定义 a=，求出匀速圆周运动中速度的增量A v的大小和方向，运用微积分的思Lt想，求出向心加速度的大小和方向。2 .曲线运动速度增量 A v=v2-vi的求法(1) 将矢量减法转化为矢量加法计算：如A v2=v2-vi=v2+(-vi)(-vi就是与矢量vi大小相等方向相反的量)，运用平行四边形法则可以求得。(2) 矢量三角形法：将表示 vi、v2的两个矢量，保持原来的大小和方向，使它们的始端重合，然后从初态矢量v的箭头端向末态矢量 v2的箭头端做一有向线

3、段，此有向线段就是所要求的矢量A v=v2-vio3 .向心加速度 定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。 方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻在改变，不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速度的运动。几种表达式：2除了教材P51介绍的an=、an=rw2外，向心加速度还有另外几种形式：r242联系 3 =n =2 n f,代入 an=r3 2可得：an= r 和 an =4 n 2f2r，再根据 v= 可得：an=v®TT2至此，我们常遇到的向心加速度表达式有以上五种。由向心加

4、速度的表达式和匀速圆周运动的特点可知：匀速圆周运动是一个加速度大小不变、方向时刻 变化的变加速曲线运动。例1 一质点沿着半径r = 1 m的圆周以n = 1 r/s的转速匀速转动，如图，试求:(1) 从A点开始计时，经过 丄s的时间质点速度的变化；4(2) 质点的向心加速度的大小。1解析(1)求出一 s的时间连接质点的半径转过的角度是多少;4 求出质点在A点和一s末线速度的大小和方向。4(3) 由矢量减法作出矢量三角形。(4) 明确边角关系，解三角形求得 v的大小和方向。2V2 根据an=或an= 3 r求出向心加速度的大小。r答案 v=2、2 n m/s 方向与OA连线成45°角指

5、向圆心 O (2)a=4 n 2m/s例2 一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R,向心加速度为a，则()A .小球相对于圆心的位移不变B .小球的线速度为.RaC.小球在时间t内通过的路程s= .a/RtD .小球做圆周运动的周期 T=2 n R/a解析 小球做匀速圆周运动，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变2 由a=得v2=Ra，所以v= Ra , 在时间t内通过的路程s=vt=t、JRaR做圆周运动的周期 T=空= = 2 n =2 n , R尬 v v Ra Ya答案：BD物理意义：因为向心加速度方向始终指向圆心，与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变其大小，所以

6、向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量。例3关于向心加速度，下列说法正确的是()A .它是描述角速度变化快慢的物理量B .它是描述线速度大小变化快慢的物理量C .它是描述线速度方向变化快慢的物理量D .它是描述角速度方向变化快慢的物理量解析(1)从匀速圆周运动的特点入手思考，匀速圆周运动其角速度不变，线速度的大小不变，线速度方向总是与半径垂直在不断变化，半径转过多少度，线速度的方向就改变多少度。故答案为Can=r 3 2看，向心加速度与半2思考 从公式an= 看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式 r径成正比，这两个结论是否矛盾？2分析 我们注意到，在公式y=kx中，说y与x成正比的

7、前提条件是 k为定值。同理，在公式an=中, r当v为定值时，an与r成反比；在公式an=r 3 2中，当3为定值时，an与r成正比。因此，这两个结论是在小齿轮后轮（图1）不同的前提下成立的，并不矛盾。思考 如图1所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A、B、C。其中哪两点向心加速度的关系适分析大、小齿轮用链条相连，因此两轮边缘上的点线速度必相等，即有 va=vb=v。又 aA= ，aB=2所以A、 B两点的向心加速度与半径成反比。小齿轮与后轮共轴，因此两者有共同的角速度，即有3 B= 3 C= 3,又aB=rBw 2, aC=rC3 2,所以B、C两点的

8、向心加速度与半径成正比。4 .匀速圆周运动的向心加速度的大小与线速度、角速度、圆周半径的关系。 由 an= 知：r 一定时，an* v2； v 一定时，a.* - ; 一定时，v2* r;rr（2）由 an=r 3 2 知：r 一定时， 為* 3 2; 3 定时，a“* r,一定时,例4如图所示为质点 P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线，表示质点 Q的图线是过原点的一条直线。由图线可知（）A .质点P线速度大小不变B .质点P的角速度大小不变C .质点Q的角速度随半径变化D .质点Q的线速度大小不变解析 根据图象提供的曲线的性质建立起质点做匀速圆周运动的

9、向心加速度系，再根据这个函数关系，结合向心加速度的计算公式作出判断。答案：A（例4）a随半径r变化的函数关点评 在利用图象解决物理问题时，要注意充分挖掘图象中所携带的信息，如：一个量随另一个量如何变化；变化的确切数量关系；斜率多大，其物理意义是什么？截距、面积各有什么意义等。同时还要注意把物理图象和具体的物理情景结合起来，考虑应该选取哪一个规律或公式解决问题。例5如图所示，一球体绕轴 0-02以角速度3旋转，A、B为球体上两点。下列说 法中正确的是（）A. A、 B两点具有相同的角速度B. A、 B两点具有相同的线速度C. A、 B两点具有相同的向心加速度D. A、 B两点的向心加速度方向都指

10、向球心解析 A、B都随球体一起绕轴 0-02旋转，转一周所用时间相等，故角速度相等，有（例5）3 A= 3 B= 3 , A做圆周运动的轨道平面与轴垂直，交点为圆心，故A的轨道半径a=OAsin60°,同理，B的轨道半径3rB=0B Sin30°，所以两者的线速度VA=rA3盲0A 3，-VB=rB 3 = 0B 3，显然，VA>VB 。23 2 2 - 0A 3, aB=r B3 =2 2又两者的向心加速度指向各自的圆心，所以并不指向球心。答案：两者的向心加速度aA=r A30B 32,显然，两者的向心加速度也不相等,例6如图所示，0、0-为两个皮带轮，0轮的半径为

11、r, 0-轮的半径为R,且R>r, M点为0轮边，则（）缘上的一点，N点为0-轮上的任意一点，当皮带轮转动时（设转动过程中不打滑）A . M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度B . M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度C . M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度D . M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度解析 因为两轮的转动是通过皮带传动的，而且皮带在传动过程中不打滑，故两轮边缘各点的线速度2大小一定相等。在大轮边缘上任取一点Q,因为R>r，所以由a=可知，r3相等。aQ<aM，再比较Q、N两点的向心加速度的大小，因为 知，aQ>aN，综上可见，Q、N是

12、在同一轮上的两点，所以角速度 aM>aN，因此A选项正确。又因为Rq>Rn,则由【同步检测】1.由于地球的自转,地球表面上各点均做匀速圆周运动，所以（A .地球表面各处具有相同大小的线速度B .地球表面各处具有相同大小的角速度C 地球表面各处具有相同大小的向心加速度D .地球表面各处的向心加速度方向都指向地球球心2 .下列关于向心加速度的说法中，正确的是（A .向心加速度的方向始终与速度的方向垂直B .向心加速度的方向保持不变C .在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D .在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化3.由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60 °

13、的物体2，则（A .它们的角速度之比 3 1 : 3 2=2 : 1B .它们的线速度之比 V1 : V2=2 : 1C.它们的向心加速度之比a1 : a2=2 : 1D .它们的向心加速度之比a1 : a2=4 : 14.关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是（2a=v/r，知a与r成反比a= 3 r，知a与r成正比A 由B 由C .由3 =v/r，知3与r成反比D 由3 =2 n n,知3与转速n成正比的转速为A . 1: 1B. 2: 1C. 4: 1D. 8: 16.如图所示皮带传动轮，大轮直径是小轮直径的 C是大轮上一点，C到圆心01的距离等于小轮半径, 则A、B、C三点的角速度之

14、比 3 A : 3 B : 3 c=_3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点， 转动时皮带不打滑。_，向心加速度大小之比 aA : aB : ac=（第 6 题）B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是 B球轨道半径的2倍，A30r/min , B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为（m的瞬间，滑轮边缘上的P点的角速度3 =rad/s，向心加速度 a=m/s2。&如图所示，摩擦轮 A和B通过中介轮C进行传(第 7 题)动，A为主动轮，A的半径为20 cm , B的半径为10 cm.则A、B两轮边缘上的点，角速度之比为;向心加速度之比7.如图所示，定滑轮的半

15、径 r=2 cm,绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重 物以加速度a=2 m/s2做匀加速运动。在重物由静止下落【综合评价】1.做匀速圆周运动的物体，下列哪个物理量是不变的A .线速度B .加速度C.角速度D .相同时间内的位移2 .匀速圆周运动特点是（）A 速度不变，加速度不变B.速度变化，加速度不变C .速度不变，加速度变化D.速度和加速度的大小不变,方向时刻在变3 .关于向心加速度，下列说法正确的是（A .向心加速度是描述速率变化快慢的物理量B .匀速圆周运动中的向心加速度恒定不变C .向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量D .向心加速度随轨道半径的增大而减小4

16、 .关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的是A .在赤道上向心加速度最大B .在两极向心加速度最大C .在地球上各处向心加速度一样大D .随着纬度的升高向心加速度的值逐渐减小5 .关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（A .它们的方向都沿半径指向地心B .它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴C .北京的向心加速度比广州的向心加速度大D .北京的向心加速度比广州的向心加速度小6.如图所示的皮带传动装置中， 轮A和B同轴，A、B、C分别是三个轮边缘上的质点,且A=rc=2B,则三个质点的向心加速度之比aA : aB： aC等于（）A . 4:2:1B.

17、2:1:2C. 1:2:4D. 4:1:47 .如图所示为绕轴 0转动的偏心轮，则轮上各点（A .线速度大小均不相同B .向心加速度与到轴 O的距离成正比C 角速度均不相同D .向心加速度大小相同&如图所示为一皮带传动装置。右轮的半径为（第8题）小是。严A11.如图为甲、ZiA乙两球做匀速圆径变化的图象，其rTn中甲的图线为双动时，线速度大小（填“变化”或度；乙球运（第10题）动时，线速度大12 .物体以30m/s的速率沿动，当物体从 A运动到B时，物体相对圆心转过的角度为周运动时向心加速度随半 曲线，由图象可知，甲球运“不变”、下同），角速 小，角速度。半径为60 m的圆形轨道运90

18、°，在这一过程中，试求:r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径 为4r，小轮的半径为2r, b点在小轮上，距小轮中心的距离为 r ,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上, 若在传动过程中皮带不打滑，则（）A . a点与b点的线速度大小相等B . a点与b点的角速度大小相等C. a点与c点的线速度大小相等D . a点与d点的向心加速度相等9. 一物体在水平面内沿半径R=20 cm的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度v=0.2m/s,那么，它的向心加速度为 m/s2，它的角速度为 rad/s，它的周期为 s。10. 一圆环，其圆心为 0,若以它的直径 AB为轴做匀速转动，如图所示，圆环上P、Q两点的线速度大小之比是 ;若圆环的半径是 20cm，绕