勾股定理及其逆定理错解剖析

1、勾股定理及其逆定理错解剖析勾股定理及其逆定理是初中数学的重要定理之一，由于初学，加之渗透了数形结合的思想，同学们在应用其解题时往往会出现一些错误.这里就这些常见的错误， 结合实例给大家进行剖析.一、对于公式切勿生搬硬套例 1 在 Rt ABC 中，/ A = 90° a= 6, b = 3,求 c.错解：由勾股定理，得c . a2 b2,62 32 3 5.剖析：本题错在生搬硬套公式，只注意公式的表面形式，错误地认为c就一定是斜边,而本题中实际上是/ A= 90°即a才是斜边，公式应为：b2+c2=a2.正解：因为/ A= 90°所以由勾股定理，得 b2+c2=a

2、2;所以 ca2 b2.62 32 3 3 .二、求边漏解例 2 在 Rt ABC 中，a = 6，b= 8，求 c.错解：由勾股定理得：a2+ b2=c2，从而c . a2 b2 . 6 82 10 .剖析：本题也是错在默认为/ C为直角，而事实上，本题并没有明确告之哪个角是直角， 因此由b>a，Z B与/ C都可能为直角，这时应分情况讨论.正解：(1)当/ C=90°时，由勾股定理得，c . a2 b262 32 3. 5 .(2)当/ B=90°时，由勾股定理得，b2=c2+a2；所以 c . b2 a2、82 62 2.7 .三、勾股定理”与其逆定理”混淆不清

3、例3 在厶ABC中，a= 12， b= 5， c= 13，试判断 ABC是不是直角三角形.错解：因为 a2+b2=122+52=169，c2=132=169，所以 a2+b2=c2.由勾股定理可知厶 ABC为直角三角形.剖析：本题错在混淆了勾股定理和它的逆定理，其实本题应依据勾股定理的逆定理来判 断厶ABC为直角三角形.正确的解法是把错解中的最后一行改为：根据勾股定理的逆定理 可知 ABC为直角三角形.四、推理错误例4 已知：在厶ABC中，三条边长分别为 a、b、c, a=n2 1, b= 2n, c= n2+ 1 (n> 1),求/ C的度数.错解：因为(n2-i) 2+ (2n) 2

4、= (n2+1) 2,即 n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1 ,所以 a2+b2=c2,所以由勾股定理逆定理可知/C= 90°剖析：本题错在推理错误，一开始列出(n2-i) 2+ (2n) 2=(冷+1) 2这个等式，其实就等于默认了 a2+b2=c2，这是错误的，应像例 3那样推理.正解：因为 a2+b2= (n2-1) 2+ (2n) 2= n4-2n2+1+ 4n2= n4+2n2+1;而 c2= (n2+1) 2=n4+2n2+1,所以 a2+b2=c2.所以由勾股定理的逆定理可知/C= 90°避免出现类似错通过这些实例的剖析，望同学们仔细体会勾股定理及其逆

5、定理的应用, 误.勾股定理中的易错题辨析一、审题不仔细，受定势思维影响例1在厶ABC中，A, B, C的对边分别为a,b,c,且（a b）（a b） c2，则（）（A） A为直角（B） C为直角（C） B为直角（D）不是直角三角形错解：选（B）分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为C，因而有同学就习惯性的认为 C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误该题中的条件应转化为a2 b2c2，即a2b2c2，因根据这一公式进行判断.正解：Q a2b2 c2a2b2 c2.故选（a）例2已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长.错解：第三边长为.32 4225 5.分

6、析：因学生习惯了 勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为 3和4时，斜边长为 5但这一理解的前提是 3、4为直角边而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能 为斜边，但也可能为直角边 正解：（1）当两直角边为 3和4时，第三边长为'一 32 4225 5 ；（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.42 32. 7 .二、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理例3下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）（A） 1、2、3（B） 32,42,52（C） ,1.2. 3（ D），、3,盲八5错解：选（B）分析：未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形

7、式判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足a2 b2 c2的形式2 _ 2 2正解：因为 J .2,3 ，故选（C）例4在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8海里的速度前进， 乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？错解：甲船航行的距离为 BM= 8 216 （海里），乙船航行的距离为 BP=15 2 30 （海里）:、162 302 34 （海里）且MP=34 （海里） MBP为直角三角形， MBP 90 ,乙船是沿着南偏东 30方向航行的.分析：虽然最终判断的结果也是对的，但这解题过程中存在问题勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理其形式为 若a2 b2 c2，则 C 90.错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，导 致错误运用.正解：甲船航行的