高考数学专题复习讲练测——专题七 直线与平面 专题复习讲练 1 异面直线

1、§1异面直线一、复习要点1本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离2异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点3要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线4在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性5对异面直线所成的角，要注意：深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想；异面直线所成角的范围为0°90°，故有时平移后需求其补角

2、；解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角6高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形例见1999年高考立体几何解答题的第2问二、例题讲解例1已知、是两两异面的三条直线，且，是、的公垂线若，那么与有何位置关系?并说明理由讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点根据本题的特点，可考虑构造正方体构造正方体-，如图7-1所示，因为AB与CC异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记、分

3、别为、 图7-1因为与、均异面，且，注意到侧面，因此侧面内的任一直线均与垂直从图中可以看出，侧面内的和均与、异面，且均与垂直，所以可记或为此时由知；由与BC异面知与为异面直线综上可知与平行或异面正方体是一个很简单且很重要的几何模型构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）A两条平行直线B两条相交直线C一条直线和直线外一点D两个点（2）在空间中，记集合M=与直线l不相交的直线，集合N=与直线l平行的直线，则M与N的关系是（）AM=NBMNCMND不确定（3）a、b、c是空间

4、中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）A若ab,bc，则acB若ab,bc,则acC若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）A异面直线B相交直线C平行直线D垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-中，EF是异面直线和AC的公垂线，则直线EF和B的关系是（）图7-2异面平行相交且垂直相交且不垂直 例2在正三棱柱-中，若，则AB与所成的角的大小为（）60°90°105°75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）欲求异面直线AB与C所成角的大小，需进行异面直

5、线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1设、的中点依次为、，连结PH、显然有（12），（12），则即为所求异面直线所成的角连结PF，并设BB1，则正三棱柱的底面边长为易求得（2）取BC的中点E，连结PE、易知是在中，求得（32）显然有故90°，选若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移从而又有如下两种方法：解法2如图7-4，延长AB到D，使，作，连B、图7-4，则即为所求异面直线所成的角易求得，2·60°又，90°解法3可从B作一射线与BC平行，由于这

6、样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱作直三棱柱-，使为之中点（图7-5），连结、，图7-5，则即为所求异面直线所成的角易求得90°究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试 例3正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CEED12，求异面直线AE与BC间的距离讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法这里宜用方法三异面直线间

7、的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解如图7-6，在面BCD内过点E作EFBC交BD于F连结AF，则BC面AEF，所以异面直线BC与AE间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6VB-AEF-，（13）SAEF·d=（13）SBEF·h，d=（SBEF·hSAEF）.过点A作AO面BCD于O，DEEC21且EFBC，O必在EF上h=（3）a，易求得EF=（23）a，SAEF（12）EF·AO（9）a，SBEF（18）a，d=（6）a.即异面直

8、线AE与BC间的距离为（6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则三、专题训练1、是异面直线，过不在、上的任一点，一定可作一条直线，使与、都相交；一定可作一条直线，使与、都垂直；一定可作一条直线，使与、都平行；一定可作一条直线，使与、都异面其中正确的个数是（）01232如图7-7，正三棱锥-中，D、E、F分别是、的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）图7-7632随P点的变化而变化 3将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角

9、，若60°，120°，则两条对角线之间的距离的最值为（）Admax=（32）a,dmin=（4）aBdmax=（34）a,dmin=（4）aCdmax=（4）a,dmin=（14）aDdmax=（2）a,dmin=（34）a4图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60°角；DM与BN垂直图7-8以上四个命题中，正确命题的序号是（） 5如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于_.图7-96空间四边形ABCD中，、分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD和BC所成角的度数是_7异面直线、所成的角为（0（2），若，则_8如图7-10，不共面的三条直线、相交于P，、B，c， 且、均异于P证明：直线AD与BC异面图7-10