第2节二重积分的计算ppt课件

1、第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二重积分的计算法 第九章 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 那么)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y 型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(那么机动

2、 目录 上页 下页 返回 完毕 当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oxy说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyx

3、fyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD那么 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xy211xy o221d y例例1. 计算计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. x解法解法1. 将将D看作看作X型区域型区域, 那那么么:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, 那那么么:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y机动 目录 上页 下页 返回

4、 完毕 例例2. 计算计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线那么 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 计算计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinx

5、x0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域 , 那么282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5.

6、 计算计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如下图)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkk

7、krrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域D 为krkrkkkr机动 目录 上页 下页 返回 完毕 kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD那么Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别, 对对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD机动 目录 上页 下页

8、返回 完毕 假设 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd考虑考虑: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例6. 计算计算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下在极坐标系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 注注:利用例6可得到一个在概

9、率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上, 当D 为 R2 时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例6的结果, 得)1 (limd42220aaxexe故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例7. 求球体求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结(1) 二重积分

10、化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD那么)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD那么xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(那么)()(21d)sin,cos(drrrrf极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r机

11、动 目录 上页 下页 返回 完毕 (3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 练练 习习1. 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx解解:交换积分顺序后, x , y互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyf