311　空间向量及其线性运算

1、 我们已经学过平面向量的运算及其性质，知道我们已经学过平面向量的运算及其性质，知道在平面内在平面内既有大小又有方向的量叫既有大小又有方向的量叫平面平面向量向量.问题情境问题情境那么，类比平面向量，空间向量如何进行运算？那么，类比平面向量，空间向量如何进行运算？它们具有什么性质？平面向量所具有性质在空间向量中它们具有什么性质？平面向量所具有性质在空间向量中也成立吗？也成立吗？那么我们进行推广：那么我们进行推广：在空间在空间，既有大小又有方向的量叫，既有大小又有方向的量叫空间空间向量向量.如位移、力、速度、加速度等如位移、力、速度、加速度等.平面向量是特殊的空间向量平面向量是特殊的空间向量.复习回

2、顾复习回顾平面向量平面向量: :1.定义定义：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.几何表示法：几何表示法：字母表示法字母表示法：相等向量相等向量：ABCD长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量用小写字母表示，或者用表示向量的用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示有向线段的起点和终点字母表示.用有向线段表示用有向线段表示阅读教材阅读教材P81-82填写下表填写下表平面向量平面向量空间向量空间向量定义定义表示法表示法向量的模向量的模相等向量相等向量相反向量相反向量单位向量单位向量零向量零向量aABABaaABAB 几何表示法几何表示法几何表示法几何表示法字母

3、表示法字母表示法 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小 向量的大小向量的大小空间向量的基本概念空间向量的基本概念（平面向量与空间向量性质比较）（平面向量与空间向量性质比较）长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量长度相等且方向相反的向长度相等且方向相反的向量量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量模为模为1的向量的向量模为模为1的向量的向量长度为零的向量长度为零的向量长度为零的向量长度为零的向量aABB零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的如何理解零

4、向量的方向？如何理解零向量的方向？平面向量平面向量概念概念加法加法减法减法运算运算运运算算律律定义定义 表示法表示法相等向量相等向量减法减法: :三角形法则三角形法则加法加法: :三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量()()abcabc abba 加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律abba 加法交换律加法交换律()()abcabc 加法结合律加法结合律数乘分配律数乘分配律数乘分配律数乘分配律空间向量及其加减与数乘运算空间向量及其加减与数乘运算()k abkakb ()k abkakb 例例1 1 如图，在三棱柱中，如图，

5、在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：化简得到的向量： （1） ； （2） ； （3） . 数学应用数学应用1CBBA 112ACCBAA 1AAACCB 例例2 如图，在长方体中，如图，在长方体中，OA3，OB4，OC2，IOJOK1，点点E，F分别是分别是DB，的中点，的中点.设设 ，试用向量试用向量 表示表示 和和 OIiOJjOKk ， ，, ,i j k OE .OF 练一练练一练（1）正方体正方体AC1 1中，点中，点E，F分别为棱分别为棱BC和和A1D1 1的中点，的中点，求证：四边形求证：四边形DEB1F为平行四边形为平行四边形. .（2）已知空间四边形）已知空间四边形ABCD，连结，连结AC，BD，设设M，G分别是分别是BC，CD的中点，的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：化简下列各表达式，并标出化简结果向量：BACDGM(1)1(2)()21(3)()2ABBCCDABBDBCAGABAC 回顾小结回顾小结本节课学习了以下内容：本节课学习了以下内容：1空间向量的定义与运算法则