数学必修ⅴ北师大版3.4 第3课时简单线性规划的应用学案+练习

1、第3课时简单线性规划的应用知能目标解读1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题.2.能利用简单线性规划知识解决实际问题.重点难点点拨重点：1.准确理解题意，由线性约束条件列出不等式，找出目标函数.2.数形结合找出最优解的存在位置，特别是整数最优解问题.难点：最优解存在位置的探求和整点最优解的找法.学习方法指导1.列线性规划问题中的线性约束条件不等式时，要准确理解题意，特别是“至多”、“至少”“不超过”等反映“不等关系”的词语.还要注意隐含的限制条件，如x、y是正数.x、y是正整数等等.有时候把约束条件用图示法或列表表示，便于准确的写出不等式组.2.线性规划的应用：线性规划也是求值的一

2、种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列出这些限制条件，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数.其次是准确找到目标函数，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清.应用线性规划的方法，一般须具备下列条件：（1）一定要能够将目标表达为最大或最小化的问题；（2）一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同选择的可能性存在；（3）所求的目标函数是有约束（限制）条件的；（4）必须将约束条件用数字表示为线性等式或线性不等式，并将目标函数表示为线性函数.线性规划的理论和方法经常被应用于两类问题中：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一

3、项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.3.解线性规划应用题的步骤：（1）转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(2)求解解这个纯数学的线性规划问题.求解过程：作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.平移将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置.求值解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.（3）作答就应用题提出的问题作出回答.4.可行域内最优解为整点的问题的处理用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精确度要求较高，平行直线系f(x,y)t的

4、斜率要画准，可行域内的整点要找准.那么如何解决这一实际问题呢？确定最优整数解常按以下思路进行：(1)若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解（在包括边界的情况下）；(2)若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用格法，即先在可行域内打格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解.这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范.(3)采用优值调整法，此法的一般步骤为：先求出非整点最优解及其相应的最优值；调整最优值，代入约束条件，解不等式组；根据不等式组的解筛选出整点最优解.知能自主梳理线性规划解决的常见问题有问题、问题、问题、问题、问题等.答案物资

5、调配产品安排合理下料产品配方方案设计思路方法技巧命题方向求实际应用问题中的最大值例1某公司计划2011年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？分析设出未知数，列出约束条件，作出可行域，确定最优解.解析设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元.由题意得x+y300500x+200y90000

6、，目标函数为z=3000x+2000y.x0，y0 x+y300二元一次不等式组等价于 5x+2y900 ，x0，y0作出可行域（如图所示），如上图，作直线l:3000x+2000y=0,当直线z=3000x+2000y过点M时，z最大. x+y=300由 ，得M（100，200）.5x+2y=900zmax=3000×100×+2000×200=700 000(元).因此该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大值为70万元.说明解答线性规划应用题应注意以下几点：（1）在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真

7、审题非常重要；（2）线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；（3)结合实际问题，分析未知数x、y等是否有限制，如x、y为正整数、非负数等；（4）分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；（5）图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范.但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解.变式应用1某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况

8、（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）空调机洗衣机成本3020300劳动力(工资)510110单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？解析设生产空调机x台，洗衣机y台，则30x+20y30000，5x+10y11000x，yN, 3x+2y3000即 x+2y2200，利润z=6x+8y. x,yN 3x+2y=3000 x=400 由 ，得 . x+2y=2200 y=900画图可知当直

9、线6x+8y=z经过可行域内点A（400，900）时，z取最大值，zmax=6×400+8×900=9600（百元）.答：当生产空调机400台，洗衣机900台时，可获最大利润96万元.命题方向求实际应用问题中的最小值例2某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C.一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上

10、述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？分析可以先设出未知数，列出约束条件和目标函数，再在可行域内找出最优解.解析设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z=2.5x+4y,且x,y满足x0，y0,x0，y012x+8y64.即 3x+2y16 .6x+6y42 x+y76x+10y54 3x+5y27让目标函数表示的直线2.5x4y=z在可行域上平移.由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.(如图)因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求.变式应用2某公司租赁甲、乙两种设备生

11、产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元.答案2300分析甲、乙两种设备每天生产A类、B类产品件数已知；甲、乙两种设备的租赁已知；生产A类、B类产品数量已知.解答本题可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解.解析设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，租赁费z元， 5x+6y50由题意得 10x+20y140x,y0且x,yN,z=200x+300y.作出如图所示的可行域

12、.令z=0,得l0:2x+3y=0,平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值. 5x+6y=50又由 ，得A点坐标为（4，5）.10x+20y=140所以zmax=4×200+5×300=2300.探索延拓创新命题方向线性规划中的整点问题例3要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板212第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少.解析设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张.2x+

13、y15可得x+2y18，且x,y都是整数，2x+3y27x0,y0求目标函数z=x+y取最小值时的x,y.作出可行域如图所示：平移直线z=x+y可知直线经过点（，）时，z取最小值.此时x+y=，但与都不是整数，所以可行域内点（，）不是最优解.如何求整点最优解呢？法一：平移求解法：首先在可行域内打格，其次找出A（）附近的所有整点，接着平移直线l:x+y=0，会发现当移至B（3，9），C（4，8）时，直线与原点的距离最近，即z的最小值为12.法二：特值验证法:由法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A0（0，15），A1（1，13），A2（2，1

14、1），A3（3，9），A4（4，8），A5（5，8），A6（6，7），A7（7，7），A8（8，7），A9（9，6），A10（10，6），A27（27，0）.将这些点的坐标分别代入z=x+y，求出各个对应值，经验证可知，在整点A3（3，9）和A4（4，8）处z取得最小值.法三：调整优值法:由非整点最优解（）知，z=,z12，令x+y=12,则y=12-x代入约束条件整理，得3x,x=3,x=4，这时最优整点为（3，9）和（4，8）.变式应用3某人有楼房一幢,室内面积共计180 m2，拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名旅客每天住宿费40 元；小房间每间面

15、积为15 m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？解析设隔出大房间x间，小房间y间，收益为z元，则x,y满足18x+15y180 6x+5y601 000x+600y8 000，即 5x+3y40x0，y0， x0，y0z=200x+150y.作出可行域，如图所示.当直线z=200x+150y经过可行域上的点M时，z最大. 6x+5y=60解方程组 ，得点M的坐标为（），5x+3y=40由于点B的坐标不是整数，而最优解（x,y）是

16、整点，所以可行域内点M（）不是最优解.经验证：经过可行域内的整点，且使z=200x+150y取得最大值，整点是（0，12）和（3，8），此时zmax=1800元.答：应只隔出小房间12 间，或大房间3 间、小房间8 间，可以获得最大利润，最大利润为1800元.名师辨误做答例4已知一元二次方程x2+ax+b=0的一个根在-2与-1之间，另一个根在1与2之间，如图示以a,b为坐标的点（a,b）的存在范围.并求a+b的取值范围.误解令f（x）=x2+ax+b.由题设f（-2）0 2a-b-40 f（-1）0 ， a-b-10 ， f（1）0 a+b+10f（2）0 2a+b+40 作出平面区域如图.

17、令t=a+b，则t是直线b=-a+t的纵截距，显然当直线b=-a+t与直线a+b+1=0重合时，t最大，tmax=-1.当直线b=-a+t经过点（0，-4）时.t最小，tmin=-4，-4t-1.辨析误解中忽视了点（a,b）的存在范围不包含边界.正解令f（x）=x2+ax+b.由题设f（-2）0 2a-b-40f（-1）0， a-b-10f（1）0 a+b+10f（2）0 2a+b+40 ,作出平面区域如图.令t=a+b，则t是直线b=-a+t的纵截距，显然当直线b=-a+t与直线a+b+1=0重合时，t最大，tmax=-1.当直线b=-a+t经过点（0，-4）时.t最小，tmin=-4，又点

18、（a,b）的范围是如图阴影部分且不含边界，-4<t<-1.课堂巩固训练一、选择题1.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元答案D解析设生产甲产品x吨，乙产品y吨时，则获得的利润为z5x+3y.x0由题意，得 y0 ，3x+y132x+3y18可行域如图阴影所示.由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此

19、时x=3,y=4, z=5×3+3×427（万元）.2.有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，设需载重6吨的汽车有x辆，载重4吨的汽车y辆，则完成这项运输任务的线性目标函数为（）A.z=6x+4yB.z=5x+4yC.z=x+yD.z=4x+5y答案A3.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超

20、过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（）A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱答案B解析设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知x+y7010x+6y480，x0y0甲、乙两车间每天总获利为z=280x+200y.画出可行域如图所示.点M（15，55）为直线x+y=70和直线10x+6y=480的交点，由图像知在点M（15，55）处z取得最大值.二、填空题4.(2010·陕西)铁矿石A和B的含铁率为a,冶炼每万吨

21、铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c，如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为（百万元）.答案15解析设购买A,B两种矿石分别为x万吨、y万吨,购买铁矿石的费用为z百万元，则z=3x+6y.由题意可得约束条件为1.9x+y2 ，x0y0作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z=3x+6y在点A（1，2）处取得最小值,zmin=3×1+6×2=15.课后强化作业一、选择题1.在ABC中，三顶点分别为A（2，4），B（-1，2），C（1，0），点P（x

22、，y）在ABC内部及其边界上运动，则m=y-x的取值范围为（）A.1，3B.-3，1C.-1，3D.-3，-1答案C解析直线m=y-x,斜率k1=1kAB=，经过C时m最小为-1，经过B时m最大为3. x+y-302.设z=x-y，式中变量x和y满足条件 ，则z的最小值为（）x-2y0A.1B.-1C.3D.-3答案A解析作出可行域如图中阴影部分.直线z=x-y即y=x-z.经过点A（2，1）时，纵截距最大，z最小. zmin=1.3.(2011·安徽理，4)设变量x,y满足|x|+|y|1,则x+2y的最大值和最小值分别为（）A.1,-1B.2,-2C.1,-2D.2,-1答案B解

23、析本题主要考查线性规划问题.不等式|x|+|y|1表示的平面区域如图所示，当目标函数z=x+2y 过点(0,-1),(0,1)时，分别取最小和最大值，所以x+2y的最大值和最小值分别为2,-2,故选B.4.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为（）货物体积每箱(m3)重量每箱50 kg利润每箱(百元)甲5220乙4510托运限制2413A.4，1B.3，2C.1，4D.2，4答案A 5x-11y-225.某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件 2x+3y9 ，则z=10x

24、+10y2x11的最大值是（）A.80B.85C.90D.95答案C 5x-11y-22解析画出不等式组 2x+3y9 表示的平面2x11区域，如右图所示.x=由 ，解得A()5x-11y=-22 而由题意知x和y必须是正整数，直线y=-x+向下平移经过的第一个整点为（5，4）.z=10x+10y取得最大值90，故选C. x+y-106.已知 x-y+10,z=x2+y 2-4x-4y+8，则z的最小值为（）y1A.B.C.D.答案B解析画出可行域如图所示.z=(x-2) 2+(y-2) 2为可行域内的点到定点（2，2）的距离的平方，zmin= ()2=.7.某学校用800元购买A、B两种教学

25、用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为（）A.2件，4件B.3件，3件C.4件，2件D.不确定答案B解析设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则x1y1 ，100x+160y800求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解（x,y），用图解法求得整数解为（3，3）.8.(2011·四川理，9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运

26、送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=（）A.4650元B.4700元C.4900元D.5000元答案C解析设当天派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得2x+y19x+y1210x+6y720x8 .0y7x,yN设每天的利润为z元，则z450x+350y.画出可行域如图阴影部分所示 x+y=12由图可知z=450x+350y=50(9x+7y),经过点A时取得最大值，又由 得2x+y=19x=7 即A(7，5)y=5当x=7,y=5时，z取到最大值，zmax=450×7350

27、15;54900（元）.故选C.二、填空题 x+y19.设x、y满足约束条件 yx ，则z=2x+y的最大值是.y0答案2解析可行域如图,当直线z=2x+y即y=-2x+z经过点A（1，0）时，zmax=2. yx,10.(2011·湖南文，14)设m>1,在约束条件 ymx，下，目标函数z=x+5y的最大值为4， x+y1则m的值为.答案3解析本题是线性规划问题.先画出可行域，再利用最大值为4求m.由m>1可画出可行域如图所示，则当直线z=x+5y过点A时z有最大值.由y=mx 得A(),代入得=4,x+y=1即解得m=3.11.某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送1

28、80t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车为320元，B型卡车为504元.每天调配A型卡车辆，B型卡车辆，可使公司所花的成本费用最低.答案52解析设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，x8y4 0x8 x+y10 0y4依题意有 4x·6+3y·10180 x+y10 .x0,y0 4x+5y30x,yN x,yN目标函数z=320x+504y(其中x,yN).作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示，即可行域.

29、由图易知，直线z=320x+504y在可行域内经过的整数点中，点（5，2）使z320x+504y取得最小值，z最小值320·5504·22608（元）.12.购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张.如果小明带有10元钱，共有种买法答案12解析设购买8角和2元邮票分别为x张、y张，则0.8x+2y10 2x+5y25x,yN，即x2 .x2,y2 y2x,yN2x12，2y5，当y=2时，2x15，2x7，有6种；当y=3时，2x10，2x5，有4种；当y=4时，2x5，2x2，x=2有一种；当y=5时，由2x0及x0知x=0，故有一种.综上可知，不同买法有：6+4+1+1=12种.三、解答题13.制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g.已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g.甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.解析设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则3x+2y1