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
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文档简介
1、1插值与拟合1、 已知( 101x f x e x =+-(1) 求函数在0,0.2,0.4,0.6,0.8,1x =处的函数值;(2) 对上述数据进行多项式插值,作出多项式5( y P x =的图像,与原函数图象比较;(3) 对上述数据做线性拟合,作出多项式1( y P x =的图像;(4) 构造( f x 在0,1区间内的5次切比雪夫多项式5( T x ,并作出图像。1问题分析本大题是关于 插值问题(详细理论分析,知识积累,我在日志中给了总结)问题1: 建立函数问题,并求其函数值。求得:yy =0 2.2214 4.4918 6.8221 9.2255 11.7183问题2:是牛顿插值法应
2、用问题:我首先建立差分表,在根据差分表求牛顿插值多项式。A =0 0 0 0 0 0 00.2000 2.2214 2.2214 0 0 0 00.4000 4.4918 2.2704 0.0490 0 0 0 0.6000 6.8221 2.3303 0.0599 0.0109 0 00.8000 9.2255 2.4034 0.0731 0.0133 0.0024 01.0000 11.7183 2.4927 0.0893 0.0162 0.0029 0 图:问题3:是线性拟合问题:先定义内积函数,再列出法方程,然后求解,最后编出多项式函数结果:y=-0.1059+11.7049x 问题4
3、:是切比雪夫插值问题:先生成切比雪夫点,再列出差分表,再插值 t =0.98,0.85,0.63,0.37,0.15,0.017差分表A =0.9800 11.4645 0 0 0 0 00.8500 9.8396 -1.6248 0 0 0 0 0.6300 7.1776 -2.6620 -1.0372 0 0 00.3700 4.1477 -3.0299 -0.3678 0.6694 0 00.1500 1.6618 -2.4859 0.5440 0.9118 0.2424 00.0170 0.1871 -1.4747 1.0112 0.4672 -0.4446 0图 2问题解答:(1)建
4、立函数:function y=funzhu(xy=exp(x+10*x-1;endxx=0:0.2:1;yy=zeros(1,6;for i=1:length(xxyy(i=funzhu(xx(i;结果:yy =0 2.2214 4.4918 6.8221 9.2255 11.7183(2 对上述数据进行多项式插值,作出多项式5( y P x 的图像,与原函数图象比较;1. 阶数为7的均差的程序:global An=length(xx;n=6;A=zeros(n,n+1;A(:,1=xx;A(:,2=yy;for j=3:n+1for i=j-1:nA(i,j=(A(i,j-1-A(i-1,j
5、-1/(A(i,1-A(i-(j-2,1; endendA差分表结果:A =A =0 0 0 0 0 0 0 0.2000 2.2214 2.2214 0 0 0 0 0.4000 4.4918 2.2704 0.0490 0 0 0 0.6000 6.8221 2.3303 0.0599 0.0109 0 0 0.8000 9.2255 2.4034 0.0731 0.0133 0.0024 0 1.0000 11.7183 2.4927 0.0893 0.0162 0.0029 02. 建立多项式P5函数:function y=Pn(xglobal Am,n=size(A;y=0;for
6、i=1:madd=A(i,i+1;if i1for j=1:i-1add=add*(x-A(j,1;endendy=y+add;画图:x=0:0.05:1;fplot(funzhu,0,1,y*hold onfplot(Pn,0,1,r (3) 对上述数据做线性拟合,作出多项式1( y P x 的图像; g0=0;g1=0;g2=0;G1=0;G2=0;for i=1:length(xxg0=1+g0;g1=g1+xx(i;g2=g2+xx(i2;G1=G1+yy(i;G2=G2+yy(i*xx(i;endA=g0,g1;g1,g2;G=G1;G2;d=AG结果:d =-0.105911.70
7、49所以 :y=-0.1059+11.7049x画图:x=0:0.2:1;fplot(funzhu,0,1,y*hold onfplot(Pn,0,1,r hold ony=-0.1059+11.7049*x;plot(x,y,b+ (4)构造( f x 在0,1区间内的5次切比雪夫多项式5( T x ,并作出图像。y=(1/2*(1+cos(2*k+1*pi/10;在0,1求切比雪夫多项式5( T x 的零点:t =0.98,0.85,0.63,0.37,0.15,0.017 差分表A =0.9800 11.4645 0 0 0 0 0 0.8500 9.8396 -1.6248 0 0 0
8、 0 0.6300 7.1776 -2.6620 -1.0372 0 0 0 0.3700 4.1477 -3.0299 -0.3678 0.6694 0 0 0.1500 1.6618 -2.4859 0.5440 0.9118 0.2424 0 0.0170 0.1871 -1.4747 1.0112 0.4672 -0.4446 0x=0:0.2:1;fplot(funzhu,0,1,y*hold onfplot(Pn1,0,1,r hold ony=-0.1059+11.7049*x; plot(x,y,b+ hold ont= 0.98 0.85 0.63 0.37 0.15 0.0
9、17 fplot(Pn,0,1,g 2数值积分2考虑如下形式的数值积分公式311( ( k k k f x dx A f x -=,函数: ( 101x f x e x =+-(1)此形式的数值积分公式中,代数精度最高的是哪个? (2)现设定031, 1x x =-=,求12, x x 及0123, , , A A A A ,使代数精度尽可能高。(3)用上述两种公式计算f (x )=( 101x f x e x =+-在1,1-内的积分,比较误差。 (4)用上述两种公式计算f (x )=( 101x f x e x =+-在0,1内的积分,比较误差。(5)用上述两种公式构造复合求积公式,计算f
10、 (x )=( 101x f x e x =+-在0,10内的积分,1问题分析本大题是关于 求积分问题(详细理论分析,知识积累,我在日志中给了总结)问题1: 代数精度最高的为 高斯公式: n+1个高斯节点具有2n+1次代数精度。问题2是求代数精度问题: 为了使其代数精度尽可能高,老师使其未知数变多; 我根据代数精度定义解题:根据p (100)例1; 结果:=(15511+-166 66f f f f ; 因为当6(=f x x 时 (1-12=7f x dx ;(63=015=+33k k k A f x ; 所以(31-1=0kkk f x dx A f x 所以代数精度为:5问题3:代数精
11、度公式在区间-1,1: 已知x=1 -1 Y=11.7183 5.0361 -4.8327 -10.6321ans =(31-1=0=kkk f x dx A f x =0.3505误差:311m+1101K=m+1!m k k k x dx A x +-=-=( -9.0000e-005高斯勒朗德:在区间-1,1已知:x=-0.8613,-0.3399,0.3399,0.8611 Y=-9.6579, -5.8014, 6.0981, 10.5366ans =(31-1=0=kkk f x dx A f x = 0.3502余项:Rn=23322(1!(23(22!n n n n + =(8
12、1.1997e-008(01 f 问题4:当(区间)相同时复合高斯-勒让德求积分的误差比代数精度算法的小。代数精度公式在区间0,1:用区间变换将区间0,1换成-1,1 X=1/2t+1/2 已知x=-1 1变成0,(1/2-1/(5(1/2),(1/2+1/(5(1/2,1 Y=0, 0.5821, 11.0507, 11.7183ans =(31-1=0=kkk f x dx A f x =11.6471误差:-9.0000e-005高斯勒朗德:在区间0,1用区间变换将区间0,1换成-1,1X=1/2t+1/2将x=-0.9062, -0.5385, 0, 0.5385, 0.9062变成0
13、.0469,0.2308,0.5,0.7692,0.9531 Y= 0.5170, 2.5676, 5.6487, 8.8500, 11.1247ans =(31-1=0=kkk f x dx A f x = 11.7183余项:Rn=(233(22 32(1!(23(22!n n n f n n +=(8 1.1997e-008(01 f 当(区间)相同时复合高斯-勒让德求积分的误差比代数精度算法的小。问题5复合代数精度公式:第一步:由于n10,所以只能将其分成两段: 将0,10分成0,5和5,10;第二步:用区间变换将0,5变成-1,1; x=55t+22;则将x=-1 1变成0,(-5(
14、1/2/2+5/2, (5(1/2/2+5/2,5 将5,10变成-1,1;x=515t+22; 则y=0,16.8024, 72.4446,197.4132 则将x=-1 1变成5, (-5(1/2/2+15/2, (5(1/2/2+15/2,10 则y=197.4132, 653.9083, 5.6157e+003, 2.2125e+004(10=f x dx (k+1kn-1x x k=0f x dx =311m+1101K=m+1!m k k k x dx A x +-=-=((155551151551510+5(5+1066 2626662626f f f f f f f f +()
15、=2.1024e+004 误差: K= -1992对于n=2的情况进行复合积分,就是将区间平分成0,5和5,10分别进行积分复合高斯-勒让德求积分第一步:由于n10,所以只能将其分成两段: 将0,10分成0,5和5,10;第二步:用区间变换将0,5变成-1,1; x=55t+22;则将X=-0.8611,-0.3399,0.3399,0.8611变成0.3472,1.6503,3.3498,4.6528 则y=3.8871,20.7115,60.9950,150.4062用区间变换将5,10变成-1,1; x=515t+22;则将X=-0.8611,-0.3399,0.3399,0.8611变
16、成5.3472,6.6502,8.3498,9.6528 则y=262.4914,838.4409,4.3118e+003,1.5661e+004(10=f x dx (3312=0=0+kk kk k k A f x A f x =106.8206+2.38967e+004=2.4004e+004误差:Rn=(2.4004e+004)-(2.3016e+004)=988当(等分的段数)相同时复合高斯-勒让德求积分的误差比代数精度算法的小。2问题解答:(1)是高斯公式 (2)012301122322011223330112234401122355011223+=2-+x +x +=02+x +x +=3-+x +x +=02+x +x +=5-+x +x +=0AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA程序:a=A1+A2+A3+A0=2; b=-A0+A1*x1+A2*x2+A3=0; c=A0+A1*x12+A2*x22+A3=2/3; d=-A0
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