数值分析1插值和积分及matlb实现

1、1插值与拟合1、 已知( 101x f x e x =+-（1） 求函数在0,0.2,0.4,0.6,0.8,1x =处的函数值；（2） 对上述数据进行多项式插值，作出多项式5( y P x =的图像，与原函数图象比较；（3） 对上述数据做线性拟合，作出多项式1( y P x =的图像；（4） 构造( f x 在0,1区间内的5次切比雪夫多项式5( T x ，并作出图像。1问题分析本大题是关于 插值问题（详细理论分析，知识积累，我在日志中给了总结）问题1： 建立函数问题，并求其函数值。求得：yy =0 2.2214 4.4918 6.8221 9.2255 11.7183问题2：是牛顿插值法应

2、用问题：我首先建立差分表，在根据差分表求牛顿插值多项式。A =0 0 0 0 0 0 00.2000 2.2214 2.2214 0 0 0 00.4000 4.4918 2.2704 0.0490 0 0 0 0.6000 6.8221 2.3303 0.0599 0.0109 0 00.8000 9.2255 2.4034 0.0731 0.0133 0.0024 01.0000 11.7183 2.4927 0.0893 0.0162 0.0029 0 图：问题3：是线性拟合问题：先定义内积函数，再列出法方程，然后求解，最后编出多项式函数结果：y=-0.1059+11.7049x 问题4

3、：是切比雪夫插值问题：先生成切比雪夫点，再列出差分表，再插值 t =0.98,0.85,0.63,0.37,0.15,0.017差分表A =0.9800 11.4645 0 0 0 0 00.8500 9.8396 -1.6248 0 0 0 0 0.6300 7.1776 -2.6620 -1.0372 0 0 00.3700 4.1477 -3.0299 -0.3678 0.6694 0 00.1500 1.6618 -2.4859 0.5440 0.9118 0.2424 00.0170 0.1871 -1.4747 1.0112 0.4672 -0.4446 0图 2问题解答：（1）建

4、立函数：function y=funzhu(xy=exp(x+10*x-1;endxx=0:0.2:1;yy=zeros(1,6;for i=1:length(xxyy(i=funzhu(xx(i;结果：yy =0 2.2214 4.4918 6.8221 9.2255 11.7183(2 对上述数据进行多项式插值，作出多项式5( y P x 的图像，与原函数图象比较；1. 阶数为7的均差的程序：global An=length(xx;n=6;A=zeros(n,n+1;A(:,1=xx;A(:,2=yy;for j=3:n+1for i=j-1:nA(i,j=(A(i,j-1-A(i-1,j

5、-1/(A(i,1-A(i-(j-2,1; endendA差分表结果：A =A =0 0 0 0 0 0 0 0.2000 2.2214 2.2214 0 0 0 0 0.4000 4.4918 2.2704 0.0490 0 0 0 0.6000 6.8221 2.3303 0.0599 0.0109 0 0 0.8000 9.2255 2.4034 0.0731 0.0133 0.0024 0 1.0000 11.7183 2.4927 0.0893 0.0162 0.0029 02. 建立多项式P5函数：function y=Pn(xglobal Am,n=size(A;y=0;for

6、i=1:madd=A(i,i+1;if i1for j=1:i-1add=add*(x-A(j,1;endendy=y+add;画图：x=0:0.05:1;fplot(funzhu,0,1,y*hold onfplot(Pn,0,1,r （3） 对上述数据做线性拟合，作出多项式1( y P x 的图像； g0=0;g1=0;g2=0;G1=0;G2=0;for i=1:length(xxg0=1+g0;g1=g1+xx(i;g2=g2+xx(i2;G1=G1+yy(i;G2=G2+yy(i*xx(i;endA=g0,g1;g1,g2;G=G1;G2;d=AG结果：d =-0.105911.70

7、49所以 ：y=-0.1059+11.7049x画图：x=0:0.2:1;fplot(funzhu,0,1,y*hold onfplot(Pn,0,1,r hold ony=-0.1059+11.7049*x;plot(x,y,b+ （4）构造( f x 在0,1区间内的5次切比雪夫多项式5( T x ，并作出图像。y=(1/2*(1+cos(2*k+1*pi/10;在0，1求切比雪夫多项式5( T x 的零点：t =0.98,0.85,0.63,0.37,0.15,0.017 差分表A =0.9800 11.4645 0 0 0 0 0 0.8500 9.8396 -1.6248 0 0 0

8、 0 0.6300 7.1776 -2.6620 -1.0372 0 0 0 0.3700 4.1477 -3.0299 -0.3678 0.6694 0 0 0.1500 1.6618 -2.4859 0.5440 0.9118 0.2424 0 0.0170 0.1871 -1.4747 1.0112 0.4672 -0.4446 0x=0:0.2:1;fplot(funzhu,0,1,y*hold onfplot(Pn1,0,1,r hold ony=-0.1059+11.7049*x; plot(x,y,b+ hold ont= 0.98 0.85 0.63 0.37 0.15 0.0

9、17 fplot(Pn,0,1,g 2数值积分2考虑如下形式的数值积分公式311( ( k k k f x dx A f x -=，函数： ( 101x f x e x =+-（1）此形式的数值积分公式中，代数精度最高的是哪个？ （2）现设定031, 1x x =-=，求12, x x 及0123, , , A A A A ，使代数精度尽可能高。（3）用上述两种公式计算f （x ）=( 101x f x e x =+-在1,1-内的积分，比较误差。 （4）用上述两种公式计算f （x ）=( 101x f x e x =+-在0,1内的积分，比较误差。（5）用上述两种公式构造复合求积公式，计算f

10、 （x ）=( 101x f x e x =+-在0,10内的积分，1问题分析本大题是关于 求积分问题（详细理论分析，知识积累，我在日志中给了总结）问题1： 代数精度最高的为 高斯公式： n+1个高斯节点具有2n+1次代数精度。问题2是求代数精度问题： 为了使其代数精度尽可能高，老师使其未知数变多； 我根据代数精度定义解题：根据p （100）例1； 结果：=(15511+-166 66f f f f ； 因为当6(=f x x 时 (1-12=7f x dx ；(63=015=+33k k k A f x ； 所以(31-1=0kkk f x dx A f x 所以代数精度为：5问题3：代数精

11、度公式在区间-1，1： 已知x=1 -1 Y=11.7183 5.0361 -4.8327 -10.6321ans =(31-1=0=kkk f x dx A f x =0.3505误差：311m+1101K=m+1!m k k k x dx A x +-=-=（ -9.0000e-005高斯勒朗德：在区间-1，1已知：x=-0.8613,-0.3399,0.3399,0.8611 Y=-9.6579, -5.8014, 6.0981, 10.5366ans =(31-1=0=kkk f x dx A f x = 0.3502余项：Rn=23322(1!(23(22!n n n n + =(8

12、1.1997e-008(01 f 问题4：当（区间）相同时复合高斯-勒让德求积分的误差比代数精度算法的小。代数精度公式在区间0，1：用区间变换将区间0，1换成-1，1 X=1/2t+1/2 已知x=-1 1变成0,(1/2-1/（5(1/2）,(1/2+1/(5(1/2,1 Y=0, 0.5821, 11.0507, 11.7183ans =(31-1=0=kkk f x dx A f x =11.6471误差：-9.0000e-005高斯勒朗德：在区间0，1用区间变换将区间0，1换成-1，1X=1/2t+1/2将x=-0.9062, -0.5385, 0, 0.5385, 0.9062变成0

13、.0469,0.2308,0.5,0.7692,0.9531 Y= 0.5170, 2.5676, 5.6487, 8.8500, 11.1247ans =(31-1=0=kkk f x dx A f x = 11.7183余项：Rn=(233(22 32(1!(23(22!n n n f n n +=(8 1.1997e-008(01 f 当（区间）相同时复合高斯-勒让德求积分的误差比代数精度算法的小。问题5复合代数精度公式：第一步：由于n10,所以只能将其分成两段： 将0,10分成0,5和5,10;第二步：用区间变换将0,5变成-1,1; x=55t+22；则将x=-1 1变成0,(-5(

14、1/2/2+5/2, (5(1/2/2+5/2,5 将5,10变成-1,1；x=515t+22; 则y=0,16.8024, 72.4446,197.4132 则将x=-1 1变成5, (-5(1/2/2+15/2, (5(1/2/2+15/2,10 则y=197.4132, 653.9083, 5.6157e+003, 2.2125e+004(10=f x dx (k+1kn-1x x k=0f x dx =311m+1101K=m+1!m k k k x dx A x +-=-=（(155551151551510+5(5+1066 2626662626f f f f f f f f +(）

15、=2.1024e+004 误差： K= -1992对于n=2的情况进行复合积分，就是将区间平分成0,5和5,10分别进行积分复合高斯-勒让德求积分第一步：由于n10,所以只能将其分成两段： 将0,10分成0,5和5,10;第二步：用区间变换将0,5变成-1,1; x=55t+22；则将X=-0.8611,-0.3399,0.3399,0.8611变成0.3472,1.6503,3.3498,4.6528 则y=3.8871，20.7115，60.9950，150.4062用区间变换将5,10变成-1,1; x=515t+22；则将X=-0.8611,-0.3399,0.3399,0.8611变

16、成5.3472,6.6502,8.3498,9.6528 则y=262.4914，838.4409，4.3118e+003，1.5661e+004(10=f x dx (3312=0=0+kk kk k k A f x A f x =106.8206+2.38967e+004=2.4004e+004误差：Rn=（2.4004e+004）-（2.3016e+004）=988当（等分的段数）相同时复合高斯-勒让德求积分的误差比代数精度算法的小。2问题解答：（1）是高斯公式 （2）012301122322011223330112234401122355011223+=2-+x +x +=02+x +x +=3-+x +x +=02+x +x +=5-+x +x +=0AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA程序：a=A1+A2+A3+A0=2; b=-A0+A1*x1+A2*x2+A3=0; c=A0+A1*x12+A2*x22+A3=2/3; d=-A0