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文档简介

1、牛顿迭代法虽然有较高的收敛速度，牛顿迭代法虽然有较高的收敛速度，但要计算导数值f(xk)，这对复杂的函数f(x)是不方便的，是不方便的，因此构造即有较高的收敛速度，因此构造即有较高的收敛速度，又不含f(x)的导数的迭代公式是十分必要的。的迭代公式是十分必要的。一单点弦截法为避免导数的计算，为避免导数的计算，改用差商f(xk)f(x0)xkx0来替代牛顿迭代公式中的导数f(xk)，于是得x=xf(xk)k+1kf(x(xkx0)k)f(x0)1）按公式（按公式（1）进行迭代计算就称。单点弦截法的几何意义如图1 所示。所示。图1. 单点弦截法按公式（按公式（1）求得的xk+1实际上是弦AB与x轴交

2、点的横坐标，横坐标，下一步再以点（下一步再以点（xk+1, f(xk+1)）和（x0, f(x0)）作弦交x轴得xk+2等等。等等。每次作新的弦都以（每次作新的弦都以（x0, f(x0)）作为一个端点，作为一个端点，只有一个端点不断更换，只有一个端点不断更换，故名为单点弦截法。弦截法。由（1）式易知其迭代函数是：(x)=xf(x)f(x)f(x(xx0)0)因为f(x*) = 0，故求导数得*'(x)=1+f'(x)f(x(x*x0)0)*=1f'(x)f(x*)f(x0)x*x0*当初值x0充分接近x*时，f(x)f(x)x*x很接近f(x*)，且符号也相同，且符号也

3、相同，即，0 < |(x*)|< 10，所以所以（1）为线性收敛的。收敛的。二双点弦截法如果牛顿公式中导数f(xk)改用来f(xk)f(xk1)代替，代替，就可以得到迭代公式：就可以得到迭代公式：xkxk1x=xf(xk)k+1kf(xf(x(xkxk1)k)k1)2）由公式（由公式（2）确定的迭代法称。双点弦截法的几何意义如图2 所示。所示k1图2. 双点弦截法它是用弦AB与x轴交点的横坐标xk+1代替曲线y= f(x)与x轴交点的横坐标x*的近似值。双点弦截法的收敛性与牛顿迭代法一样，双点弦截法的收敛性与牛顿迭代法一样，即在根的某个邻域内，在根的某个邻域内，f(x)有直至二阶的连续导数，有直至二阶的连续导数，且f(x) 0，具有局部收敛性，具有局部收敛性，同时在邻域任取初值x0、x1迭代均收敛。迭代均收敛。可以证明，可以证明，双点弦截法具有超线性敛速，有超线性敛速，收敛的阶。例：用双点弦截法求x3x1=0方程在x= 1.5附= 1.5附近的根，近的根，使绝对误差精确到10使绝对误差精确到10-4。解：取初值x0= 1.5，= 1.5，x1= 1.4，= 1.4，按公式（按公式（2）得迭代格式：迭代格式：3x=x(xkxk1)(xkxk1)k+1k(x33kxk1)(xk1xk11)按上式计算得：按上式计算得：

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