（参考）《三角形、梯形中位线定理应用练习课》教学设计

1、三角形、梯形中位线定理应用练习课导学案【学习目标】1进一步熟悉三角形、梯形中位线的性质定理和判定定理； 2能熟练地运用三角形、梯形中位线的性质定理和判定定理进行有关证明和计算； 3通过例题和练习，使学生掌握与中点有关的常用辅助线作法； 4培养学生思维能力和归纳、概括能力，提高解题能力。【学习重点】三角形、梯形中位线定理的应用【导学设计】 一、复习题组 1知识要点(1) 三角形中位线性质定理的条件是 ， 结论是 ； (2) 梯形中位线性质定理的条件是 ， 结论是 ； 2基本方法 三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你

2、能指出一些其他的常用方法吗？(1) 全等三角形对应边相等；(2) 等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；(3) 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(4) 角平分线上的点到角的两边距离相等；(5) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(6) 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；(7) 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质；(8) 等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。二、基本题组1顺次连结四边形各边中点所得的四边形是 ；2顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是 ；3顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 ；4顺次连结菱形各边中点所得的四边形是 ；5顺次连结

3、正方形各边中点所得的四边形是 ；6顺次连结梯形各边中点所得的四边形是 。7顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是 。8顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是 。9顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是菱形； 10顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是矩形； 11顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是正方形。系统小结，深刻理解 12已知D、E、F是ABC各边的中点，则DEF与ABC的周长比为 ，面积比为 。 13如图3，在ABC中， D、E、F是AB的四等分点，D'、E'、F' 是AC的四等分点，BC=28， 则DD'= ，EE'

4、= ，FF' = 。 14如图4，在ABC中，D、E是AB边的三等分点，D'、E' 是AC边的三等分点，若BC=18， 则DD'= ，EE' = 。 （图3） （图4） （图5） 15如图5，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F是AB的三等分点，EE' / FF' / BC，分别交CD于E'、F'。若BC=28，AD=10，则EE' = ，FF' = 。 16直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（ ） A相等且平分 B相等且垂直 C垂直平分 D垂直平分且相等 17以等腰梯形两底中点和两条对

5、角线中点为顶点的四边形是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 三、教练题组例1已知：如图6，在梯形ABCD中，AB/CD，以AD、AC为边作ACED DC的延长线交EB于F。 求证：EF = FB。 注1本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳； 注2本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。（图6） (1) 延长EC，交AB于点G（如图7）； 小结 构造三角形中位线(2) 延长EC，交BA的延长线于点G（如图8）；(3) 连结AE，交CD于点G（如图9）；(4) 过点E作EGAB，分别交DF、AB于G、H（如图10）；(5) 过点E作EG/CD，交AD的延长线于G（如图

6、11）； 构造梯形中位线 构造全等三角形(6) 过点F作FG/AD，交AB于G（如图12）；(7) 过点F作FG/AC，交AB于G（如图13）；(8) 过点B作BG/AD，交CF的延长线于，连结EG（如图14）。 构造平行四边形 （图7） （图8） （图9） （图10） （图11） （图12） （图13） （图14）注重点研究图7、8、9、11的证法，其他图形的证法仅提一提，以培养学生的发散思维能力。例2已知：如图15，在ABC中，AB=AC，E是AB的中点，延长AB到D，使BD=AB。求证：CD=2CE。 证法一：取AC的中点F，连结BF（如图16）。证法二：过点B作BF/CE，交AC的延长

7、线于F（如图17）。证法三：延长CE到F，使EF=CE，连结FA、FB（如图18）。 （图15） （图16） （图17） （图18） 例3已知：如图19，在ABC中，B=2C，ADBC于D，E是BC的中点。 求证：AB=2DE分析：(1) 要证AB=2DE，只需证等于AB一半的线段等于DE或等于DE的2倍的线段等于AB。 (2) 找等于AB一半的线段有三种方法：一是只取AB的中点，但这不利于问题的证明； （图19）二是构造以AB为斜边的直角三角形中线（因为条件中有垂直），再证此中线长等于DF；三是构造以AB为第三边某三角形的中位线，再证此中位线等于DE。证法一：取AB的中点F，连结DF、EF

8、（如图20）。 （以下证明略）证法二：取AC的中点F，连结DF、EF （如图21）。 （以下证明略） （图20） （图21）例4（选讲）已知：如图22，BM、CN是ABC的角平分线，AEBM于E，AFCN于F。求证：EF / BC。分析：由“角相等”证“平行”很难实现。考虑条件中有“角平分线” （图22） 和“垂直”，因而可采用“补形”的办法试证。证明：延长AF交BC于G，延长AE交BC于H。（以下略）思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”（如图23）， 结论是否还成立？如何证明？ （图23）四、巩固题组 1已知：如图24，AD是ABC的中线，E是AD的中点，AE的延长线交AC于F。求

9、证：BE = 3EF。 （图24）2已知：如图25，在菱形ABCD中，E是AD的中点，EFAC，交AB于G，交CB延长线于F。求证：GE=GF。 （图25）3（选做） 已知：如图26，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC 的中点，延长BA、CD，分别交FE的延长线于M、N。 求证：BMF=CNF。 （图26）一、复习题组1三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？二、基础题组 1顺次连结四边形各边中点所得的四边形是 ； 2顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是 ； 3顺次

10、连结矩形各边中点所得的四边形是 ； 4顺次连结菱形各边中点所得的四边形是 ； 5顺次连结正方形各边中点所得的四边形是 。 6顺次连结梯形各边中点所得的四边形是 ； 7顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是 ； 8顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是 。 9顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是菱形；10顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是矩形；11顺次连结对角线 的四边形各边中点所得的四边形是正方形。12已知D、E、F是ABC各边的中点，则DEF与ABC的周长比为 ，面积比为 。13如图3，在ABC中， D、E、F是AB的四等分点，D'、E'、F'

11、是AC的四等分点，BC=28， 则DD'= ，EE' = ，FF' = ；14如图4，在ABC中，D、E是AB边的三等分点，D'、E' 是AC边的三等分点，若BC=18， 则DD'= ，EE' = ；15如图5，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F是AB的三等分点，EE' / FF' / BC，分别交CD于 E'、F'。若BC=28，AD=10，则EE' = ，FF' = 。 （图3） （图4） （图5）16直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（ ） A相等且平分 B相等且

12、垂直 C垂直平分 D垂直平分且相等17以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形三、例题题组 例1已知：如图，在梯形ABCD中，AB/CD，以AD、AC为边作ACED， DC的延长线交EB于F。 求证：EF = FB。 例2已知：如图，在ABC中，AB=AC，E是AB的中点，延长AB到D，使BD=AB。 求证：CD=2CE。 例3已知：如图，在ABC中，B=2C，ADBC于D，E是BC的中点。求证：AB=2DE例4（选讲）已知：如图，BM、CN是ABC的角平分线，AEBM于E，AFCN于F。 求证：EF / BC。思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”（如图），结论是否还成立？如何证明？四、巩固题组 1已知：如图，AD是ABC的中线，E是AD的中点，AE的延长线交AC