初中数学二次函数

1、第第1章章 二次函数二次函数 复习复习本章主要知识内容本章主要知识内容二二次次函函数数1.1二次函数的概念二次函数的概念1.2二次函数的图象二次函数的图象1.3二次函数的性质二次函数的性质1.4二次函数的应用二次函数的应用1.1 二次函数二次函数1.概念：概念：形如形如yax2+bx+c（a、b、c为常数，且为常数，且a0）的函数）的函数叫做二次函数，其中叫做二次函数，其中a称二次项系数，称二次项系数，b称一次项系数，称一次项系数，c称常数项称常数项.特别注意：二次项系数特别注意：二次项系数a不能为不能为0. .2.二次函数的表达式和自变量的取值范围二次函数的表达式和自变量的取值范围( (2)

2、 )根据实际问题列出二次函数的关系式，但要注意考根据实际问题列出二次函数的关系式，但要注意考虑自变量的取值范围，自变量的取值范围应使实际问虑自变量的取值范围，自变量的取值范围应使实际问题有意义题有意义.( (1) )会由会由x、y的的3组对应值求出二次函数的表达式组对应值求出二次函数的表达式.1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ） A.y3x1 B.yax2+bx+c C.s2t22t+1 D.yx2+1xC2.已知函数已知函数y(m2+m)x2+mx+4为二次函数，则为二次函数，则m的取值的取值范围是（范围是（ ） A.m0 B.m1 C.m0，

3、且，且m1 D.m1C3.矩形的周长为矩形的周长为24cm，其中一边为，其中一边为xcm（其中（其中x0），），面积为面积为ycm2，则这样的矩形中，则这样的矩形中y与与x的关系可以写成的关系可以写成（ ） A.yx2 B.y(12x)x C. y12x2 D.y2(12x)B二次函数的图象二次函数的图象1.画二次函数图象的一般步骤：画二次函数图象的一般步骤：列表：列出自变量与函数的对应值；列表：列出自变量与函数的对应值；描点：建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应描点：建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点；值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点

4、；连线：用平滑曲线顺次连结各点连线：用平滑曲线顺次连结各点.2.二次函数的图象二次函数的图象( (1) )二次函数二次函数yax2+bx+c（a0）的图象是一条关于）的图象是一条关于直线直线 对称的抛物线，抛物线与对称轴的交点对称的抛物线，抛物线与对称轴的交点是抛物线的顶点是抛物线的顶点.2bxa ( (2) )不同形式的不同形式的二次函数图象二次函数图象y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k( (3) )二次函数图象的平移二次函数图象的平移y=ax2向上向上( (或向下或向下) )k平移平移 单位长度单位长度y=ax2+ky=ax2向左向左( (或向右或向右) )y

5、=a( (x-h) )2平移平移 单位长度单位长度hy=ax2再向上再向上( (或向下或向下) )平移平移 单位长度单位长度ky=a( (x-h) )2+k先向左先向左( (或向右或向右) )平移平移 单位长度单位长度h1.将抛物线将抛物线y- -x2向上平移向上平移2个单位后，得到的个单位后，得到的函数表达式是（函数表达式是（ ） A.yx2+2 B.y(x+2)2 C.y(x1)2 D.yx22A2.将二次函数将二次函数y2x2的图象平移后，可得到二次函的图象平移后，可得到二次函数数y2(x+3)2的图象，平移的方法是（的图象，平移的方法是（ ） A.向上平移向上平移3个单位个单位 B.向

6、下平移向下平移3个单位个单位 C.向左平移向左平移3个单位个单位 D.向右平移向右平移3个单位个单位C3.将抛物线将抛物线y(x- -1)2+2向上平移向上平移2个单位长度，再向右个单位长度，再向右平移平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A.y(x- -1)2+4 B. y(x- -4)2+4 C.y(x+2)2+6 D.y(x- -4)2+6B( (5) )抛物线抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴、顶点坐标）的对称轴、顶点坐标通过配方法将通过配方法将y= =ax2+bx+c化成顶点式化成顶点式y= =a(x- -h)2+k；对称轴为直

7、线对称轴为直线x= =h，顶点坐标为顶点坐标为( (h，k) ).直接用公式法：直接用公式法：对称轴为直线对称轴为直线2bxa 顶点坐标为顶点坐标为()2424,bacbaa ( (4) )抛物线抛物线yax2+bx+c（a0）的开口方向）的开口方向当当a0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当当a0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.1.已知二次函数已知二次函数ya(x- -1)2- -c的图象如图所示，的图象如图所示，则一次函数则一次函数yax+c的大致图象可能是（的大致图象可能是（ ）A.B.C

8、.D.A2.把二次函数把二次函数y- -2x2- -4x+10，化成，化成ya(x- -h)2+k的形式的形式是是_ y=-=-2(x+1)2+123.抛物线抛物线y- -x2+4x- -3 的对称轴是直线的对称轴是直线_，顶点坐标为顶点坐标为_.( (2，1) )x=2( (6) )二次函数二次函数yax2+bx+c的系数的系数a、b、c与图象的关系与图象的关系a的符号决定抛物线的开口方向：当的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，抛物时，抛物线开口向上；当线开口向上；当a0时，抛物线开口向下，时，抛物线开口向下，a的绝对的绝对值决定着抛物线的形状、大小，当值决定着抛物线的形状、大小，当a的绝

9、对值相等时，的绝对值相等时，抛物线的形状、大小相同；当抛物线的形状、大小相同；当a的绝对值越大时，抛的绝对值越大时，抛物线的开口越小物线的开口越小.a、b符号决定着抛物线的对称轴位置符号决定着抛物线的对称轴位置a、b同号同号对称轴在对称轴在y轴左侧轴左侧a、b异号异号对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧b0对称轴是对称轴是y轴轴c的符号决定着抛物线与的符号决定着抛物线与y轴的交点位置轴的交点位置c0与与y轴交点在轴交点在x轴的上方轴的上方c0c0与与y轴交点在轴交点在x轴的下方轴的下方抛物线必经过坐标原点抛物线必经过坐标原点已知二次函数已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，）的图象如

10、图所示，对称轴是直线对称轴是直线x=- -1，下列结论：，下列结论： abc0；2a+b0；a- -b+c0；b2- -4ac0.其中正确的是（其中正确的是（ ）A. B.只有只有 C. D.D二次函数的性质二次函数的性质1.二次函数二次函数yax2+bx+c（a0）的增减性）的增减性( (1) )在在a0，抛物线开口向上的情况，抛物线开口向上的情况2bxa x随随x的增大而增大的增大而增大2bxa x随随x的增大而减小的增大而减小( (2) )在在a0，抛物线开口向下的情况，抛物线开口向下的情况2bxa 2bxa x随随x的增大而减小的增大而减小x随随x的增大而增大的增大而增大说明：二次函数

11、的增减性可结合二次函数的大致图象进行分析说明：二次函数的增减性可结合二次函数的大致图象进行分析.1.下列函数：下列函数：y- -3x2；y2x2- -1；y(x- -2)2；y=- -x2+2x+3.当当x0时，其中时，其中y随随x的增大而增大的的增大而增大的函数有（函数有（） 个个 个个 个个 个个 C3.已知二次函数已知二次函数yx2+(m- -1)x+1，当，当x1时，时，y随随x的的增大而增大，则增大而增大，则m的取值范围是（的取值范围是（ ）A.m1 B.m3 C.m1 D.m12.在二次函数在二次函数y- - (x- -2)2+3的图象上有两点的图象上有两点(- -1，y1),(1

12、，y2)，则，则y1与与y2的大小关系是（的大小关系是（ ）112A. y1y2 B. y1y2 C. y1y2 D.不能确定不能确定AD通过配方法将通过配方法将y= =ax2+bx+c化成顶点式化成顶点式y= =a(x- -h)2+k；若若a0，则函数，则函数y有最小值，当有最小值，当x=h时，时，y最小值最小值= =k； 若若a0，则函数，则函数y有最大值，当有最大值，当x=h时，时，y最大值最大值= =k . 直接用公式法：直接用公式法：2bxa 若若a0，则函数，则函数y有最小值，当有最小值，当 时，时，244acbya 最最小小值值若若a0，则函数，则函数y有最大值，当有最大值，当

13、时，时，244acbya 最最大大值值2bxa 2.二次函数的最大二次函数的最大(小小)值值3.二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系b24ac的符号决定着抛物线与的符号决定着抛物线与x轴的交点情况轴的交点情况b24ac0与与x轴有两个交点轴有两个交点b24ac0与与x轴有一个交点轴有一个交点b24ac0与与x轴没有交点轴没有交点对于二次函数对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)，如果令如果令y0，则则ax2+bx+c0抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的交点的横坐标即为一元二次方轴的交点的横坐标即为一元二次方程程ax2+bx+c0的两个根；一元二次方程的两个根；一元

14、二次方程ax2+bx+c0的的根即为抛物线根即为抛物线y=ax2+bx+c与与x轴交点的横坐标，轴交点的横坐标，1.已知二次函数已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如）的图象如图所示，下列说法错误的是（图所示，下列说法错误的是（ ） A.图象关于直线图象关于直线x1对称对称B.函数函数y=ax2+bx+c（a0）的）的最小值是最小值是- -4C.抛物线抛物线y=ax2+bx+c（a0）与）与x轴轴的两个交点的横坐标分别是的两个交点的横坐标分别是- -1，3D.当当x1时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大D3.已知抛物线已知抛物线y=x2- -(k- -1)x- -3k- -2与与x

15、轴交于轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且两点，且a2+b2=17，则，则k的值为的值为_.- -6或或22.已知函数已知函数y(k- -3)x2+2x+1的图象与的图象与x轴有交点，则轴有交点，则k的的取值范围是（取值范围是（ ）A.k4 B.k4 C.k4且且k3 D.k4且且k3B4.二次函数表达式的求法二次函数表达式的求法三三种种形形式式一般式：一般式：yax2+bx+c( (a0) )顶点式：顶点式：ya(x- -h)2+k( (a0) )两根式：两根式：ya(x- -x1)(x- -x2) ( (a0) )1.已知二次函数的图象经过点（已知二次函数的图象经过点（- -1，5），

16、（），（0，- -4）和（和（1，1），则这个二次函数的表达式（），则这个二次函数的表达式（ ）A.y- -6x2+3x+4 B.y- -2x2+3x- -4 C.yx2+2x- -4 D.y2x2+3x- -4D3.若二次函数的图象的顶点坐标为（若二次函数的图象的顶点坐标为（2，- -1），抛物线），抛物线过点（过点（0，3），则二次函数的解析式是（），则二次函数的解析式是（ ）A.y (x+6)2 B.y (x- -6)2C.y- - (x+6)2 D.y- - (x- -6)21313131312A.y(x2)21 B.y (x2)21C.y (x2)21 D.y(x2)21124.已知

17、二次函数的图象与已知二次函数的图象与x轴的两个交点轴的两个交点A、B关于直线关于直线x1对称，且对称，且AB6，顶点在函数，顶点在函数y2x的图象上，的图象上，则这个二次函数的表达式为则这个二次函数的表达式为_. C22416999yxx 2.顶点为（顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数），开口向下，开口的大小与函数y= x2的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（ ） 13D1.将进货单价为将进货单价为70元的某种商品按零售价元的某种商品按零售价100元元/个售出个售出时每天能卖出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围个，若这种商品的

18、零售价在一定范围内每降价内每降价1元，其日销售量就增加元，其日销售量就增加1个，为了获得最大个，为了获得最大利润，则应降价（利润，则应降价（ ）二次函数的应用二次函数的应用二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中的应用元元 元元 元元 元元2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在已知在甲、乙两地的销售利润甲、乙两地的销售利润y(万元万元)与销售量与销售量x(辆辆)之间分别之间分别满足：满足：y1x2+10 x，y22x，若该公司在甲、乙两地共，若该公司在甲、乙两地共销售销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（辆该品牌的汽车，则能获

19、得的最大利润是（ ） 万元万元 万元万元 万元万元 万元万元AD3.某商场试销一种成本为每件某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经，经试销发现，销售量试销发现，销售量y（件）与销售单价（件）与销售单价x（元）符合一次（元）符合一次函数函数ykx+b，且，且x65时，时，y55；x75时，时，y45；( (3) )若该商场所获得利润不低于若该商场所获得利润不低于500元，试确定销售单元，试确定销售单价价x的范围的范围.( (2) )若该商场获得利润为若该商场获得利润为W元，试写

20、出利润元，试写出利润W与销售单与销售单价价x之间的关系；销售单价定为多少时，商场可获得最之间的关系；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？大利润，最大利润是多少元？( (1) )求一次函数的解析式；求一次函数的解析式；解解:(1)把把x65，y55；x75，y45解得：解得：65557545kbkb 1120kb所求一次函数的解析式为所求一次函数的解析式为yx+120，(2)W(x60)(x+120) x2+180 x7200 (x90)2+900，代入代入ykx+b得：得：由图象可知，要使该商场获得利润不低于由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售元，销售单价应

21、在单价应在70元到元到110元之间，而元之间，而60 x87，当销售单价定为当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，元时，商场可获得最大利润，最大利润是最大利润是891元；元；抛物线的开口向下，抛物线的开口向下，当当x90时，时，W随随x的增大而增大，的增大而增大，又又60 x87，当当x87时，时，W(8790)2+900891，(3)由由W500，得，得500 x2+180 x7200，整理得：整理得：x2180 x+77000，解得：解得：x170，x2110，所以，销售单价所以，销售单价x的范围是的范围是70 x87.二次函数在几何问题中的应用二次函数在几何问题中的应用1.为了节省

22、材料，某水产养殖户利用水库的岸堤为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤( (岸堤岸堤足够长足够长) )为一边，用总长为为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了的围网在水库中围成了如图所示的如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等域的面积相等.设设BC的长度为的长度为xm，矩形区域，矩形区域ABCD的的面积为面积为ym2.(2)x为何值时，为何值时，y有最大值？最大值是多少？有最大值？最大值是多少？(1)求求y与与x之间的函数关系式，并注明自变量之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；的取值范围；( (1) )三块矩形区域的面积相等，三块矩形区域的面积相等， 解：解：矩形矩形AEFD面积是矩形面积是矩形BCFE面积的面积的2倍，倍，AE2BE，设设BEa，