《矩阵特征值与特征向量的定义与性质》教学设计

1、矩阵特征值与特征向量的定义与性质教学设计所属学科及专业：数学学科各专业所属课程：高等代数适用对象：本专科院校数学各专业学生一、教学背景首先，本节课的主讲内容“矩阵特征值与特征向量的定义与性质”是矩阵的运算和性质的简单应用，它是更好地理解线性变换的特征值与特征向量概念的前提和基础，是理解矩阵和线性变换的特征值和特征向量计算原理的基石，也为进一步学习和理解实二次型化标准型提供了一定的理论支持。其次，通过之前线性变换和矩阵之间关系的学习，学生已感受到了矩阵的重要地位和作用，这为本节课的学习做了铺垫。另外，矩阵的加法、数乘和乘法等运算及其性质的掌握为本节课的展开提供了理论支持。再次，现今的大学数学教育

2、，大部分学生的学习仍是被动学习，以学习知识为目的，不注重数学思想方法的领会，脱离了学习的最终目的和宗旨。作为大学数学的授课教师，尤其是基础学科教师，应该尽其所能向学生展示数学知识的形成和发展过程，达到教育和学习的真正目的。二、教学目标及教学重难点根据所讲内容在教材中的地位和作用，结合学生的认知水平，设定下列教学目标。（一）知识目标1、通过总结、归纳和剖析，深刻理解矩阵特征值和特征向量的概念；2、通过激发学生的好奇心和求知欲，熟悉并掌握矩阵特征值和特征向量的相关性质。（二）能力目标1、通过基本概念的学习，提高仔细观察和深入思考的能力；2、通过性质的学习过程，培养学生自己提出问题、分析问题和解决问

3、题的能力，增加学习动力和热情。（三）情感目标1、通过对概念的剖析，培养学生一丝不苟的学习态度和严谨求实的数学素养，最终形成老老实实做人，踏踏实实做事的工作学习作风；2、通过性质的学习，让学生感受从不同角度观察和认识事物，培养其多角度分析、解决实际问题处世技能。根据教学目标和学生特点，将特征值与特征向量的性质作为本节课的教学重点和教学难点。三、教学方法针对要讲解的两大知识点（特征值和特征向量的概念和性质），结合人类认识事物的规律，采取以问带学，边学边问的启发、探索式授课。主要教学思路用图表展示如下：四、教学过程（一）引例设E是n阶单位矩阵，X是数域P上的n维非零列向量,则 EX = X.AXAX

4、Y15J= 5X.-3Y-1一1人1010= 2X.问题一:以上三个例子有什么共同点？（都满足AX=?”X,这里，A是方阵，儿是数，X是n维列向量。）（二）定义设P是一个数域，AWPn冲，若存在九七P和非零列向量XwPn,满足AX=1X,则称h是矩阵A的特征值，X是A的属于特征值九的特征向量。比如，例1中，1就是En的特征值，任意n维非零列向量X是En的属于特征值1的特征向量。在例2中，5就是的特征值，向量是属于特征值5的特征向量。在例31J56月(2、中，2就是-101的特征值，向量-1是属于特征值2的特征向量。I12力4问题二：限制条件“非零”能否去掉？(不能，因为若X=0,则对任意n阶方

5、阵和任意数儿，都有AX=KX,这样的话，对任意一个矩阵，每个数都可以成为特征值，不存在研究价值。)(三)性质设X是A的属于特征值人的特征向量，即AX=KX(X#0).(1)给它的左右两端同时乘以常数kwP,得到等式kAX=kX,由矩阵数乘的运算性质，就有下列两个式子成立A(kX)=K(kX),(2)(kA)X=(k*JX.(3)在式(2)中，只要k#0,就有kX¥0.由式(2)和式(3),我们分别有性质1若X是A的属于特征值九的特征向量，则kX(k¥0)也是A的属于特征值儿的特征向量。性质2若X是A的属于特征值人的特征向量，则kZ是矩阵kA的特征值，且X是kA的属于特征值k

6、九的特征向量。另一方面，根据矩阵的乘法运算，我们给式(1)的左右两端同时乘以矩阵A,于是有A(AX)=A(X).利用矩阵乘积的运算性质和式(1),不难得到A2X=?/X.(4)这个过程可以一直继续下去，所以有AsX=sX(sZ).又因为EX=X,所以AsX=?X(sWN).(5)也就是说，下列性质成立。性质3设X是A的属于特征值九的特征向量，对于任意自然数s,有Ks是矩阵As的特征值，且X是As的属于特征值九s的特征向量。设m是一个自然数，如果我们给式（5）的左右两端同时乘以常数assP,在这里，数s=0,1,2，川，m，那么就有一系列等式a0EX=a0X，aAX=&X,a2A2X=a

7、22X,11|,asAsX=assX,|",amAmX=ammX.将这些等式左右分别相加，令f（x）=a0+a1x+a2x2+|+amxmwPx,就有性质4设f（x）=ao+aix+a2x2+|+amxmwPx,若X是A的属于特征值九的特征向量，则f（?J是矩阵f（A）的特征值，X是f（A）的属于f（儿）的特征向量。由性质1,若X是A的属于特征值九的特征向量，则2X也是A的属于特征值九的特征向量，所以注1不同的特征向量可能属于同一个特征值。问题三：既然一个特征值会有两个不同的特征向量，那会不会有一个特征向量属于两个不同的特征值？如果设,%是矩阵A的两个不同的特征值，X是同时属于特征值

8、%,%的特征向量，则有AX=?.X,AX=?X,于是%X=X,由九#九2可以得到X=0.这不可能。所以我们有注2同一个特征向量不可能属于不同的特征值。另外还可以得到注3属于不同特征值的特征向量是线性无关的。这是因为，如果,%是矩阵A的两个不同的特征值，Xi,X2分别是属于特征值乙,%的特征向量。当Xi,X2线性相关时，有X2=kiXi或者Xi=k2X2成立，无论哪个式子成立，由性质i可知，Xi,X2将会同时属于特征值九i或%,这与%。九2矛盾。（四）习题巩固i.设九是矩阵AWPn而的特征值，记A的属于人的特征向量的全体所构成的集合为V,问V是否为Pn的子空间？（不是，因为零向量不在V中）2 .

9、设APn，,%,川，是矩阵A的k个不同的特征值，且尸2,川,外是分别属于九i,%,川，的特征向量，证明：%,口2Mlpk线性无关。（提示：用数学归纳法）23 .已知3是矩阵A的特征值，则下列选项中，一定是A-2A+E的特征值。（B）A.3B.4C.8D.94 .设%产2是矩阵awPn>n的属于特征值九的两个线性无关的特征向量，若ki,k2是数域P中任意两个不全为零的数，证明：ki%+k2a2也是属于特征值九的特征向量。（提示：利用特征值与特征向量的性质（1）和性质（2）证明）5 .设外,%是矩阵A亡Pn"的两个不同的特征值，ai,o（2是分别属于九1,%的特征向量，证明：%+«2不是A的特征向量。（提示：用反证法）6 .设九是矩阵AWPn>°的特征值，a1,a2JH,as是属于九的所有线性无关的特征向量，证明：ki«i+k2«2+|+ksUs是属于特征值九的全部特征向量，其中ki,k2,|,ks是数域P中任意s个不同时为零的数。（提示：先证明k1al+k2a2+1M+ks0fs是属于特征值儿的特征向量。再证明属于Z的任意一个特征向量均可由ai,a2,|,as线性表出）五、教学总结首先通过三个例题的引入和归纳，学生形成了矩阵特征值与特征向量的直观概念，再通过与教材所述概念的比较和讨论，学生就深刻理