五节隐函数求导公式ppt课件

1、第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、一个方程的情形二、方程组的情形一、隐函数存在定理简介隐函数：由方程所确定的函数.隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点 的某一邻域内具有延续偏导数，且 那么方程 在点 的某一邻域内恒能独一确定一个延续且具有延续导数的函数y=f(x)，它满足条件 ，并有 ),(00yxP, 0),(00yxF)(00 xfy , 0),(00yxFy0),(yxF),(00yx）（ 1 ddyxFFxy 1.一个方程的情形例 验证方程在点能确定一个有延续导数、当0122 yx)1 ,0(0 x1 y时的隐函数. )(xfy 解设 ),(yxF122 yx那么

2、xFx2 yFy2 )1 , 0(F0 )1 , 0(yF20 由定理1得：方程在点的某邻域内能确定一个有延续导数、当0122 yx)1 , 0(0 x1 y时的隐函数. )(xfy 的某邻域内隐函数存在定理2 设函数的某一邻域内具有延续偏导数，且 ，那么方程F(x,y,z)=0在点 的某一邻域内恒能独一确定一个延续且具有延续偏导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 并有),(),(000zyxPzyxF在点0),(000zyxFz, 0),(000zyxF),(000zyx),(000yxfz zxFFxz zyFFyz(2)2、方程组的情形vuvuGGFFvuGFJ),(),(隐函数存在

3、定理3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v) 在 点 的某一邻域内具有对各个变量的延续偏导数，又 且偏导数所组成的函数行列式或称雅可比(Jacobi)式：),(0000vuyxP, 0),(0000vuyxF, 0),(0000vuyxG在点 不等于零，),(0000vuyxP那么0),(0),(vuyxGvuyxF),(0000vuyx在点的某一邻域内恒能独一确定一组延续且具有延续偏导数的函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件),(000yxuu ),(000yxvv 并有vvuuvvxxGFGFGFGFvxGFJxu ),(),(1方程组vvuuxxuuGFGFGF

4、GFxuGFJxv ),(),(1vvuuvvyyGFGFGFGFvyGFJyu ),(),(1vvuuyyuuGFGFGFGFyuGFJyv ),(),(1(3)下面，总假设隐函数存在且可导， 在此前提下来讨论求隐函数的导数或偏导数的方法。1、一个方程的情形(1)0),( yxF设该方程确定了函数:)(xyy 即0)(, xyxF等式两端同时对 x 求导, 得xF1 +yFdxdy = 0解解得得的的条条件件下下在在,0 yF dxdyyxFF 二、隐函数的求导法(2)0),( zyxF设该方程确定了函数:),(yxzz 即0),(, yxzyxF等式两端同时对 x 求偏导, 得xF 1 +

5、yF0 = 0解得的条件下在,0zF xzzxFF zFxz +等式两端同时对 y 求偏导, 得xF0 +yF1 = 0解得的条件下在,0zF yzzyFF zFyz +(3)0),( uzyxF设该方程确定了函数:),(zyxuu 即0),(, zyxuzyxF等式两端同时对 x 求偏导, 得xF 1 +yF0 = 0解解得得的的条条件件下下在在,0 uF xuuxFF zF0 +类似可得uFxu + yuuyFF zuuzFF xF xydd23),( xyeyxFxy 设设解 yF23yyexy xyxexy6 xyxeyyexyxy632 yxFF =dxdyxyyxyexy求求确定了

6、函数确定了函数由方程由方程设设例例),( 3 1 2 =xyxeyeyxyxy632 例2 22)2( ,)1( ),(0 xzyzxzyxzzxyzez 求求确确定定了了函函数数由由方方程程设设解 1设xyzezyxFz ),( xF, yz yF, xz zFxyez xzzxFF =xyeyzz =xyeyzz yzzyFF =xyexzz =xyexzz 2)(xzx )(xyeyzz 22xz =x=2)( xyez xzy )(xyez yzxzez ()y =2)( xyez yxyeyzz )(xyez yz ze(xyeyzz )y =32232)(22xyeezyzxyze

7、yzzz 留意., ,不能看作常数的函数看作仍要将的偏导数时对求yxzxxz2.方程组的情形0),(0),( ) 1 (zyxGzyxF设该方程组确定了)( )( xzzxyy方程组两端同时对 x 求导，得1 xF+dxdyFy +dxdzFz01 xG+dxdyGy +dxdzGz 0 即xF +dxdyFy dxdzFz xG +dxdyGy dxdzGz 解解得得的的条条件件下下在在,0 zyzyGGFF dxdyzyzyzxzxGGFFGGFF dxdzzyzyxyxyGGFFGGFF zyzyzxzxGGFFGGFF =zyzyxyxyGGFFGGFF 0),(0),( )2(vuy

8、xGvuyxF设该方程组确定了:),( yxuu 方程组两端同时对 x 求偏导，得1 xF+xuFu +xvFv 0 1 xG+xuGu +xvGv 0 即xF +xuFu xvFv xG +xuGu xvGv +0 yF+0 yG),( yxvv 解得的条件下在,0 vuvuGGFF xuvuvuvxvxGGFFGGFF xvvuvuxuxuGGFFGGFF vuvuvxvxGGFFGGFF =vuvuxuxuGGFFGGFF 同理, 方程组两边同时对 y 求偏导,可得0 xF+yuFu +yvFv 0 0 xG+yuGu +yvGv 0即yF +yuFu yvFv yG +yuGu yvG

9、v +1 yF+1 yG解得解得的条件下的条件下在在,0 vuvuGGFF yuvuvuvyvyGGFFGGFF yvvuvuxuxuGGFFGGFF vuvuvyvyGGFFGGFF =vuvuyuyuGGFFGGFF 例3 dxdzdxdyzzyxzzyx, 00322，求，求设设 解),(),( xzzxyy 设设求导，得求导，得方程组两端同时对方程组两端同时对 x1+dxdy+dxdz+z2dxdz=01+dxdy+dxdz+y2dxdz=023z 即 dxdy+dxdzz)21( =1 dxdyy2+dxdzz )31(2 =1 dxdy的的条条件件下下，在在031 221 12 z

10、yz解得= 31 221 1 31 121 1 22zyzzz = 4231 32 22yzyzzz dxdz= 31 221 1 1 21 1 2zyzy = 4231 21 2yzyzy 例4 xvxuvuxyuvyx , 002222，求求设设解).,(),( yxvvyxuu 设设求偏导，得求偏导，得方程组两端同时对方程组两端同时对 xx2+ (xu v= 0yxu +u2xv = 0v2 即 xuv +xvu =x2xuu 2+xvv 2=y 0uxv +) xu 的的条条件件下下，在在02 2 vuuv解得= 2 2 2 2 vuuvvyux = 22 4 22uvuyxv xv

11、= 2 2 2 2 vuuvyuxv = 22 4 22uvxuvy ? ,),( ),(),(),(yzxzyxzzvuzvuyvux 怎样求怎样求确定了函数确定了函数若若 方法： 由 ),(),( vuyvux 可确定 ),(),(yxvvyxuu (*)式两边同时对 x 求偏导，可求得xvxu , (*)式两边同时对 y 求偏导，可求得yvyu , (*),(vuz 又 ),(),(yxvvyxuu xzxvvxuu yzyvvyuu =，例5在点(x ,y ,u, v)的某一邻域内能独一确定一组延续且具有延续偏导数的反函数 u=u (x , y )，v=v (x ,y)；例6 设函数x

12、=x (u, v), y=y (u, v)在点(u,v)的某一邻域内延续且有延续偏导数，又0),(),( vuyx)(# ),(),( )1( vuyyvuxx证明方程组证明方程组(2)求反函数u=u (x ,y) ，v=v( x, y)对x , y的偏导数.可改写为方程组)(#由隐函数存在定理3，得 ),(),(vuGFJ0),( vuxx(1)证vuyxG ),( ),(vuyxFvuyy0),( 在点(x ,y ,u, v)的某一邻域内能独一确定一组延续且具有延续偏导数的函数 u=u (x , y )，v=v (x ,y) .vuvuGGFF vyuyvxux vyuyvxux ),(),(vuyx 0 它们是 x = x (u, v), y = y (u, v) 的反函数。设方程组(#):(2) 解等式两边同时对 x