数列求和知识点总结

1、数列求和1. 求数列的前n项和的方法(1) 公式法等差数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式(2) 分组求和法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3) 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4) 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(5) 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广2. 常见的裂项公式1 1 1 n (n+ 1) =1 1 1 1(2) (2n- 1)(2n+ 1) = 2 2n_ 1_2n+ 1 . n+ n

2、+ 1= n+ 1- n.高频考点一分组转化法求和n2+ n*例1、已知数列an的前n项和，n N.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bn= 2an+ ( 1) nan，求数列bn的前2门项和.【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差,而求得原数列的和， 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.【变式探究】已知数列an的通项公式是an = 23 n" + ( 1)n (ln2 ln3) + (1)nnln3，求其前n项和S高频考点二错位相减法求和例2、(2015 湖北)设等差数列a

3、n的公差为d,前n项和为S,等比数列 bn的公比为 q,已知 bi= ai, b2 = 2, q= d, So= 100.(1) 求数列an , bn的通项公式；an(2) 当d>1时，记6=，求数列Cn的前n项和Tn.bn【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意：(1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2) 在写出“ S ”与“ qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确 写出“ S qS”的表达式；(3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.【变式探究】已知数列an满足首项为 a1= 2, an+1

4、= 2an( n N*).设bn = 3log 2an 2( n N*)，数列 Cn满足 Cn = anbn.(1) 求证：数列bn为等差数列；(2) 求数列Cn的前n项和S.高频考点三裂项相消法求和例3、设各项均为正数的数列 an的前n项和为S,且S满足Sn ( n2 + n 3)S 3( n2 + n) = 0, n N*.(1)求a1的值； 求数列an的通项公式;1 1 1 1证明：对一切正整数n，有a+a?E+ a?a+pv 3.记数n+ k疋【变式探究】已知函数 f（x） = xa的图象过点（4,2），令an= f?n+？+ f?n?, n N.列an的前n项和为S，则Szoi7=【

5、感悟提升】（1）用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，女口：Qn + P n+ k1 11 1曲,亦？=雪市）裂项后可以产生连续可以相互抵消的项抵消后并不 只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.【举一反三】在数列an中，a1= 1,当n2时，其前n项和S满足SU an S1（1）求S的表达式; 设bn = 27+1，求bn的前n项和Tn.练习：n2 一 13211 已知数列an的通项公式是 & = ，其前n项和S=_64，则项数n =()A. 13B. 10 C 9 D 62 .已知数列an满足 a1 = 1, an+1 an= 2( n N)，贝U S2 012

6、=()20121 0061 0061 005 cA. 2 1 B . 32 3 C . 32 1 D . 32 22 13. 已知函数f(x) = x + 2bx过(1,2)点，若数列f?n?的前n项和为S,则S2。佗的值为()012, 2 011) 010, 2 011) 013,2 012) 012,2 013)1 *4. 数列an满足an+ an+1 = 2(n N)，且a = 1, S是数列an的前n项和，贝U &=()B . 6 C . 10 D . 115. 已知函数 f(n) = n2cos(nn )，且 an= f (n) + f(n+ 1)，贝U a1+ a?+ as

7、+ aoo=()A. 100 B . 0 C . 100 D . 10 200?n + 1? n6. 在数列an中，已知a1 = 1, an+1 an = sin，记S为数列an的前n项和，则S2=( )A. 1 006 B . 1 007 C . 1 008 D . 1 0097 .在数列 an中，a1 = 1 , an+ 1= ( 1) ( an + 1)，记 Sn 为&的前 n 项和，则 S2 013= O&等比数列an的前n项和S = 2n 1,贝y a1+ al + -+ a2=。9.对于每一个正整数n,设曲线y= xn+1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令 an = lg xn，贝U a1 + a2+ a99=。10 .已知等比数列an中，首项 a1= 3，公比 q>1，且 3(an+ 2+ an) 10a.+1 = 0(n N)。(1)求数列an的通项公式。1设bn + 3an是首项为1,公差为2的等差数列，求数列bn的通项公式和前门项和S。11.设数列an的前n项和为 S,已知2S= 3n+ 3。(1)求an