含参不等式恒成立问题的八大转化策略

1、含参不等式恒成立问题的八大转化策略No.01.2012语数外学习YuShuWaiXueXi2012年第1期例4,设函数,()=21,对任意了2,+)一4mz)一1)+4f(m)恒成立,求实数m的取值范围.解:依据题意得一14m2(一1)(一1)一1+4(m一1)在÷,+)上恒定成立,即一4m一一÷+1在E÷,+*)上恒成立.当=÷时函数,=一3一了2+1取得最小值一丁5,所以誊÷扣m巩解每营瞎孚.司故实数m的取值范围是(一,一孚u,+m).数【评注】本题中的不等式两边都有m,若直接求解,则不太学容易,因此可将参数从不等式中分离出来,使得原题转化

2、为求教不等式一一_2+l,即".厂()型"恒成立的问题,于是古'.将恒成立问题转化为求函数最值问题,大大降低了求解难度.l五,主元变更转化策略质求另一参数的取值范围.I恒成立,求的取值范围.I一3)口+(一6x+9),则原问题转化为,()>0对.E一1,1f恒成立.I若=3时):0,不符合题意.I所以s,则问题等价于.解得4或2.L2删取值艄,z+.【评注】有些含参不等式恒成立问题,在分离参数遇到要分类讨论的麻烦或者即使能分离出参数与变量,但函数的最值难以求出,此时可以适当地变更主元,即把习惯上的主元变量与参量的"地位"交换一下,变

3、个视角重新审查恒成立问题,往往可以避免不必要的分类讨论,或是问题降维,简化,往往会取得出奇制胜的效果.六,正难则反转化策略某些含参不等式恒成立问题从正面解决比较棘手时,我们可以从反面入手,这种"正难则反"的策略运用的是"补集"思想.其一般转化原理是:VED,使得f(,m)>g(,171,)恒成立,先求出否命题"jED,使得f(,m)g(,m)成立"时参数tT$的取值范围,然后取其补集即可.例6,已知不等式Ia>一,对0,2恒成立,求n的取值范围.解:命题"不等式lal>一,对E0,2

4、恒成立"的否定为:0,2,使得laI一x成立,于是2x口.因为当一(2x)=2x一2x0时存在a,所以12,当E0,2时,(2xz)a(),所以0n4,故a的取值范围是(一*,0)U(4,+).【评注】值得注意的是在求解过程中原命题应看成是全称命题,其否命题是特称命题.七,集合观点转化策略某些含参不等式易于求出解集,此时可以考虑逆向运用集合观点转化.其一般转化原理是:若,m)>g(,m)的解集是,则VD,使得,m)>g(,小)营D.例7,已知不等式la一2xl>一1,对0,2恒成立,求n的取值范围.解:原不等式可化为a一2x>一

5、1或a一2x<1一,即<或>一1.因为原不等式对于0,2恒成立,所以0,2是不等式<或x>a-l的解集的并集的子集,于是号>2或a-1<0或>口一1,解得>5或<2.故a的取值范围是(一,2)u(5,+.).【评注】此题在求解过程中"<或>.一1对0,2恒成立''不能理解为"<对o,23恒成立,或>o一1对E0,2恒成立",要理解为"对0,2中任

6、意一个,.27<和>.一1至少有一个成立".八,数形结合转化策略对于形如)g()(或八)g()含参(下转第4页)数学教育No.O1.2Ol2语数外学习YuShuWajXueXj2012年第1期于直线y=及其下方时,满足Efo,下qrI,即m=n或m<n两,厶J种情况.点A(m,n)的总个数为6x6个,而位于直线Y=的点A(m,n)有6个;位于直线y=下方的点A(DT,n)有l+c+c+c:+cl_15个,故所求概率iZl=吉,因此选择C.六,概率与不等式的交汇题例6,(O7联赛)将号码分别为1,2,9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同

7、,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球,其号码为n,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,号码为b.则使不等式a一2b+10>0成立的事件发生的概率是多少?解析:基本事件的总数为9X9=81,记事件A为"不等式n一26+10>0成立".其等价于口>2b一10.下面进行分类讨论:(1)当b=1,2,5时,均可取19,共5X9=45种;(2)当b=6时,口>2有7种;(3)当6=7时,>4有5种;(4)当b=8时,>6有3种;(5)当b=9时,>8有1种.所以事件A'1发生包含61种

8、,P(A)=.七,概率与集合的交汇题例7,(07山东文12)设集合A=1,2,B=1,2,3,分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(口,b),记"点P(n,b)落在直线+y=n上"为事件C(2n5,nEN),若事件C的概率最大,则n的所有可能值为().A.3B.4C.2和5D.3和4解析:对n进行分类讨论:当rl,=2时,落在直线+y=2上的点为(1,1);当n=3时,落在直线+),=3上的点为(1,2),(2,1);当n=4时,落在直线y=4上的点为(1,3),(2,2);当n=5时,落在直线+Y:5上的点为(2,3);l显然当=3,4时,事件C的概

9、率最大为÷,因此选择D.j八,概率与数阵的交汇题例8,将2个口和2个6共4个字母填在如图所示的l6个小方格内,每个小方格内至多填一个字母,则相同字母既不同行也不同列的概率是多少?解析:基本事件总数.记事件A为"相同字母既不同行也不同列".使2个.既不同行也不同列的填法有c:=72种,同样使2个6既不同行也不同列的填法也有A:=72种.根据乘法原理,这样的填法共有72种,其中不符合要求的情况有2种:(1)2个所在的方格内都填有6的情况有72种;(2)2个n所在的方格内仅有一个填有b的情况有clA;种.所以事0'件A包含的情况有72一72一clA;=3960种

10、,JD(A)=署.7I通过以上八种题型的分析,我们可以看出分类讨论思想在解决概率交汇题中的重要性和广泛性.(上接第2页)不等式恒成立的问题,可以考虑利用数形结合的思想转化为函数图象间的关系来求解.我们可以先把不等式(或经过适当变形后的不等式)两端的式子分别看成两个函数,先画出两函数的图象,然后通过观察两图象(特别是交点时)的位置关系,从而直接判断出结果,或是列出关于含参数的不等式,达到化难为易,化抽象为具体的效果.J占()=一口l._0.5口/;/)=一)÷f>g()=象上方.如图1,由h()=÷一是双曲线.与轴交点是(2,0),在(0,+)上单调递增.所以,当o2时,就能保证Ixol11寺一÷.(事实上,当=2时,E(0,+.o),直线g()=IoI=一2在曲线h()=÷一上的下方,可以用分析法来二证明)当>2时,由(一2)一(÷一):(一2).>0,二二1所以,当o2时I,()÷恒成立.二故n的取值范围是(一,2.【评注】某些含参不等式恒成立的问题,不等式两边的式子,函数模型较明显,函数图象较容易作出的,可以考虑作出函数图象,用函数图像的直观性解决不等式或方程的恒成立的问题,也非常容易