第五节闭区间上连续函数的性质ppt课件

1、第五节第五节 连续函数的性质连续函数的性质一一 连续函数的运算性质连续函数的运算性质二 闭区间上连续函数的性质三三 小结与思考判断题小结与思考判断题定理1处也连续.在点则处连续在点若函数 000)0)()()(),()(),()(,)(),(xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx 1、四则运算的连续性一、连续函数的运算性质定理定理4 4.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函

2、数xxxfyuuufyuxxxxu 例如例如,), 0()0,(1内内连连续续在在 xu,),(sin内内连连续续在在 uy.), 0()0,(1sin内内连连续续在在 xy定理3 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.,cot,arctan上上单单调调且且连连续续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理3).(lim)()(li

3、m)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有连续,在点函数若注注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续在极限值点处连续可可得得类类似似的的定定理理换换成成将将 xxx0. 2意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 例1.)1ln(lim0 xxx 求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解例2.1lim0 xexx 求解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式

4、. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .定理定理5 5 一切初等函数在其定义区间内都是连一切初等函数在其定义区间内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .例例1 1. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例2 2.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 .

5、0 )()()(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx 初等函数求极限的方法代入法初等函数求极限的方法代入法.例例3 求求)1arcsin(lim22xxxx解解 都都和和时时，当当221xxxx不能应用差的极限运算法则，须变形不能应用差的极限运算法则，须变形先分子有理化，然后再求极限先分子有理化，然后再求极限)1(lim2xxxx xxxxxxxx 1)1)(1(lim2221111lim1lim22 xxxxxx21 )1arcsin(lim2xxxx )1(limarcsin2xxxx 621arcsin 例例4 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21

6、ln(sin3xxex0limx36e说明说明: 假假设设,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2三 闭区间上连续函数的性质 在闭区间在闭区间a,b上连续：上连续： 在在 (a,b) 内连续，在内连续，在 a点右连续，在点右连续，在 b 点左连续点左连续.)(xf函函数数)(xf函函数数闭区间上连续函数的定义、最大值和最小值定理、最大值和最小值定理定义:上的最大(小)值.在区间是函数则称都有使得对于任一如果有上有定义的函数对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI)(

7、)()()( )()(,),(0000 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意:1.:1.若区间是开区间若区间是开区间, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, , 定理不一定定理不一定成立成立. .例如例如

8、,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推论：推论：由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 3、介值定理、介值定理定义定义: :.)(, 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx .内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程0)( xf),(baab3 2 1 几何解释几何解释

9、:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 定理 4(介值定理 ) 设函数)(xf在闭区间 ba, 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及 Bbf )(, , 那末，对于 A与B之间的任意一个数 C ，在开区间( () )ba,内至少有一点 ，使得Cf )( )(ba . . 例1.)1 , 0(01423至至少少有有一一根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 0

10、2)1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.Mm, 0 , 0 证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(.)( f即即.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使使得得证证明明且且上上连连续续在在区区间间设设函函数数例2例例 3 3 证明方程证明方程bxax sin，其中，其中0,

11、0 ba，至少，至少有一个正根，并且它不超过有一个正根，并且它不超过ba . .bxaxxf sin)(证：证： , 0)sin(1)sin()( baabbaababaf, 0)0( bf 上上连连续续，在在ba 0()0,.f a ba b 若取. 0)(, 0 fba使使（否否则则至至少少例例4 )()(), 0)2()0(2 , 0)(affaaffaxf 使使证明证明上连续，且上连续，且在在设设证证则则记记)()()(axfxfxF )(, 0(, 0)(的的定定义义域域即即上上连连续续在在xFaaxF)()0()0(affF 且且)0()()2()()(fafafafaF )()0

12、(aff 若若即为所求即为所求则则0 )()0(aff 若若0)()0( aFF则则由零点定理知由零点定理知0)(), 0( Fa 使使)()(aff 即即总之总之)()(), 0affa 使使注注方程方程f(x)=0的根的根函数函数f(x)的零点的零点有关闭区间上连续函数命题的证明方法有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法辅助函数法）：先作辅助函数，间接法辅助函数法）：先作辅助函数， 再利用零点定理再利用零点定理辅助函数的作法辅助函数的作法（1将结论中的将结论中的(或或x0或或c)改写成改写成x（2移项使右

13、边为移项使右边为0，令左边的式子为，令左边的式子为F(x)则则F(x)即为所求即为所求 区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。在所论闭区间上的最大值与最小值之间。内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去

14、间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.3.3.初等函数连续性初等函数连续性4.四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立备用题备用题 确定函数确定函数间断点的类型.xxexf111)(解解: 间断点间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf思考题一 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.思考题一解答( () )2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点1 21)(xxg )1sgn()(