反比例函数中的面积问题__经典难题复习巩固

1、反比例函数中的面积问题一、导入：飞翔的蜘蛛信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一 丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路-从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬,小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧， 以后也是如此。温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八 卦形地张开，仿佛得到神助。这样的成绩，使人不由

2、想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我记住了蜘蛛不 会飞翔，但它照样把网结在空中。奇迹是执着者造成的。二、知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题 型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的 四种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线二上任意一点，过点 P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为 M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON

3、的面积为S=|PM|X|PN|=|y|凶=|xy|丫 y 二 _二xy=k 故 S=|k| 从而得结论1:过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形 ABO中，面积S=结论3:在直角三角形 ACB中，面积为S=2|k|结论4:在三角形 AMB中，面积为S=|k|1#三、专题讲解2考点一 已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数 k）y - _优芒0)【例1】如图，直线OA与反比例函数 点，AB丄x轴于点B, OAB的面积为2，贝U k=分析：由图

4、象知，k>0,由结论及已知条件得F2/ k=4（2）如图，已知双曲线 匸訂且四边形 ：U mO）的面积为2，则卜经过矩形 OABC 的边 AB, BC 的中点分析：连结OB,： E、F分别为AB、BC的中点oaf二久価由四边形OEBF一=2的面积为2得2解得k=2评注：第小题中由图形所在象限可确定 计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含力变式训练二 轴于 B,(1)(2)(3)cB0的图象在第一象限交于 Ak>0,应用结论可直接求 k值。第小题首先应用三角形面积的 k的方程求k值。如图，矩形ABOD的顶点A是函数轴于D，且矩形ABOD的面积为3.求两函数的解析式.求两函数的交点

5、 A、C的坐标.若点P是y轴上一动点，且，求点解：（1）由图象知k<0,由结论及已知条件得-k=3反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为(2)3，解得矿_ 13t矿3疔T由点A、C的坐标分别为（- 1,3), (3,(3)设点P的坐标为（0, m）直线y-与函数尸7-(上+ 1)在第二象限的交点,P的坐标.y=-x+2? 金*与y轴的交点坐标为M(0, 2)必伍=+= 2 I PM | (| | +1 I) = 5q1屮B4丁丁¥m-m- 一 ”PM 1=,即 1m 2 1=-,-2或2，二点p的坐标为（0,或（0,)评注：依据图象及结论求 k值是本题的关键，只有求出 k代值

6、，才能通过解方程组求 A、C两点的坐标, 然后才能解决第小问。考点二 已知反比例函数解析式，求图形的面积4y 4的是（B ）B.C.D.【例2 （ 1）在反比例函数二的图象中，阴影部分的面积不等于A : S=4，对于 B :分析：因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于3x-=6阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故s= 2 ，对于C: S=4，对于D :S=4故选（B）（2） （2009年牡丹江市）如图，点區、J是双曲线.上的点，分别经过 、习两 点向轴、仪-轴作垂线段，若''则分析：由结论知勺+从阴是 心2+心阴噩，. Si + 1=S2+1

7、=3二Si=S2=2 Si+S2=4评注：过双曲线上作坐标轴垂线所围成的矩形的面积可直接由结论求解，过程简单。考点三利用点的坐标及面积公式求面积【例3如图，已知虫（7卑），雎厂4）是一次函数y二衣+B 两个交点.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2） 求直线与：轴的交点的坐标及三角形/J-'：'的面积.m解：（1"在.：上 讥-一;. 反比例函数的解析式为:8 丿二一一在上= 2 : £(Y,2)十占八、->=-1解之得i = -2一次函数的解析式为：丿=7 2(2) TC是直线血与X轴的交点当)=0时，匚点陆2,0)- 00=2'：y=

8、kx+b 经过虫(-4 2) 4),-'在A血二E在船o+S在笈0-x2x2+-x2x42 2'I二与反比例函数y -(v 0)如图，直线与x轴交于点C,其中点A的坐标为(一2, 4)，点B的横坐标为一4.的图象相交于点 A、点B,(1)试确定反比例函数的关系式;(2)求厶AOC的面积.解: (1)：点A (-2, 4)在反比例函数图象上 k=-8反比例函数解析式为y=(2)v B点的横坐标为-4,纵坐标为 y=2 B(-4 , 2)点 A (-2, 4)、点 B (-4,2)在直线y=kx+b上 4=-2k+b 且 2=-4k+b 解得k=1b=6直线 AB为y=x+6与x轴

9、的交点坐标 C (-6, 0) S= 2=12评注：对于例4、例5类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求 函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。难度属中 档题。考点四、利用对称性求反比例函数有关的面积问题1.6#16y=L (x>0)图象上五个整数点5所示的五个橄榄形(阴影部分)，则这五个橄【例4】已知，A、B、C、D、E是反比例函数(横、纵坐标均为整数)，分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在 的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图榄形的面积总和是(用含n的代数式表示)分析： x,y 为正整数， x=1,2,4,8,16即A、B、

10、C、D、E五个点的坐标为(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五个橄榄形关于 y=x对称，故有2x(-x4<Ax4x4) + 2x(-x22-1x2x2) +2x(-xl3-lxlxl)1S=13 n -26如图，O A和O B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数.:.的图象上，则图中阴影部分的面积等于分析：因为圆心A中的非阴影部分与圆 B中的阴影部分为对称图形，圆A中的阴影部分与圆B中的非阴影部分也关于原点对称，故两阴影部分面积的和等于圆的面积。设圆A的圆心A的坐标为(x,y)，由图可知，x=yy- J/ A点在反比例函数.：图象上，:解得x=1

11、从而所求面积为n评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简 化解题过程。四、巩固练习：(1 )选择题k1、反比例函数y的图象如图所示，点x足是点N,如果S3on = 2,则k的值为(A)2(B)-2(C)4M是该函数图象上一点， MN垂直于(D)-42、(四川绵阳)若 A (ai, bi),(a?, b2)是反比例函数 J图象上的两个点，且a1va2,则b1与xb2的大小关系是()DA . b1 v b2 B b1 = b2C. b1>b2D.大小不确定3、(福建龙岩)函数 y=x，m与y=m(m=0)在同一坐标系内的图象可以是(xxxx

12、(2)填空题54、 (湖北潜江)如图，反比例函数y的图象与直线y = kx(k . 0)相交于B两点，AC / y轴，BC/ xx轴，则 ABC的面积等于个面积单位 10(3)解答题k5、 如图 所示，反比例函数 y的图象经过点 A 一、3, b，过点A作AB垂直x轴于点B,A AOB的面积X为、3。(1 )求k和b的值；(2)若一次函数y =ax 1的图象经过点 A并且与x轴相交于点 M求AB： OM勺值。b和系数k,结合A点的双重特性(A点既在直线上，又分析：以面积为突破口，可求出A点纵坐标在反比例函数图象上)求解相应问题。解：(1)v AB丄BO A点坐标为(_V3, b)1 _-S a

13、obAB BO = 32即一b T - 3| = 32 b =2k又丁点A在双曲线y二仝上xk =2( _. 3) = -2T3(2)v 点 A 在直线 y 二ax 1 上 2 - - 3a 1 a 3 y 3 x 133当y=0时，x = .3所以M点的坐标为 ,3, 0 AB : OM =2:3y=m的图象交于xA (-2 , 1), B (?1, n)两点.点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交 点的双重特性来构造方程(组)解决问题。6. 如图，一次函数 y=kx+b的图象与反比例函数(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写

14、出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.7. 已知：如图，函数 y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于点 A、B, 直线的面积分成相等的两部分.(1) 求直线L的函数解析式；若直线L将厶AOB的面积分成1 : 3两部分，求直线 L的函数解析式.9五、拓展训练已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数y-X的图象交于点1(3,2).（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式;（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）叫啊可是反比例函数图象上的一动点，其中0 eg玄过点M作直线 跑H耐由，交轴于点豆；过点乂作直线 AC/y轴交x轴于点C,交直

15、线MB 于点內创M 的面积为6时，请判断线段丄;二 与丄二 的大小关系，并说明理由.分析：（1）由点A （3, 2）在两函数图象上，可求得B226丿=一3,正比例函数为3，反比例函数为x0<x<3一、一、= wc = -（3）设 D 点坐标为（3, t），贝U M 点坐标为（fI22_由四边形OADM的面积为6得3+6+3=3t解得t=4|：，4）故点M为（1 D点为（3, 4）从而M点为BD中点，BM=DM评注：第小问考查求正比例和反比例函数解析式的基本方法，第小问考查分析图形的能力，第小问 考查反比例函数中的面积的计算问题。三个小问题层次分明，有梯度，是一道较好的中考题目六、反思总结11当堂过手训练(快练5分钟，稳准建奇功)31)，求此正比例函数的解析式及另一个1、已知正比例函数 y=kx与反比例函数y=2的图象都过Am ,x交点的坐标。12m值，再将A点坐标代入y=kx可求得正比例函数解析式，联立3分析：由A点坐标满足y =一可求得x#方程组可求得另一交点坐标。31)，1)解：因y 图象过Am ,x将 A(3，1)代入 y =kx，所以正比例函数解析式为#联立方程组得'另一交点坐标为点评：解此类题时,=3 fx=1-3-1x1x33, -1 )一般是先构造方程或方程组再来解决