初中数学分式化解求值解题技巧大全

1、重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION1重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION化简求值常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件 或所求分式适当变形，然后巧妙求解常用的变形方法大致有以下几种：1、应用分式的基本性质1 x2例1如果x - 2，则2的值是多少？xx+x+1解：由x = 0，将待求分式的分子、分母同时除以x2，得原式=.1 _X2 1丄x1(x -)2x1/22-<3.#重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION#重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCA

2、TION2、倒数法如果，则的值是多少？#重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION#重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION解：将待求分式取倒数,x4x21x2丄x21 2 21 =(x -) _1 =2 _1 =3x#重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION#重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION1 原式=-33、平方法x 1x解：两边同时平方,2 1 x222=4,.x4、设参数法例3 已知=2，则x2丄的值是多少?x得2 1x22=4_2 = 2.xa _ b _ c2 一3 一 5 解：设 a = b 二c =k，

3、贝y235例4 已知=0，求分式ab 2bc -3aca2 2b2 -3c2的值.a = 2k,b = 3k,c =5k 十、2k"：3k+2><3kx5k -3汉2"5k6k26原式=2222(2k)2 +2(3k)2 - 3(5k)2-53k253a b c abc 砧居例5 已知，求的值b c a a -b +c解：设=b=c = k，贝yb c aa 二 bk,b 二ck,c 二 ak.3c = ak = bk k = ck k k = ck , k3 =1,k =12重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION#重庆书之香教育越 CHON

4、G QING EDUCATION原式=a b -ca -b c=1.5、整体代换法例6已知-=3,求2x 3xy 2y的值.x yx_2xy_y解：将已知变形，得y _ x 二 3xy,即 x y _ -3xy.原式= 1 2(x-y) 3xy(x _y) _2xy2 (-3xy) 3xy_3xy _ 2xy-3xy 3-5xy5a3 + b3例： 例5.已知a b :：: 0，且满足a2 2ab ba -_ b = 2，求的值。1-3ab解：因为 a2 - 2ab ba -b =2所以(a b)2 - (a b) -2 =0所以(a b -2)(a b 10二所以a b = 2或a-1由 a

5、 b ： 0故有a b - -13322所以 a b = (a bX- ab b )13 ab13 ab2 2-1 (a-ab b )1-3aba2 ab b23ab-12(a b) 3ab3ab -1(-1)2 -3ab3ab -11 -3ab3ab 1评注：本题应先对已知条件a2 2ab - ba -b =2进行变换和因式分解，并由a b ： 0确定出3重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATIONa-1,然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。6、消元代换法已知abc =1,则aab a 1bc b 1ac c 1#重庆书之香教育越 CHONG QING EDU

6、CATION原式=aab a 1b ab b 1abab ab#重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATIONaab1+aba11ab a a 1 ababa1“1.aba17、拆项法1 11 111例8若a亠b亠c = 0,求a( ) b( ) c( ) 3的值.bea ca b4重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION#重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION一 11解：原式=a( )1IL bc+1J+i1+1 - aX+#重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION111111111=a() b() c()abcabcabc

7、111=()(a b c)abc/ a b c = 0=0.原式8、配方法若 a -b =1 .,3,b-c = 1-、3,求一2J的值.a +b +c abac bc解：由 a-b = 1 "3,b 'C = 1 -.於,得 a 'C = 2 .- a12 =0 1二原式=_.6 b2 c2 _ab _ac _b212 2 2 石 |_(a-b) (b-c) (a-c)化简求值切入点介绍解题的切入点是解题的重要方向，是解题的有效钥匙。分式求值有哪些切入点呢？下面本文结合例题归纳 六个求分式的值的常见切入点，供同学们借鉴：切入点一：“运算符号”点拨：对于两个分母互为相

8、反数的分式相加减，只须把其中一个分式的分母的运算符号提出来，即可 化成同分母分式进行相加减。b22ab4a2b2a解：原式=b22a -b2 2 2 2 24a _b -4a _ 4a -b2a -b 2a -b 2a -b(2ab)(2a -b)(2a -b)=-(2a b) = - 2a - b6重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION#重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION评注：我们在求解异分母分式相加减时，先要仔细观察这两个分式的分母是否互为相反数。若互为相反数，则可以通过改变运算符号来化成同分母分式，从而避免盲目通分带来的繁琐。切入点二：“常用数

9、学运算公式”点拨：在求分式的值时，有些数学运算公式直接应用难以奏效，这时，需要对这些数学公式进行变形应用。例2 :若a2 3a +1 =0，则a3十3的值为a2 解：依题意知，a = 0，由a -3a 0得2 1a 1 = 3a，对此方程两边同时除以a得a3a a3 A=(a .(a2-1 占)=(a $(a1 )2_3 =3 (32 3) =18aaaaa评注：在求分式的值时，要高度重视以下这些经过变形后的公式的应用： a2 -b2= (a b)(a -b) a2 b2 = (ab)2 -2ab = (a - b)2 2ab a3 b3= (a b)(a2 -abb2)=(a b)(a b)

10、2-3ab =(a b)3 -3ab(a b) a3 b3= (a - b)(a2 abb2)= (a - b)(a - b)23ab = (a - b)3 3ab(a - b) ab =(a b)2 -(a -b)24例 3 :已知 x y = 3, xy - -5，求x2 3xy 2y2x2 y 2xy2的值。切入点三：“分式的分子或分母”点拨：对于分子或分母含有比较繁杂多项式的分式求值，往往需要对这些多项式进行分解因式变形处 理，然后再代题设条件式进行求值。#重庆书之越 CHONG QING香教育EDUCATION解:x2 3xy 2y2x2 y 2xy2(x 2y)(x y) x yx

11、y(x 2y) xy/ x y = 3, xy - -5原式=-55评注：分解因式的方法是打开分式求值大门的有效钥匙，也是实现分式约分化简的重要工具。像本题 先利用十字相乘法对分子分解因式，利用提公因式法对分母分解因式，然后约去相同的因式，再代题设条 件式求值，从而化繁为简。切入点四：“原分式中的分子和分母的位置”点拨：对于那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式，倘若直接求值，则难以求解。但是，我们可以 先从其倒数形式入手，然后再对所求得的值取其倒数，则可以把问题简单化。x例4 :已知x2的值为x x 1解：依题意知,2x1 x x 111得，3，即x 1二3从而得x x x 13xxxx4x2

12、1x2-x211 1 2 2冷=(X 丄)2 仁22 1=3 xx2x4x x 1评注：取倒数思想是处理那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式求值问题的重要法宝。像本题利用 取倒数思想巧变原分式中的分子和分母的位置，从而化难为易。切入点五：“题设条件式”点拨：当题设条件式难以直接代入求值时，不妨对其进行等价变换，也许可以找到解题钥匙。例5:已知3 2 =3，则2x _3y _xy的值为x y7xy +9y 6x32解：由3得 3y-2x=3xy，贝U 2x-3y =3xyx y2x-3y_xy _ 2x-3y _xy _ _ 3xy _ xy _ - 4xy _ 17xy 9y -6x 3(3y

13、 -2x) 7xy 3 3xy 7xy 16xy 4评注：等价变换思想是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁，是恒等变形的充分体现。像本题通过对题设条件式作等价变换，找到重要解题条件“3y -2x =3xy”和“ 2x-3y = -3xy”，然后作代换处理,从而快速求值。切入点六：“分式中的常数值”点拨：当题设条件式的值和所要求解的分式的常数相同时，应注意考虑是否可以作整体代入变形求解,以便更快找到解题的突破口。例 6 :设 abc =1，求a b c的值ab+a+1 bc+b+1 ac + c + 17重庆书之香教育越 CHONG QING EDUCATION 解： abc =18原式 aab a abcbbc b 1ac c 1#=1 b b 1 bc bc b 1 ac c 11 bc1 b1=:卜=hbcb1 ac cabc bcb1 a 1ab1babc1bbc+=