4.3曲线的凸性及拐点 函数作图

1、表JX-2教 案 纸 第 页教案（首页）授课日期授课班级课 题4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图计划学时2 课时教学目标1.熟练掌握函数拐点以及凹凸区间的定义；2.掌握函数凹凸性的判定方法及拐点定理；3.熟练掌握函数草图的做法并了解一般的作图步骤；教学重点解决措施教学重点：函数凹凸性的判定方法及拐点定理解决措施：讲授、演示教学难点解决措施教学难点：函数草图的做法解决措施：讲授、演示教学设计教学手段教学方法多媒体教学、板书演示板书设计授课提纲一、复习二、新授4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图（一）函数拐点以及凹凸区间的定义（二）函数凹凸性的判定方法及拐点定理（三）函数草图的做法并了解一般的作图步

2、骤三、练习四、小结五、作业教 学 过 程 设 计时间分配教师活动学生活动【复习提问】1. 柯西中值定理；2. 罗必塔法则及其应用；3.应用罗必塔法则需要注意的问题.【新课引入】.凸性及拐点在第一章我们讨论过函数的作图问题。但能使用的手段不多。本章第一节用导数的正负判断函数的增减性及极值点，无疑是增加了作图的有效手段，但仅此有时不能掌握图形的形状。图4.13中中弧都是上升的，但上升的情况不同。弧是向上凸而上升，弧是向下凸而上升。因此有必要区分图形是向上凸还是向下凹。xOxyOACDBy 在图4.14的左图中，我们看到，如果图形是向上凸时，则当x增大时，切线的斜线率是减小的。而图4.14的右图却正

3、好相反，即当x增大时，切线率是增大的。因此用导数增减性可完全反映出图形的凸性。【新课讲授】定义一 设函数在世递减的，则称曲线内是凸的；如果是递增的，则称曲线在内事凹的。定义二 设函数在所考虑的区间可导，则曲线的凸凹分界点称为曲线的拐点。如何判断曲线的凸凹及拐点呢？曲线的凹凸是由得增减性来定义的，又因为的导数，所以的增减可由的正负号来判断。于是可得到下列几个定理。定理一 若，则曲线在内是凹的，反之，若则曲线在内事凸的。定理二（拐点的必要条件）若点是曲线的拐点。且处二阶导数存在。则。定理三 若两侧变号，则点是曲线的拐点。例1 求曲线的拐点。并判断曲线在什么区间上是凸的，在什么区间上是凹的？解 函数

4、的定义域是。 ， 令。讨论如下：当曲线是凸的，当曲线是凹的，当由此知拐点为为凹区间。例2 ，解 算出 ， ，函数的定义域为，讨论如下： 当x<0时，曲线是凸的， 当想x>时，曲线是凸的，因为x=0不在定义域内，所以曲线无拐点。.函数作图作函数的图形，大致可以分为以下步骤：（1） 初步研究：如何讨论定义域，对称性，周期性等等；（2） 讨论增减区间.极值点及极值；（3） 讨论凹凸区间及拐点；（4） 讨论一些特殊情形，如有点，说明曲线与直线无限接近（如图4.15），直线称为曲线的水平渐近线。若（常数），说明曲线与直线无限接近.直线称为曲线的水平渐近线（如图4.16）.（5） 根据需要再增

5、算几个点 注意，作图时限讨论（1）（2）（4）与（5）.因为往往有这样情形（1），（2），（4）与足以画出其图形.当还不足以画出图形时，在讨论（3）.yox0x图 4.15yox图 4.16 例3 作函数的图形. 解 函数的定义域为，是奇函数，所以图形对称于原点. ，是驻点，它把定义域分为三段.图形变化见下表。xx=-1(-1,1)x=1-0+0-图形极小值点极大值点极小值为讨论渐近线：。故有水平渐近线有以上材料就可大致画出图形。y=x1+x2x0y例4 作函数的图形。解：函数的定义域为，是偶函数，图形对称y轴，且y>0,所以图形在x轴的上方。令xx=0+0-图形极大值点极大值为令(-,

6、-12)-12（-12 ，12 ）12(12 , )yn+00+图形凹拐点凸拐点凹拐点为（-12 ，e-12 ）, （12 ，e12 ）.limxe-x2=0,有水平渐近线y=0.根据以上讨论的情况，可大致地作出图形（图4.18）。例5 作函y=ln(x2 -1) 的图形.解 定义域为(- ，-1）（1 +),图形对称y轴。y'=2xx2-1 .在定义域内无驻点，也没有极值点。x(- ,-1)-1 ,1 (1 , + )y'-+图形无定义yn=-2(1+x2)(x2 -1)2 . 无y''= 0的点，无拐点。在(- ，-1）及（1 +) 内y''

7、< 0 ,图形是凸的。又limx-1-lnx2-1=-,limx1+ln(x2-1)=-, limxlnx2-1=+ .所以有垂直渐近线x=-1 (左侧)，x=1（右侧）当x=±2 时，y=0 。根据以上讨论可大致作出其图形（图4.19）。-2202xy=lnx2-1x=1x=-1【课堂小结】1.函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法； 2.曲线的渐近线；3.函数图形的作法.【作业布置】课内练习：1、求曲线y=3x4-4x3+1 的拐点及凹凸区间。2、求曲线y=x+xx-1的拐点及凹凸区间。3、作y=x4+14x4的图形.4、作y=x21+x2 的图形。5、作y=ln(1+x2) 的图形课外作业：试确定一个x的六次多项式P（x），已和曲线y=P(x)切x轴于原点，且在拐点（-1，1），在（1，1）处切线水平。【教学反思】5分钟5分钟50分钟5分