第三十九讲 平面及其方程

1、第三十九讲 平面及其方程重点：求平面的方程难点：特殊平面的方程的求法平面和直线是空间最简单的几何图形。本节和下节将以向量为工具讨论平面与直线的方程。一、平面的点法式方程与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量。显然，平面的法向量有无穷多个，而且平面上的任意一个向量都与该平面的法向量垂直。由立体几何知道，过空间一点可以作而且只可以作一个垂直于一条已知直线的平面。下面我们来求该平面的方程。设平面p过点， 是平面的法向量（图）。在平面上任取一点，则点在平面的充要条件是 ，即=0。因为 ，所以 （1）该方程称方程为平面的点法式方程。例1 求过点(2，1，1)且垂直于向量的平面方程。解 取已知向量作为平面

2、的法向量，由因为所求平面过点(2，1，1)，故所求平面的方程为 ，即 。例2 求过点、和的平面的方程。解 先求平面的法向量。由于向量于向量、都垂直，而=-3,4,-6、=-2,3,-1，所以可取它们的向量积为，即 =，根据平面的点法式方程，得所求平面的方程 。即 。二、平面的一般方程方程（1）可化为 （2）其中。这是、的一次方程，所以平面可用、的一次方程来表示。反之，任意的、的一次方程（2）是否都表示平面呢（式中、不全为零）？方程（2）是一个含有三个未知数的方程，所以有无穷多组解。设、是其中的一组解，则有 。用方程（2）减去上式，得 。这就是方程（1）。它表示过点，且以为法向量的平面。由此可知

3、、的一次方程（2）都表示平面，其中系数、表示法向量的坐标。方程（2）称为平面的一般方程。下面讨论方程（2）的一些特殊情况。（1）当时，方程（2）成为，它表示一个通过坐标原点平面。（2）当时，方程（2）成为，法向量垂直于轴，方程表示一个平行于轴的平面；当时，方程，它所表示的平面通过轴。（3）当时，方程（2）成为，法线方向同时垂直于轴和轴，方程表示一个平行于坐标平面；当时，方程为，它表示坐标面。对于其它情况，读者可以类似地进行讨论。例3 求通过轴和点的平面的方程。解 因为所求平面通过轴，故设所求平面的方程为 。由于点在所求平面上，所以点的坐标都满足该方程，于是有 解得。将代入方程并消去，得 即为所

4、求的平面方程。例4 求过点、的平面的方程（其中）。解 设所求的平面方程为因为点、在所求的平面上，所以它们的坐标都满足该方程，于是有 解此方程组，得 将解代入平面方程并消去（），得 （3）方程（3）叫做平面的截距式方程，其中，分别叫做平面在轴、轴、轴上的截距。三、两平面之间的夹角两平面法向量的夹角（通常指锐角），称为两平面的夹角。设平面p1、p2的方程分别为 和 。它们的夹角为q。由于两平面的法向量分别为和，由两向量夹角余弦公式，得 = （4）这就是两平面夹角的余弦的计算公式。例5 求两平面与的夹角q。解 由公式（4）有 =所以，q=。四、两平面的相关位置由立体几何我们知道，两平面的位置关系有三种：相交、平行和重合。在空间解析几何中，我们可以根据两平面的方程来判断两平面的位置关系。设两平面的方程为p1： p2：则（1）平面p1与p2相交&