用分法求方程近似解

1、课题：用二分法求方程的近似解 (2)课 型：新授课教学目标继续了解函数的零点与对应方程根的联系，理解在函数 的零点两侧函数值乘积小于 0这一结论的实质；通过探究、 思考，培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能 力。教学重点“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.教学难点“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.教具准备多媒体课件、投影仪.教学过程一、创设情景，弓I入新课师：观察二次函数f (x) =x2-2x 3的图象(如下图), 我们发现函数f (x) =x2- 2x- 3在区间2, 1上有零点. 计算f ( 2)与f (1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特 点？在区间2, 4

2、上是否也具有这种特点呢 ？引导学生探究，可以发现，在区间2，1的端点上，f (- 2)> 0,f (1)v 0,即 f ( 2) f (1)v 0,函数 f (x) =x2- 2x- 3在区间(- 2， 1)内有零点 x=- 1 ，它是方程 x2-2x-3=0 的一个根同样，在区间2, 4的端点上，f ( 2)v 0, f(4)> 0,即卩 f (2) f (4)v 0,函数 f (x) =x2- 2x- 3 在 (2, 4)内有零点x=3，它是方程x2 - 2x- 3=0的另一个根.我们能从二次函数的图象看到零点的性质：1. 二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二 重零点

3、),函数值变号 .例如,函数 y=x2- x- 6 的图象在零点- 2 的左边时,函 数值取正号, 当它通过第一个零点- 2 时,函数值由正变负, 再通过第二个零点 3 时,函数值又由负变正 .2. 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.师：对任意函数, 结论也成立吗 ?同学们可以任意画几个函数图象,观察图象,看看是否得出同样的结论 .二、讲解新课1. 零点的性质如果函数 y=f (x)在区间a, b 上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有f (a) f (b)v 0,那么，函数y=f (x)在区间(a, b)内有零点， 即存在c( a, b),使得f (c)=0,这个c也就是方程f (x)

4、=0的根.求方程f (x) =0的实数根，就是确定函数 y=f (x)的零 点.一般地，对于不能用公式法求根的方程f( x) =0 来说，我们可以将它与函数 y=f (x)联系起来，利用函数的性质找 出零点，从而求出方程的根 .2. 应用举例【例 1】 教科书 P88 例 1.本例是考查函数零点的个数 .通过它要让学生认识到函 数的图象及其基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中 的重要作用 .( 1)函数 f( x) =ln x+2 x 6 的图象可以让学生利用计 算器或计算机画出 .通过观察教科书上的图 3.13，发现函数 的图象与 x 轴有一个交点， 从而对函数有一个零点形成直观 的认识

5、 .( 2)教科书上的表 31，可以让学生用计算器或计算 机得出，使学生通过动手实践获得对表31 的认同感 .通过观察表 31，结合图象 3.13，不难得出函数的一个零点在 区间( 2， 3)内 .( 3)要说明函数仅有一个零点，除上述理由外，还必 须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增 (减) 函数的定义证明函数在(0, +8)上是增函数，也可以由 g (x) =lnx、 h (x) =2x 6在(0, + g)上是增函数，说明函数 f (x) =g(x) +h (乂)在(0, + 8)上是增函数【例2】 已知函数f (x) =ax2+bx+1具有以下性质： 对任意实数x1工x2,且f(

6、x1) =f( x2)时，满足x1+x2=2 ； 对任意x2 ( 1, + 8),总有 f (宁)> f(Xi)2f(X2).则方程ax2+bx+1=0根的情况是 ()A. 无实数根B.有两个不等正根C.有两个异号实根D.有两个相等正根方法探究：(1)本题由条件，知函数 f (x)的对称轴 为x=1 ;由条件，知函数 f (x)是凸函数，即av 0;再由 函数f (x)的表达式，知f (x)的图象过点(0, 1).根据这 三点，可画出函数f (x)的草图，如下图，发现函数f (x)与x轴交点的位置，可知f(x) =0有两个异号实根，故应选 C.(2)由条件，知函数 f (x)的图象开口向

7、下，即 a v 0又由x1x2=1 v 0,可知f (x) =0有两个异号实根，故应a选C.方法技巧：解析(2)的求解过程明显比解析(1)简捷， 但却不如解析(1)直观，用数形结合思想解题可以使问题 变得直观清晰，便于理解但不难发现，如果解析(1)中的三个函数语言之中有1个没有转化(或错误地转化)为图形 语言，那么本题就可能会错选用数形结合思想解题， 要注意 由数到形，由形到数转化过程的等价性.【例3】 研究方程lx2- 2x- =a (a> 0)的不同实根的 个数.方法探究：纯粹从解方程角度来考虑，必须研究两个方程，讨论相当麻烦从函数图象角度分析，只需研究函数y=|x2 -2x-引与y

8、=a的图象的交点的个数.解：设y=|x2- 2x-引和y=a,利用Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的 个数，即为所给方程实根的个数如下图，当a=0或a>4时， 有两个实根；当a=4时，有三个实根；当 0v av4时，有四 个实根.阴* FV-It)3x方法技巧：有关实根个数的题目，通常都采用数形结合 思想做这类题目，必须遵循两个步骤： 一是构造两个熟悉的 函数，二是画出图象，关键点画图要准确三、课堂练习教科书P88练习题1. (1) (2)四、课堂小结1. 本节学习的数学知识：零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积小于0;零点的确定.2. 本节学习的数学方法：归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想五、布置作业教科书P92习题3.11、2、3.补充题：1.定义在区间c, c上的奇函数f (x)的图象如下 图所示，令g (x) =af (x) +b,贝下列关于函数 g (x)的叙 述正确的是A. 若av0,贝函数g (x)的图象关于原点对称B. 若a= 1, 2v bv 0,贝U函数g (x)有大于2的零点C. 若az 0, b=2，则函数g (x)有两个零点D. 若a> 1, bv 2,则函数