有理数及其运算(二)

1、有理数及其运算（二）【课标要求】1经历探索有理数法则和运算率的过程，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方的运算及简单的混合运算（以三步为主）。2. 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。3. 能运用有理数的运算解决简单的实际问题。【重难点知识归纳及讲解】 本章的重点是有理数的运算。加法与乘法都是在介绍运算法则着重是符号法则的基础上，进行基本运算，然后结合具体例子引入运算律，并运用运算律简化运算。减法与除法，则是着重介绍如何由加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算。乘方是几个相同因数的乘积，也就可以利用乘法运算。（1）有理数加法的法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对

2、值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值而互为相反数的两个数相加得零；任何数同零相加，仍得这个数（2）有理数加法的运算顺序：第一步，确定和的符号；第二步，求和的绝对值其中最关键的一步是搞清符号问题，符号一经确定，问题就比较简单了（3）有理数加法的运算律：加法交换律，即abba；加法结合律，即abca(bc).巧妙地运用加法的运算律，可以简化有理数的加法运算（4）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。对大家而言，做题时一定要注意两变：一是减号变为加号；二是减数变为其相反数。（5）利用减法比较大小：a，b是两

3、个有理数，若ab0，则ab；若ab0，则ab即大的小的0，小的大的0（6）加减混合运算的两个关键点是：在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换尽量使用运算率简便计算。（7）在有理数加减运算中，正确理解运算符号运算符号与性质符号既有区别，又有联系，有时可以相互转化（8）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘，都得零。（9）多个有理数乘积的确定：几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定：当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。符号确定后，再分别把绝对值相乘。只要有一个因数为0，则积为0。（10）乘法的运算律：乘法交换律

4、，即ab=ba；乘法结合律，即(ab)c=a(bc)；乘法分配律，即a(b+c)=ab+ac。在做乘法时，要灵活运用上述运算律，以达到简化运算的目的。乘法和加法的运算律，都可以推广到多个数的情况。（11）倒数的概念：乘积为1的两个有理数互为倒数。由于任何一个有理数与0的积为0，不可能是1，所以0没有倒数。（12）除法的运算法则：法则一：除以一个数等于乘上这个数的倒数，即：a÷b=a (b0)法则一表明了有理数的除法和乘法可以互相转化，由于0没有倒数，所以除数不能为0.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，得0.（13）关于运算律因为除法可以

5、转化成乘法，所以乘法的运算律有的在除法中适用，但是乘法的交换律和结合律在除法中是不适用的，如6÷55÷6，（6÷2）÷36÷（2÷3）（14）乘方的有关概念求n个相同因数a的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂a叫底数，n叫指数，an读作：a的n次幂(a的n次方)乘方的意义：an表示n个a相乘如：(3)3(3)×(3)×(3)，表示3个(3)相乘(15)写法的注意：当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了如：()2×，表示两个相乘而，表示2个1相乘的积除以3(2)2(2)×(2)，表示

6、两个(2)相乘22(2×2)，表示2个2的乘积的相反数（16）乘方运算的符号规律正数的任何次幂都是正数负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数0的奇数次幂，偶次幂都是0所以，任何数的偶次幂都是正数或0（17）有理数的混合运算有理数的运算中，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方（及开方乘方的逆运算，以后将讲到）为三级运算。对于有理数的混合运算，要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号。有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行。如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的。如果能利用运算律简

7、化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理。（18）为了加强与相关运算的联系，利用计算器计算分散安排在相关内容中。例如，教科书用计算器计算一些负数的乘方，进而探求负数的乘方的符号规律。学会了使用计算器进行有理数运算，较复杂的计算就可以用计算器完成。简单的有理数运算仍需要学生熟练地用笔算完成。【数学史料】数学符号的起源数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚，但是数量多得多。现在常用的有200多个，初中数学书里就不下20多种。它们都有一段有趣的经历。例如加号曾经有好几种，现在通用"+"号。"+"号是由拉丁

8、文"et"（"和"的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文"più"（加的意思）的第一个字母表示加，草为""最后都变成了"+"号。"-"号是从拉丁文"minus"（"减"的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了"-"了。也有人说，卖酒的商人用"-"表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在"-"上加一竖，意思是把原线条勾销，这

9、样就成了个"+"号。到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定："+"用作加号，"-"用作减号。乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是"×"，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是" "，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为："×"号象拉丁字母"X"，加以反对，而赞成用" "号。他自己还提出用""表示相乘。可是这个符号现在应用到集合论中去了。到了十八世纪，美国数学家欧德莱确

10、定，把"×"作为乘号。他认为"×"是"+"斜起来写，是另一种表示增加的符号。"÷"最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用"："表示除或比，另外有人用"-"（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的代数学里，才根据群众创造，正式将"÷"作为除号。平方根号曾经用拉丁文"Radix"（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的几何学中，第一次用&q

11、uot;"表示根号。"r"是由拉丁字线"r"变，"-"是括线。十六世纪法国数学家维叶特用"="表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号"="就从1540年开始使用起来。1591年，法国数学家韦达在菱中大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了"="号，他还在几何学中用""表示相似，用""表示全等。大于号"

12、;"和小于号""，是1631年英国著名代数学家赫锐奥特创用。至于"""、""这三个符号的出现，是很晚很晚的事了。大括号" "和中括号" "是代数创始人之一魏治德创造的。【智慧列车】1.有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24。例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×424（上述运算与4×(123)视为相同方法的运算）现有四个有理数3，4，

13、6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24。运算式如下：（1） ，（2） ，（3） 。另有四个有理数3，5，7，13，可通过运算式（4） 使其结果等于24。2小亮的爸爸在一家合资企业工作，月工资2500元，按规定：其中800元是免税的，其余部分要缴纳个人所得税，应纳税部分又要分为两部分，并按不同税率纳税，即不超过500元的部分按5%的税率；超过500元不超过2000元的部分则按10%的税率，你能算出小亮的爸爸每月要缴纳个人所得税多少元？解：500×5%+（2500800500）×10%=145（元）因此，小亮的爸爸每月要缴纳个人所得税14

14、5元【中考欣赏】1.下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数）。现在的北京时间是上午800（1）求现在纽约时间是多少？（2）斌斌现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？ 城 市时差/ 时纽 约13巴 黎7东 京1芝 加 哥14解：（1）上午8：00往前推13小时时前一天晚上19点。 （2）8+（-7）=1巴黎现在是凌晨1点，所以不合适。2.M国股民吉姆上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）星期一二三四五六每股涨跌+4+4.512.56+2（1）星期三收盘时，每股是多少元？（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？（3）已知吉姆买进股票时付了0.15%的手续费，卖出时需付成交额 0.15的手续费