概率论与数理统计知识重点要点

1、知识要点概念：1随机事件：用A,B,C等表示互不相容：AB =：互逆：AB 且 A_. B，此时，B=A互逆=互不相容，反之不行相互独立： P(A B) = P(A)或 P(AB) = P(A)P(B)2随机事件的运算律：(1) 交换律 ：A_. B=B_. A ,AB=BA(2) 结合律 :(A 一 B) 一. C 二 A 一(B C) ,(AB)C 二 A(BC)(3) 分配律 ：A(B C) =AB AC , A (BC) =(A_. B)(A_. C)(4 ) De Morgen 律(对偶律)A _ B = ABAB = A _ Bnn 推广：UA 二P|Ai 2innWUAi

2、63;i d3随机事件的概率：P(A)有界性 0乞P(A)乞1若 A B 则 P(A)_P(B)条件概率 P(A B)= P(AB)P(B)4随机变量： 用大写X,Y,Z表示若X与Y相互独立的充分必要条件是F(x,y)二FX (x)FY(y)若X与Y是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是f (x ,y) = fX (x) fY (y)若X与Y是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是p(x , y) = px (x) PY(y)若X与Y不相关，则cov(X,Y)=0 或R(X,Y)=O独立=不相关反之不成立但当X与Y服从正态分布时，则相互独立二 不相关相关系数：R(X,Y) <1且当且仅

3、当Y = a bX时R(X,Y) = 1,并且R(X,Y/'1-1,两种概率模型M:A所包含的基本事件的个数；N:总的基本事件的个数M古典概型：P(A)=N伯努利概型：n次独立试验序列中事件 A恰好发生m次的概率 Pn(m)二C： pmqnn次独立试验序列中事件 A发生的次数为 m到m2之间的概率m2P(m!乞 mmDPn (m)m=mn次独立试验序列中事件A至少发生r次的概率nr JP(m_r)=' Pn(m)=1 二 Fn(m)m=rm =0特别的，至少发生一次的概率 P(m 一1)=1-(1- p)n三概率的计算公式：力口法公式：P(A 一 B)二 P(A) P(B) -

4、 P(AB)若A , B互不相容则P(A BP(A) P(B)推论：P(A)二 1 - P(A)推广：P(A _ B 一 C)二 P(A) P(B) P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) P(ABC)若 A ,B，C 互不相容，则 P(A B CP(A) P(B) P(C)乘法公式：P(AB) =P(A)P(B A)或=P(B)P(AB)若 A,B 相互独立，P(AB) =P(A)P(B)推广：P(AA An)=P(A)P(A2 A)P(A3AA)P(An|AA代斗)若它们相互独立，则P(AA2 I川llAn) =P(A)P(A2)II川IP(An)3 / 16全概率公式：

5、若 A为随机事件，B1 ,B2Bn互不相容的完备事件组，且 P(Bi) . 0则 P(A)二 P(BJP(ABi) P(B2)P(AB2)P(Bn)P(ABn)注：常用B,B作为互不相容的完备事件组有诸多原因可以引发某种结果，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和，这样的概率问题属于全概问题 用全概率公式解题的程序：(1) 判断所求解的问题 是否为全概率问题(2) 若是全概率类型，正确的假设事件A及B ， B要求是互斥的完备事件组(3) 计算出 P(Bi) , P(ABi)(4) 代入公式计算结果四一维随机变量：1 分布函数：F(x)二 P(X - x)性质：(1)0岂F(x)乞1(2) 若

6、： X2，则 F(Xi)_ Fg)(3) 若X是离散随机变量，则 F (x)是右连续的若X是连续随机变量，则 F (x)是连续的(有时，此性质也可用来确定分布函数中的常数)(4) lim F(x) =1 即 F(二)=1xlimF(x)=O 即F(：)=0 (此性质常用来确定分布函数中的常数)x利用分布函数计算概率：P(a ：X乞b)二F(b)-F(a)一维离散随机变量：概率函数：p(xj二P(X =xj i =1,2川(分布律)性质：p(xj0' p(x) =1 (此性质常用来确定概率函数中的常数)i已知概率函数求分布函数F(x)=v P(X二p(x)x丄x公一维连续随机变量概率密度

7、f(x)性质：(1) 非负性f(x)_O(2)归一性:：f (x)dx = 1 (常用此性质来确定概率密度中的常数)分布函数和概率密度的关系:f(x) =F(x)9/16xF (x) f (x)dx(注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数) b利用概率密度求概率P(a ： X岂b) = f f (x)dxba五一维随机变量函数的分布：离散情形：列表、整理、合并连续情形Y=g(X):分布函数法先求Y的分布函数，再求导六二维随机变量:边缘分布函数：Fx(x) =F(x,二)FyW)二 F(:,y)联合分布函数 ：F(x , y)= P(X<x ，丫岂 y)性

8、质：(1)F(-：(2)F(-：,x)=0(3)F(-：,y) =0(4)F ( :, ：) = 1(此极限性质常用来确定分布函数中的常数)二维离散随机变量:联合概率函数pW , yj) =P(X ，丫 =比) 列表边缘概率函数：Px(x)=» p(x，yj)PY(yJ二為 P(Xi，yj)ji二维连续随机变量：联合概率密度 f(x,y)性质(1) f(x,y)_O(2) .1 ” .1 ” f (x ,y)dxdy =1 (常用此性质来确定概率密度中的常数)联合分布函数与联合概率密度的关系. .2f(x,y)F(x,y)cxoyx yF(x,y)；二f(x,y)dxdy(注意：当被

9、导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数)利用联合概率密度求概率P(x,y) R)二 f(x,y)dxdyR已知联合概率密度求边缘概率密度"bo"bofx (x) =f(x,y)dyfy(y)二 f(x,y)dx(注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数) 二维随机变量函数的分布1离散情形2连续情形：七 随机变量的数字特征：n若X为离散随机变量：E(X) -7 xip(xi)i A若X为连续随机变量：E( X)二xf( x> dx-Q0二维情形若(X ,Y) f (x, y)为二维连续随机变量，则E( X)=-xf ( M

10、dx x(f ,x )y dxdyE(Y)nf(x，y)dxdy若(X ,Y) p(xi , yj)为二维离散随机变量，则E(x)=迟 xPx(x)=迟迟 XiP(x,yj)ii je(y)八 yj s(yj)八' %卩(人$)jj i随机变量的函数的数学期望：若X为离散随机变量：E Ig(XZ g(x)P(Xi)i若X为连续随机变量Eg( x)】=J axf(MdxCO方差：定义 D(X)二E“X -E(X)产方差的计算公式：D(X)二E(X2)-E2(X)2 2cov(X,Y)'D(X) .D(Y)注意这个公式的转化：E(X D(X) E (X)协方差：cov(X,Y) =

11、E(XY)-E(X)E(Y)，相关系数 R(X,Y)二关于期望的定理：(1) E(C) =C(2) E(CX)=CE(X)(3) E(X Y) =E(X) E(Y)关于方差的定理(1) D(C)= 0(2) D(CX)二 C2D(X)相互独立： D(X YD(X) D(Y)E(X -Y)=E(X)-E(Y)EX Y)二，E( X)E( Y)相互独立E(XY)二E(X)E(Y)(注意：反之不成立)D(X -Y)二D(X) D(Y)(注意：反之不成立)般地：D(X Y)二 D(X) D(Y) 2cov(X,Y)0 -1 分布 B(1, p) p(x)二 pxq2x= 0 , 1 E(X)= p D

12、( X) pq二项分布 B(n , p) p(N)二C：pxqn _xx = 0,1|n E( X戶 n p D 冲 n pq泊松分布p( ) p( x) e x!0 側 E( X)= D( X) 均匀分布：U(a,b) f (x)ba0 其他F(X )詔 0-1x ： ax _ b指数分布：正态分布：f (x)二E(X)e()E(X)D(x7f(X)=l XAO10x0F(x)卄卫1 1r d(x)=rX N(L)彳(x-M2菩7 e疋F(x)二丄V2JIcrx.:e(Xi2疋dx八 要熟记的常用分布及其数字特征:E(X) D(X*21 x _特别地 N( 0 , 1 )(x)二>(x

13、)=亠 e 2dx C：(-x) = 1G(x)2二-:E（X）=O D（X）=1卄2XtAXPx?- 卩若 XN（；2），则 P（X1 ： X ： X2） =P（2）aCTCT-:（生）ctcr九 正态随机变量线性函数的分布；十统计部分：统计量，三大分布的定义，无偏性 有效性矩估计最大似然估计区间估计假设检验矩估计的步骤：（思路：用样本的k阶原点矩去估计总体的k阶原点矩） 若总体中只含一个未知参数；（1）计算总体的一阶原点矩E（X）（2） 令E（X） =V1' Xi ，从中解得未知参数的矩估计量n i吕若总体中含有两个未知参数；（3） 计算总体的一阶原点矩E（X），二阶原点矩E（X2

14、）E（X） =送 Xi（4）令门亡，从中解得未知参数的矩估计量。E（X2） “2 二 1、Xi2In y最大似然估计的步骤：n（1）写似然函数：若总体是连续的随机变量，则 L（'）=； f（Xi,）=1n若总体是离散的随机变量，则L）p（Xi / ）iT（注：离散情形，似然函数就是样本出现的概率）（2）对似然函数两边取对数；（3）对参数求导数，并令导数等于0（4）由此解得参数的最大似然估计值。 区间估计的步骤：若已知二，则的置信水平为1 - :的置信区间为(一%一丄 0)(x-.nujx .n字查表，将所有的数据代入上式，求出区间即可。若未知二，则的置信水平为的置信区间为(x s t：

15、.(n1) ,x s t：.(n1) n 2r：n 2查表，将所有的数据代入上式，求出区间即可。假设检验的步骤：(对参数J)(1) 根据题意提出原假设与备择假设(2) 根据题意选取统计量；已知;，则应该选择u统计量X - N(0,1)二未知，则应选择统计量t =X _t(n_1) S/ , n(3) 计算统计量的观察值(4) 查临界值，判断统计量的观察值是否在拒绝域里，下结论例：甲袋中有5只红球10只白球，乙袋中有8只红球6只白球，现先从甲袋中任取一球放 入乙袋，然后又从乙袋中任取一球放入甲袋求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率解：设A :从甲袋中取出放入乙袋的是红球，B :从乙袋中返还甲袋的

16、是红球 ，C :这一个来回后甲袋中红球数不变，则C = AB AB,从而P(C) = P(AB)+P(AB) = P(A)P(BA) + P(A)P(B A)5 _9 . 10 旦=515 1515 159例高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立)，设每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2，若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6，若敌机中三弹，则必然坠落。求敌机被击落的概率。13 / 16解：设事件A表示敌机被击落，事件 Bi表示敌机中i弹。i =1,2,3则 P(BJ =C；0.31(1 0.3)2 =0.441P(B2) =C；0.32 (1 0.3)1

17、 = 0.1 8 9P(B3) hCJoB3。-0.3)° =0.027P(ABJ=0.2P(AB2)=0.6P(AB3)=1所以，P(A)二 P(BJP(AB1)P(B2)P(AB2)P(B3)P(AB3)= 0.4 4 1 0.20.1 8 9 0.60.0 2 7 1= 0.0 8 8 20.1 1 3 40.0 2 7= 0.2 2 8 6'0例：设X的分布函数F(x)二R2x ： 00 _ x ： Rx _ R求 f (x)解：当 0；：x：R 时,2xf(x)二 F (x) =(r)R22xR7当 x _0,x _ R 时，f(x) =0在x =R处导数不存在，但

18、规定为零2x f (x) = * R200 ： x R其它例：设连续随机变量的概率密度a cosx f (x) = *0jix兰一2ji2求：(1) a(2) F(x) pg*：)解:（1）(x)dx = J2兀a cosxdx = 2a J2 cosxdx = 2as in x 02=2a （对称性质）215 / 16由._f(x)dx=1 得：2a =1x(2)当 x 时，F(x) f(x)dx=O2-3331JIx 二2 2分段函数积分F(x)二f(x)dxx 112 Odx 一 cosxdx 二'一2 2xJ cosxdx2 -21 .sin21 (sin x 1)225 /

19、16当x 时，2x 1F (x) f (x)dx 2 sin xdx 二 1'二T 92厶310x <21| | nF(x) = ；(1 +sinx)x 兰jix2(3)P(0 : x ：)4=0 f(x)dx41cos xdx或 P(0 ： x ) = F()F(0)=丄(1 sin)-丄(1 sinO)-442424例：X e(1)，求Y = X的密度函数解：f()卢x>0f (x)二10x"FY(y) =P(Y b)二 P(G b)当 y ：0时,FY(y) =02 2当 y -0时,FY(y)二 P(、，x _ y)二 P(x _ y2) = y _f (

20、x)dx 二:edx+0y : 0FyWy2 亠0 e dx y 一 0fY(y)=FYO)J°y2Z-2yeyy_0例：设随机变量X的概率密度为f (x) =«6x(1 - x) ,0 c x c1 ,0, 其它.求:(1) E(X) ,D(X)1 P(X 2)解：(1)E(X)二-bexf (x)dx = 0 x6x(1 - x)dx = 6 0 ()dx = 6 1 x313114x42E(X )f(x)dx = ：x26x(1 -x)dx =6：(x3x4)dx = 6 i1 x4141=6(415)310223D(X"E(X E(X14201P(X厂缨(

21、1 x)dx = 6；x2=6)-(=6(设随机变量X的概率密度为3x(1 x),0 兰x 兰1,f (x) = « k x ,1 v x 兰 2,.0, 其它.求(1)常数 k 的值；(2) E(X) ； (3) D(X).七严121 k 2 21 3k解：(1)(x) dx = 3 J0 x(1x)dx + kx dx = 2 十 2 x 2 + 2 ,1 3k1由二f (x)dx =1 知 一 一 =1，解得 k = 一 .a223-He” 1 2 1 ”2 2E(X)二.一xf (x)dx =3.0 x (1 _x)dx 1x dx寸一4)113 20 9x11737r =4

22、936(3) E(X2) = X2f(x)dx=31 3 1 2 3° x (1 _ x )dx 亠 | x dx= 3(-x1x5)450丄x123旦722737 2D(X)=E(X)_(E(X)蔦一怎)例：设随机变量(X ,Y)的概率密度为f(x,y)0,计算：(1)边缘概率密度fx(x),fY(y)(2)X与Y是否相互独立？为什么?解 (1)当 x0时，fx(x)=0当x 0时,fx(x)=:f(x,y)dy 二dy =-y-e0 , x 兰 0 ;所以fx(X)=丄、e , x > 0.当厂乞0时，fY(y)=0HuCy当 y 0时，fY(y)二二f(x,y)dx= 0

23、 eydx = yey所以fY(y) J 0，|_yey 9y 0.(2)因为 fx(x)fY(y) = f(x,y)所以X与Y不相互独立。例 设随机变量(X ,Y)的联合概率密度为:jijicosxcosy ,0 x ,0 岂 y ;f(x,y)2 丫 2JI(2)P(X 丫乞0,其它.求：(1)x的边缘概率密度fx(X)，解：(1) fx(x)= f (x , y)dy当 x : 0或 x 孑时，fX(x)=O时2时,fx (X)=cosx ,0 兰 X £-0,其它.712当0乞X乞所以，fx(X)二兀22 cosxcosydy 二 cosx (sin y)Tt2 = cosx

24、(2) P(X 丫 辽)二f (x , y)dxdy 工x性二 二 xogcosxcosydy2 c o xs in|2 "dx 二兀2c o ss iTTi y x)dx 二 o2Tlc o sxdx =21 co2xdx).丄 sir2x|02241(o +1)x"0 £ X V 1例：总体X的概率密度为f(x) ='',a是未知参数，求G的0其他矩估计量说1丹1丹卅。+1解： E(X) x f(x)dx 二 °x (：1)x dx =(：1) dx 二:誥亠1令X很亠22 x 1由此解得的矩估计量为，:'1 -X、扎6-川/

25、)xa2；例 设总体的X概率密度为f(x,h) ="，；，其中丸 0为未知参0 ,x 兰 2 数，如果从该总体中取得简单随机样本观测值X1 ,X2，Xn ,，求参数的最大似然估计值。nnn八-江 X -2n)解 似然函数为 L(1 )f (Xi , 1)-(x -2 , ne v1i 3n取对数得In L( ') = nln 叫' Xj - 2n)i=1对求导得d In L(-)=-C Xi 2n)令 dInL()=o从而得到的最大似然估计值为、xi -2n x -2i 4=1.22.58,25例：设总体XN(1.22)为未知参数.(1) 已知从该总体中随机抽取25个

26、观测值的平均值为 8.20，求的置信水平为0.99的置 信区间(结果保留四位小数)(2) 要使的置信水平为0.99的置信区间长度不超过 1，问样本容量最少应为多少？解: (1)已知二，则的置信水平为1 -的置信区间为(x u -. , x u ). n 亍.nn - 25 ,1= 0.99 , a =0.01，怎。二仁2 , u2 = 5.005 = 10.005 (迂)=2.58,于是= 0.6192 ,又x =8.20，于是置信区间为(X；：U2X 二0 u-. ) = (8.20 -0.6192,8.20 0.6192), n t即(7.5808,8.8192).(2)要使置信区间长度2l2 1.2.n 2.586.192 n 一 6.192 , n 一 38.34，样本容量最少为 39 .例：从一批火箭推力装置中抽取8个进行试验，测试其燃烧时间(s),经计算得 样本均值x =51.88 (s),样本标准差S = 0.66 (s),设燃烧时间服从正态分布N（i ,；2），求燃烧时间均值的置信水平为0.90的置信区间