实验二 用雅克比迭代法解方程组

1、数值计算方法实验实验2 用雅克比迭代法解方程组一、 实验目的1、 学习使用雅克比迭代法求解方程组，加深对雅克比迭代法的认识。2、 在误差允许的范围内，在循环次数较少的情况下，求解方程组的稳定解。3、 进一步加深对Matlab的学习。二、 实验题目用雅克比迭代法解方程组：5x1+2x2+x3=8 , 2x1+8-3x3=21 , x1-3x2-6x3=1 ,三、 实验原理 设有n元线性方程组AX=b, 其中系数矩阵A的对角元素aii0（i=1,2,3,n） 从方程组的第i个方程中可以解出 xi ,可得到以下等价方程组：x1= 1a11(b1-a12x2-a13x3-a1nxn) ,x2= 1a2

2、2(b2-a21x1-a23x3-a2nxn) ,，xn= 1ann(bn-an1x1-an3x3-an,n-1xn-1) .记D为A的对角线矩阵，L为A的下三角阵，U为A的上三角阵，即 则有：X=-D-1(L+U)X+D-1b;令 B=-D-1(L+U)， d=D-1b;则有：X=BX+d;其中B成为迭代矩阵上式即为雅克比迭代法的迭代公式。取定一个x(0)以后，便可得 x(1)=B*x(0)+d,再往下迭代得到：x(2)=B*x(1)+d,如此反复迭代，一般的有：x(k+1)=B*x(k)+d, k=0,1,2,由此便得到一个向量序列 X(k).若limkX(k)=X*,则X*就是方程组的解

3、。反之：若limkX(k)不存在，即 X(k)不收敛，就不能用雅克比迭代法计算。可将上述迭代过程改为如下形式：xi(k+1)= 1aii (bi-j=1i-1aijxjk-j=i+1naijxjk) = xi(k)+1aii(bi-j=1naijxjk), (i=1,2,3,n)四、 实验内容按照上述迭代法可得到如下的算法：设方程组为：AX=b, 其中系数矩阵A的对角元素aii0（i=1,2,3,n）max_iter为迭代数容许的最大值，eps为容许误差：1. 取初始向量,令k=0;2. 对i=1,2,n,计算： .3. 如果,则输出,结束。否则，执行下一步；4. 如果max_iter>

4、=50,则该迭代法不收敛，终止程序；否则转2.建立一个M文件，程序如下：function x,iter=jacobi1(A,b,x_0)A=5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6;b=8 21 1;eps=10e-6;x_0=0 0 0;n=3;x=x_0;max_iter=100;y=0 0 0;for k=1:n if(A(k,k)=0) return endend iter=1;while iter<max_itertemp=0; for i=1:n for j=1:n temp=temp+A(i,j)*x(j); end temp=(b(i)-temp)/A(i,i); y(i)=x(i)+temp; end x=y; iter=iter+1; if abs(temp)<eps returnendend五、 实验结果 ans = 1.0000 2.0000 -