圆与圆地位置关系

1、第三讲 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系教学目标1.掌握直线与圆的三种位置关系及其相应数量关系的特征，通过分析将直线与圆的各种位置关系转化为相应的数量关系，体会数量分析的研究方法以及量变引起质变的观点2掌握圆的切线的判定定理.3. 理解圆与圆的位置关系及其有关概念， 初步掌握圆与圆各种位置关系相应的数量关系的特 征，会进行“圆与圆的位置关系”、“两圆圆心距与这两圆半径长之和或差的大小关系”这两 者之间的相互转化，并能初步运用这些知识解决有关问题4. 掌握两圆相切和相交的连心线性质定理.教学重点1. 直线和圆的位置关系的判定方法和性质.2. 两圆的五种位置关系中的圆心距与两圆的半径之间的数量

2、关系3. 相交、相切两圆的性质及应用.教学难点1. 探索直线与圆的位置关系中圆心到直线的距离与半径的大小关系并运用相关结论解决有 关问题.2. 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系并运用相关结论解决有关问 题.教学方法 建议总结归纳，启发诱导，讲练结合，巩固优化.第一部分知识梳理.直线与圆的位置关系1. 直线与圆的三种位置关系如图，设O O的半径为r，圆心0到直线I的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系:(1) 直线I和O 0相离 d r此时：直线和圆没有公共点.(2) 直线I和O 0相切 d r此时:直线和圆有唯一公共点，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.(3)

3、直线I和O 0相交 0 d r此时:直线与圆有两个公共点，这时的直线叫做圆的割线.2. 切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质：(1 )与圆只有一个公共点；(2) 圆心到切线的距离等于半径；(3) 圆的切线垂直于过切点的半径 .切线的识别：(1) 如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线(2) 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线(3) 经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线证明直线是圆的切线的两种情况 ：(1 )当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径长”来判定直线与圆相切(2)当已知直线与圆有公共点时，应当用判

4、定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”圆与圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距设两圆的圆心距为 OO d，半径为则有:(1)外离:没有公共点，两圆外离(2)外切:有唯一的公共点，两圆外切(3)相交:有两个公共点,两圆相交(4)内切:有唯一的公共点，两圆内切(5)内含:没有公共点，两圆内含(1)(4)(5)2.相切两圆的性质连心线：经过两个圆的圆心之间的直线.相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点 注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切

5、3. 相交两圆的性质相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧qB第二部分例题精讲例 1 如图，已知 Rt ABC 中，/ C=90 °,AC=3 , BC=4(1 )圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？(2 )圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？(3)如果以点C为圆心的圆与直线 AB有公共点，求O C的半径R的取值范围出题意图：考查直线与圆的位置关系解析：利用圆心到直线的距离与半径比较即可得出圆与直线的位置关系答案:解:在 Rt ABC 中，/C=90 °

6、; ,AC=3 , BC=4.由勾股定理，得 AB=5.设点C到AB的距离为d，则1 1 AC BC -AB d22-3415d即22解得d=2.4.(1)24 >2 ,即d > R半径长R为2的O C与直线AB相离(2)24 V 4 ,即d V R,半径长R为4的O C与直线AB相交.(3)如果以点C为圆心的圆与直线 AB有公共点，那么O C与直线AB相切或相交当RA2.4时，O C与直线AB有公共点.针对训练1 已知 Rt ABC 中，/ ABC=90 °,AB=3 , BC=4，以 B 为圆心作O B.(1 )若0 B与斜边AC只有唯一一个公共点，求OB的半径长R的

7、取值范围(2 )若0 B与斜边AC没有公共点，求O B的半径长R的取值范围.例2 已知：直线 AB经过O O上的点 C,并且 OA=OB , CA = CB.求证：直线AB是O O的切线.出题意图：考查切线的判定定理解析：欲证AB是O O的切线，由于AB过圆上点C,若连结OC,则AB过半径OC的外端，只需证明OC丄AB即可答案：证明：连结0CV0A = 0B , CA = CB0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线.AB 丄 OC .直线AB经过半径0C的外端C,并且垂直于半径 0CAB是O O的切线.针对训练2如图，AC是O O的弦，AC=BC=OC.求证：AB是O O的切线C例3 如图，已

8、知O A、O B、O C两两外切，且 AB=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求这个三个圆的半径长出题意图： 考查圆与圆的位置关系解析：利用外切两圆的圆心距等于半径之和即可答案：解：设O A、O B、O C的半径长分别为 x厘米、y厘米、z厘米./OA、O B、O C两两外切，'AB = x + y, BC= y + z, CA = z+ x.根据题意，得关于 x、y、z的方程组解得ZOA、O B、O C的半径长分别为 2厘米、1厘米、4厘米.针对训练3如图，O O的半径为5厘米，点P是O O外一点，0P=8厘米.求：（1 ）以P为圆心作O P与O 0外切，小圆O P的半径是多少?（

9、2 ）以P为圆心作O P与O 0内切，大圆O P的半径是多少?例4 相交两圆的公共弦长为 6，若两圆半径分别为8和5，求两圆的圆心距出题意图： 考查相交两圆的性质解析：两圆相交要考虑两种情况：（1）圆心在公共弦的同侧，此时圆心距等于两条弦心距之和；（2）圆心在公共弦的两侧，此时圆心距等于两条弦心距之差的绝对值答案：解：圆心在公共弦的两侧Q Q A Oi B, O2A O2BQO2为AB的垂直平分线AB 丄 O1O2 , AC=CBQ AOi 8, AC 3QC55Q O2A 5, AC 3O2C 40Q255 4圆心在公共弦的同侧由可得：0C 55，02C 4Q02 QC 02C 、55 4B

10、针对训练4已知eOi和e O2相交于A、B两点，P是连心线002与e 02的交点，PA、PB的延长线分别交e 01于点C、D.求证：Ac bd例5 如图，e 0i与e 02内切于点P，经过e0i上点Q的切线与e 02相交于A、B两点,直线PQ交e O2于点R.求证：Ra RbB出题意图： 考查相切两圆的性质.本题中过两个圆心作一条直线，则解析：禾U用相切两圆的性质：两圆相切，连心线过切点 这条之间直线必过点 P,然后利用圆中的相关知识即可解答答案： 证明：联结O1Q、O2R，作直线O1O2.QeQ与e O2内切于点PO-O2经过点PQ O-jP O1Q , O2P 02RO1QPO1PQ, O

11、2RPO2PRO1QPO2RPQQ /02RQ AB与e Oi相切与点Q.O1Q ABO2R ABRa Rb针对训练5 如图，e Oi与eO2外切于点P,经过eOi上点Q的切线与eO?相交于A、B两点，直线PQ交e O2于点R.求证：Ra Rb例6 在 ABC中，AB AC 6 , B 30，点0丄、O?在BC上，e 0丄、e O?外切 于点P e O1与AB相切于点D，与AC相离；e O2与AC相切于点E,与AB相离.(1 )求证：DP /AC.(2 )设e O1的半径长为x, e O2的半径长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义 域.C出题意图：考查圆与圆位置关系的综合应用解析：利用

12、等腰三角形的性质和圆与圆的位置关系，可推导出第一问的结论，再结合锐角三角比的知识推出函数解析式，在考虑定义域的时候要考虑到相关动点的临界位置问题，这是个难点，需要多加注意答案：解：(1)联结0.DQeOi与AB相切于点DBDO,90Q B 30BO,D 60Q O-jD O1P1BPD ODP BOD 30BPD C 30DP / AC(2)联结 O2E，则 O?E AC ,作 AHQ C 30 ,O2E y,sin C-O2C 2O2C 2y, PC y 2y 3y同理BD 3xQ BH AB cos30 6 乜 3 .32BC 6、3Q BP PC BC3x 3y 6,3y 2 . 3 x

13、当O-与H重合时，e O-与AC相切，此时BC 于 H.X 32.3X2当。2与H重合时，eO2与AB相切，此时y 23 x（虫 x 3T3）2 2针对训练6在 ABC中， BAC 90 , AB AC 2 2，圆A的半径长为1，若点0在BC边上 运动（与点B、C不重合），设BO=x , AOC的面积为y.（1 ）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域.（2 ）以点0为圆心、B0为半径作圆0,求当圆0与圆A相切时，A0C的面积第三部分优化作业基础训练题（A ）1. 下列直线中，不能判定为圆的切线的是（）A. 与圆仅有一个公共点的直线；B. 与圆心的距离等于半径长的直线；C. 过半径的端点且

14、与该半径垂直的直线；D. 过直径的端点且与该直径垂直的直线2. 已知e O的直径等于12cm，圆心0到直线I的距离为5cm，则直线I与e O的交点个数为（）A. 0B. 1C. 2D.无法确定3. e 0,的半径为3厘米，e 02的半径为2厘米，圆心距 OQ2=5厘米，这两圆的位置关系是（）A.内含B.内切C.相交D.外切4. 已知两圆的直径分别为6cm和10cm，当两圆外切时，它们的圆心距 d的大小是（ ）A. d 8cm B. 4cm d 8cmC. d 8cmD. d 4cm5. 已知线段AB=3cm ， e A的半径为4cm，若e A与e B相切，则e B的半径为 cm.6. 如图，A

15、B与e0相切于点 C，OA=OB，若e 0的直径为 8cm，AB=10cm ，那么 OA的长是cm.7. 设e O的半径为r，圆心O至U直线a的距离为d，若d=r，则直线a与e O的位置关系是8两圆的直径分别为 3+r和3-r ,若它们的圆心距为r,则两圆的位置关系为 .9. 已知e O1、e O2的半径长分别是 3cm、5cm，如果e O1与e O2内含，那么圆心距 d的取值范围为10. 两圆的半径之比为 5:3，如果当它们外切时，圆心距长为16，那么当它们内切时，圆心距长为.211. 已知e O1和e O2的半径为方程x 4x 2 0的两个根，若0Q2 2.5，试判断e O1和e O2的位

16、置关系.12. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD /BC, CD 丄 AD , AD+BC=AB.求证：以AB为直径的 与CD相切.DB13. 如图，0A=0B=8, OA丄OB，以0为圆心、OA为半径作 Ab , e O2与以0A为直径的e O1相切于点E,与 Ab 相切于F,与OB相切于D，求eO2的半径长.14. 如图，已知A是e Oi、e O2的一个交点，点 P是OO 的中点过点A的直线MN垂直 于 PA，交 e、e O2 于 M、N.求证：AM=AN.AN15. 已知e O1和e O2相交于A、B两点，公共弦与连心线 0Q2相交于点G，若AB=48，e O1 的半径A 30，e

17、O2的半径240.求的面积.提高训练题(B)1. 已知e O的半径为2,直线I上有一点P满足P0=2 ,则直线与e O的位置关系是()A.相切B.相离C.相离或相切D.相切或相交2.已知 ABC三边分别是a、b、c，两圆的半径n a , ab，圆心距d c,则这两个圆的位置关系是:( )A.相交B.内切C.外切D.内含3两圆的半径长度分别为 R和r，两圆心间的距离为 d，如果将长度分别为 R、r、d三线段 首尾相接可以围成一个三角形，则两圆的位置关系是 .4两个半径都等于 2cm的e Q和e 02的圆心距0,02 6cm，则与这两个圆都相切，且半 径为3cm的圆有个.5. Rt ABC中，/B

18、=90 ° ,ZA的平分线交BC于D , E为AB上一点，DE=DC,以D为圆心、 DB为半径作圆D.(1 )求证：AC是圆D的切线；(2 )求证：AB+EB=AC.6. 如图，正方形 ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以 A为圆 心，AB为半径的圆弧外切，求 tan ZEAB的值.7.如图，点D在。0的直径AB的延长线上，点 C在。0上，AC CD , D 30°.(1)求证：CD是OO的切线;(2 )若。O的半径为3，求Be的长.(结果保留n)8. 如图，已知 ABC中，/C=90 ° ,AC=12 , BC=8，以AC为直径作e O

19、，以B为圆心，4为半径作e B.求证：e O与e B相外切9. 如图，已知e O与e A交于b、C两点，A在e O上，ad是e O的直径，AD交BC于M , AE 是 e O 的弦，AE 交 BC 于 N.若 AM=4cm , AN =6cm , AE=24cm ，求 e O 的半 径10. 如图，AB为半圆O的直径，P是AB延长线上一点，将线段PA绕点P旋转到与半圆 0相切的位置PC,这时切点为E，AC与半圆相交于点D.（1）求证：sin P ；CD（2 ）若 CD=2AD ，求 CE:EP 的值；（3 ）若E是PC的中点，求AD : DC的值.综合迁移题（C）1. 如图，矩形ABCD中，A

20、D=a , AB=b , (a>b ),以C为圆心，CD的长为半径作圆弧交BC于E,以B为圆心、BE长为半径作圆弧交 AB于F,以A为圆心、AF为半径作圆弧恰a与弧DE相切求的值.b2. 已知，如图所示，圆 01与圆02相交于A、B两点，过A点的弦分别交两圆于C、D，弦CE/DB，连结EB，试判断EB与圆02的位置关系，并证明你的结论3. 在 ABC中， BAC 90°, AC=3 , AB=4 , O是BC上的一点，以 0为圆心，0C为半径作圆交AC于点D，交BC于点F,过D作©0的切线交AB边于点E,连BD，设OC=x ,BED的面积为y.求y与x之间的函数关系式

21、.4. 在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1,0），点C的坐标为（0,4），直线CM / x 轴（如图7所示）点B与点A关于原点对称，直线 y x b （ b为常数）经过点 B , 且与直线CM相交于点D，联结OD （1 ）求b的值和点D的坐标；（2 ）设点P在x轴的正半轴上，若 POD是等腰三角形，求点 P的坐标；（3 ）在（2）的条件下，如果以 PD为半径的© P与© O外切，求© O的半径.参考答案:针对训练12121. (1) R或3 R 4(2) R 3552. 通过等边对等角和三角形的内角和定理可以推出/OAB=90 °即可得出答案.3. ( 1 )0 P1的半径是3cm (2 )0 P2的半径是13cm4. 禾U用相交两圆公共弦的定理以及同圆弦心距相等则弦所对的劣弧相等即可得出答案5. 禾U用两圆相切连心线过切点的定理即可解答6. (1 ) y x 4(0 x 4)17 、1(2 ) S aoc 或(提示：第二问要考虑圆A和圆O外切、内切两种情况)6 2基础训练题(A )1. C2. C3. D4. A5. 1cm 或 7cm6. 417. 相切8. 内切9. 0cm