两方程模型在多孔介质的热传导

1、两方程模型在多孔介质的热传导J. G.福里1，*和J. P.普莱西21不列颠哥伦比亚省，科技，3700威灵顿大道，本拿比，BC，加拿大研究所 V5G3H2斯泰伦博斯，私人袋X1，Matieland7602大学教研室应用数学，南非摘要。两方程模型在多孔介质的热传导的配方，研制在过去的研究中，被施加到稳定状态的一维热传导的情况下，在多孔 这是由类似规模的几何相似的单位责令空间分布的媒介。对于这种情况的研究中，模型预测本地体积平均温度分布的固体和流体相进行比较，以在微观水平的数值解，示出优秀的协议。关键词：传热，数学建模，能量方程，音量平均，非热平衡，有效的热导率，加上导热性。1.简介当地平均量在本

2、文的第一部分（福里和杜立石，2003年），该方法 被用来开发两个方程执政微分方程模型描述的热养护在宏观水平的多孔各相介质中的扩散是热传递的主要手段，并在其中的相位不与彼此热平衡。该模型构成由方程为固相，给定为单独的控制方程每相允许应用程序案件中，的相位不与彼此热平衡。在方程（1）和（2），HSF，KSS和KFF，以及KSF和KFS是被分别称为界面传热传输参数系数，固相和液相有效热传导率张量，并且所述固相和液相耦合的热传导张量。界面的传热系数被定义为HSF -？TNN？0- ？TNN？1ASF？ASFkTnn，·ndA的，（3）其中，= s和= F，以及反之亦然，TNN是无方向性的非平

3、衡 温度分布，在第一部分中定义的有效，耦合的热导率张量KSF和KFS，被分别定义为k？米KND，MKE，M +（/）KND，mknd，男 KND，M +（/）KND，男青霉，（4）和k？米KND，男？科，米 - KND，男？KND，M +（/）KND，男他们，（5）其中m是为原则方向在多维总和索引域和EM代表在原则方向基本单位向量。 （由于这些是对角张量，单方向性指数为足以在其组分）。在的热导率张量的定义（4）和（5），科和KND是组件的平衡和非平衡热导张量，分别和被定义为科，男K？Te/这里Te和TND是平衡和方向非平衡温度 分布，分别在第一部分中定义的温度分布 被称为微观水平温度分布的，因

4、为它们被描述 通过能量方程的保护，得到了微积分的 连续的物质。该模型是在该interphasial传热系数定义独特（3）和热导率张量分量（6）和（7），表明 传输参数可从特性的分析来确定ke,m k_Te/m_ _Te_ /m, (6)andknd,m k_Tnd/m_ _Tnd_ /m.在这里，TE和TND是平衡和方向的非平衡温度 分布，分别为，第一部分的温度分布的定义 指的是在他们所描述的微观层面的温度分布 通过能量守恒方程，通过微分一个连续的物质。该模型是独特的，相间传热系数的定义（3）和热导率张量分量（6）和（7），表明 交通参数可以从特性的分析确定two-equation模型的热传导

5、第二部分微观层面的温度分布在每一个阶段的代表单元体（REV）（见第一部分）。在本文的第二部分，这样的做法是 进行了一个案例研究，还包括模型预测之间的比较体积平均温度，数值解在微观层面。2。案例研究2.1。多孔结构和传输特性这两个方程模型应用在二维显示多孔介质的几何，如图1所示。每相由对类似大小的几何相似的单元阵列、有序的空间分布。最基本的单几何定义完整的微观结构的几何形状通常被称为文学作为一个单元电池（UC）。图1中的虚线代表之间的界限UC的两阶段每隔一行的几何周期和每一个交替的垂直柱UC的两阶段合并参考图1中的Y方向。两阶段均设置在系列在并行参考Y方向。这样的安排，分析可以扩展到所有方向和任

6、意多孔介质。热的固体和流体相的电导率是任意选定为200和40W / MC，分别。为了实现一个合适的温度分布比较如下，包括热电阻薄层材料这两个阶段之间的导热系数0.000015w / MC.UC的尺寸如图2所示。2.2。的two-equation模型参数的相间传热系数是由相间热确定HSF传递系数的定义（3）为每个接口的净热传递率在转速之间的内在差异的两个阶段之间的区域 体积平均每相温度。这个定义适用于无方向性 非平衡温度分布TNN（定义一）在Rev。这比固定为一个固定的几何形状和热的两相体系 电导率。的相间传热系数的定义（3）表明一旦TNN的温度分布在一个牧师建立的相间， 传热系数HSF可以量化

7、的微观分析水平温度梯度在两个阶段之间的接口和在相的微观层面的温度。它被认为是在图1 x一零的净热通量。在宏观层面，在两相几何传导是那么彻底利用一维形式描述（y方向）的两方程模型。 在这种情况下，只有平衡的Y方向分量的系数 和非平衡热导张量需要确定。根据热导张量组件（6）和（7），在Y方向（在这两个阶段是合并），各成分的系数 的平衡热导张量，柯，S，Y和柯，F，Y，和的非平衡热导张量，KND，S，Y和美好，F，Y，定义为 该阶段的phasial volumeaveraged乘以比例的热导率 温度梯度T /Y的转速，对梯度在phasia体积平均温度T/Y的转速，在=或F.这比是固定的一个固定的几何

8、形状和热导率的两相体系。 这些定义与平衡温度分布的TE和定向非平衡温度的分布及（定义的第一部分）， 分别在转。的热导张量的定义（4）和（5），和热导率张量分量（6）和（7）表明一个 TE和TND的温度分布，分别在一个牧师的， 有效导热系数的耦合可以量化分析在转速在相的微观层面的温度分布。以其作为一个牧师的单细胞表示，UC中使用本案例研究中，TNN，TE和TND温度分布，建立了 确定传输参数。这些温度分布，建立了在UC通过指定适当的热边界条件UC的边缘。温度分布在16个离散的建立在UC的点，如图3所示，17热电阻元件，指定 R1R17，用来计算节点之间的热传递。1节点3处 在固相，而节点46位于

9、流体相。一系列组合 的方法被用来确定每个元件的热电阻值。这些值在表一给出了图3。在UC电阻网络。节点13分布在固相，而 节点46位于流体相。表1热电阻元件电阻热电阻元（C / W）r1,3 0.003125TNN的温度分布在UC的建立通过指定任意选择沿左侧边界200C恒温（TNN，TNN，8，9）和一个任意选定的恒定温度100C右边的边界（TNN，TNN，13，14）。的温度分布通过指定一个任意选定的恒定的温度在UC的建立100C的顶部边界（TE，7，TE，15，TE，16）和一个任意选定的常数 沿着底部边界200C温度（Te，TE，10，11，TE，12）。TND温度 分布通过指定一个任意选

10、定在UC的建立线性温度分布的增加从左到右沿顶边（T7，T15，T16）和一个线性的温度分布，从左到右的减少 沿着底部边界（T10，T11，T12）。温度分布底部和顶部边界的选取满足方程（18）和（22），在第一部分，表2给出了导致TNN，TE和TND的温度分布得到的溶液的热电阻网络使用这些边界条件。参考热阻网络如图3所示的相间，传热系数的定义（3）可以写为hsf =_int_Tnn,f Tnn,s_int /RintAint_T nn,f T nn,s_ ,在下标的内阻是指电阻元件之间的接口两个阶段。TNN TNN，F，Sint之间的温度差在网格点Table II. Tnn, Te and T

11、nd temperature distributionsNode Tnn (C) Te (C) Tnd (C)1 198.91 125.08 125.372 198.79 175.23 174.793 187.96 199.89 192.704 100.22 174.92 145.065 100.24 124.77 154.976 102.43 100.08 158.557 198.91 100.00 100.668 200.00 125.08 125.379 200.00 175.23 174.7910 198.79 200.00 199.2711 187.96 200.00 192.771

12、2 100.22 200.00 140.1113 100.00 174.92 145.0614 100.00 124.77 154.9715 100.24 100.00 159.8716 102.43 100.00 158.56在下标的内阻是指电阻元件之间的接口两个阶段。TNN TNN，F，Sint之间的温度差在网格点ke/nd, ,y _y_x(Te/nd,a Te/nd,b)y/Ry + (1/2)(_x16(Te/nd,6 Te/nd,3)/R16) (T e/nd,top T e/nd,bottom)/y,在=或F，和E / Nd是指在表方程（6），或钕方程的表示（7）。在方程（9），

13、TE / ND，一 和TE / ND，B是在网格点的上方和下方的一个垂直方向的温度 电阻元件RY（即R2，R9），分别为。通过电阻的热流量 元R16由一个独立的术语描述，因为它是由固相和共享 流体相。T E / ND，顶沿UC边界上的平均温度，T E / ND，底部沿UC边界和Y底部平均温是UC的高度。将温度值从表二方程（9）的收益率：ke,s,y = 13.41W/mC, ke,f,y = 66.91W/mC,knd,s,y = 14.67W/mC, knd,f,y = 73.28W/mC.从热导张量的定义（4）和（5），这表明：kss,y = 14.46W/mC, ksf,y = 1.05

14、W/mC, kff,y = 67.97W/mC, kfs,y = 1.064W/mC.2.3。volume-averaged温度分布在一个或两个阶段的多孔的热源或热沉下介质，非热平衡状态下的瞬态多见条件。在能量方程中的瞬态项的转化通过分析体积平均过程宏观层面（第一部分，方程（1）至（3）不构成任何分析困难。因此，评价两方程模型的体积平均温度之间的比较通过对两方程模型预测的数值解，并得到在微观层面，从数值解，建立了一个稳态只有。在深入分析误差估计没有这种比较，稳态分析也限制了数值误差引入的那些空间数值格式（避免数值误差的时间了数值方案）。由50 UC在y方向的系统被认为是一维控制方程的数值解（1

15、）和（2）。UC矩阵区域分为数量有限体积相对于Y方向。有限体积的边界选择相应的轴在UC的界限，在图1中的虚线所示。网格点被放置在一维有限体积中心。为固相，内在的体积平均温度在顶部边界被选定为112.9494C，和底部边界为56.9323C.流体相的内禀体积平均温度在顶部边界41.1132C和底部边界是20.9454C.这些值的起源在下一节讨论的评价。方程（1）和（2）采用傅立叶（2000），基于在Patankar有限体积方法（1980）。50线性集从discritisation过程得到的方程是使用直接的解决方法（1976）国王。phasial体积平均温度下得到的转化为内在的体积平均温度的平均使

16、用量温度的定义（4）和（5），和方程（7），在第一部分，如图4所示 本征量平均温度分布图形。2.4。评价体积平均温度分布的数值解对方程（1）和（2）相比，一维体积平均温度分布在以下方式获得：一个微观层面建立了二维温度分布在3×50 UC矩阵通过选择边界温度沿外边界对UC矩阵和数值求解稳态能量方程热传导，其中，在内部热源的情况下，给出了作为·（Kt）= 0。（10）选择产生微观层面温度的热边界条件分布在图1中只有y方向的净热通量。二维微观层面的温度分布，然后转化成一个一维的体积平均温度分布在Y方向，通过平均在每两个阶段定义的区域。体积平均温度分布并没有在X方向的变化，从微观层

17、面温度分布，方向一零净热通量。 2.5。微观层面的温度分布对方程的数值解（10），在3×UC 50阵列的两个阶段 随机分为数量有限体积。图5显示了一个单一的UC分 为几部分。每一部分都有一个特定的有限体积的安排， 用有限体积同等尺寸的该部分，根据表三、网格点位于中心有限体积。这安排的产量在3×50 UC矩阵156×300网格。方程（10）是 离散的网格点，采用Patankar有限体积算法（1980）， 产生一组46800线，联立方程。微观层面的温度在每隔一具有周期性分布UC的边界条件的垂直柱被利用了交替之间的立柱和交替之间的几何相似性UC的水平行，如图6所示，在接

18、口的I和II，和 接口III和IV，是几何相似的右侧和左侧的侧，和底部和顶部分别在UC矩阵。在UC的每一行，在每一个网格点在右手边的UC 矩阵：Tr = TI, (11)Figure 5. Unit cell sections.Table III. Grid dimensionsSection No. of columns No. of rows _x (mm) _y (mm)A 8 2 1.999875 1.9995B 32 2 1.9999375 1.9995C 8 2 1.999875 0.0010D 2 2 0.001000 1.9950E 32 2 1.999375 0.0010F

19、2 2 0.001000 0.0010Figure 6. Top and bottom section of a 3 × 50 unit cell matrix. and at在每个网格在UC矩阵左边：Tl = TII.在UC的每一列，在每一个网格点的顶端：Tt = Tt,l +_Tt,r Tt,l_ TIV TIV,lTIV,r TIV,l ,在UC的每一列，在每一个网格点在底端：Tb = Tb,l +_Tb,r Tb,l_ TIII TIII,lTIII,r TIII,l,在TT TT，L，R，L，结核病，结核病，R是指温度在左手和右手的顶端和底端分别，角落，每列UC的。TT T

20、T值，L，R，L，结核病，结核病，R是任意选定为60，20，120和40C， 分别。由于边界网格点的温度在UC的规范矩阵取决于内部网格点的内部温度的解决方案，迭代求解过程中必须遵循。对于每次迭代，集联立线性代数方程组的直接求解王（1976）提出的算法。 2.6。volume-averaged温度分布在UC的能力作为一个牧师的单细胞表示，每个UC 作为一个定义的几何平均计算的微观层面的温度分布。内在的体积平均温度值（见定义在第一部分）以这种方式获得的被分配到对应的位置加州大学的中心。在这种方式中，156×300矩阵的微观层面 温度转化为一个一维（y方向）分布体积平均温度是比较直接的体积

21、平均温度从控制方程的数值解，得到的值（1）和（2）。平均过程中还建立了边界温度可用于方程的数值解（1）和（2）。除了对解方程组（1）和（2），图4也显示比较方案方程（9），内在的体积平均在每个UC，来解决 方程（1）和（2）。3。结论这两个方程模型在本文的第一部分的一般理论已应用于稳态一维传热情况这是由同样大小的几何相似单位的多孔介质和有序的空间分布。练习说明量化的交通参数分析微观层面的温度特性在一个牧师在每个相位分布。的相间传热平衡系数，热导率和非热平衡电导率是从建立一个非定向非平衡评价温度分布，均衡的温度分布，和定向非平衡温度分布，分别为，在一个几何类似的单位（UC）。这些微观层面的温度分布，建立了 在一个有限数量的在UC的位置，通过指定一个常数 或线性可变温度分布的几何单元的边缘。这种方法是实现多孔介质组成的闭合高度适宜对称或非